67 二重积分的概念与性质.docx
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1、67 二重积分的概念与性质第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解 1利用二重积分定义证明:kf(x,y)ds=kf(x,y)ds。 DDn0iii由二重积分定义f(x,h)Dsf(x,y)ds=limlDi=1n,得 kf(x,h)Dskf(x,y)ds=limlD0iii=1i=limkf(xi,hi)Dsi l0i=1n=klimf(xi,hi)Dsi=kf(x,y)ds, l0i=1nD证毕。 2利用二重积分的几何意义说明:kds=ks。 D二重积分的几何意义,就是说,二重积分的柱体体积, 于是知,二重积分f(x,y)ds就是以z=f(x,y)为曲顶Dkds表示以平
2、面z=k为顶的柱体体积, D而以平面z=k为顶的柱体体积,等于其底面积乘上其高z=k, 但该柱体的底面积就是积分区域D的面积s, 从而得,kds=ks。 D3利用二重积分的性质估计下列积分的值: xy(x+y)ds,其中积分区域D=(x,y)0x1,0y1; D由于区域D=(x,y)0x1,0y1,可知区域D的面积为而由于0x1,0y1,可得0xy1,0x+y2, 从而有0xy(x+y)2, 由二重积分性质6.7.5即得 ds=11=1, D0dsxy(x+y)ds2ds DDD亦即为 0xy(x+y)ds2。 D(x+y+1)ds,其中积分区域D=(x,y)0x1,0y2; D由于区域D=(
3、x,y)0x1,0y2,可知区域D的面积为 ds=12=2,D 1 第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解 而由于0x1,0y2,可得0x+y3, 从而1x+y+14, 由二重积分性质6.7.5即得 1ds(x+y+1)ds4ds DDD亦即为 2(x+y+1)ds42,整理得2(x+y+1)ds8。 DD22(xD2+4y2+9)ds,其中积分区域D=(x,y)x2+y24。 由于区域D=(x,y)x+y4,可知区域D的面积为22222ds=p2=4p, D下面求函数f(x,y)=x+4y+9在条件x+y4下的最大、最小值, 亦即椭圆抛物面z=x+4y+9在圆柱x+y=
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