数学分析课件第四版华东师大研制第4章 函数的连续性.ppt
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1、1 连续函数的概念,一、函数在一点的连续性,三、区间上的连续函数,二、间断点的分类,返回,定义1,由定义1知,我们是通过函数的极限来定义连续,一、函数在一点的连续性,性的,换句话说连续就是指,例如:,这是因为,又如:函数,极限,由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e,这是因为,存在d 0,连续性的另外一种表达形式.,对任意的存在 当时,应的函数(在 y0 处)的增量,为狄利克雷函数.,证,注意:上述极限式绝不能写成,例1,由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点 x0,类似于左、右极限,下面引进左、右连续的概念.,要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.,极限存在是函数连续的一个必要条
2、件),而且还,x0 连续,那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,有极限与在点 x0 连续是有区别的.首先 f(x)在点,定义3,很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数,有定义,若,的定义可得:,例2 讨论函数,解 因为,点击上图动画演示,综上所述,所以,二、间断点的分类,定义4,定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却,由此,根据函数极限与连续之间的联系,如果 f 在,点 x0 不连续,则必出现下面两种情况之一:,或不连续点.,在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点,等于f(x0).,根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类:,1.可去间断点:若,一个可去间
3、断点.,注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定,点.,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.,义无关.,有一个不存在,例3,所以,并且 是 的一个可去间断点.,例4 讨论函数,在 x=0 处是否连续?若不连续,则是什么类型的,2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定,x0 连续.,间断点?,所以 f(x)在 x=0 处右连续而不左连续,从而不,断点是跳跃间断点.,连续.既然它的左、右极限都存在,那么这个间,例5,解 因为由归结原理可知,,均不存在,,点?,三、区间上的连续函数,若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I,别指右连续和左连续.,数在该点
4、连续是指相应的左连续或右连续.,上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的端点,函,如果函数 f 在a,b上的不连续点都是第一类的,复习思考题,能要添加或改变某些分段点处的值).,是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可,一个按段连续函数.从几何上看,按段连续曲线就,并且不连续点只有有限个,那么称 f 是a,b上的,2 连续函数的性质,在本节中,我们将介绍连续函数的局,一、连续函数的局部性质,四、一致连续性,三、反函数的连续性,二、闭区间上连续函数的性质,这些性质是具有分析修养的重要标志.,部性质与整体性质.熟练地掌握和运用,返回,一、连续函数的局部性质,所谓连续函数局部性质就是指:,连续(左连
5、续或右连续),则可推知 f 在点 x0 的某,号性、四则运算的保连续性等性质.,个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保,故,|f(x)|的一个明确的上界.,证,注意:我们在证明有界性时,而不是用术语,定理4.3(局部保号性),则对任意一个满足,证,注 在具体应用保号性时,我们经常取,于是证得,定理4.4(连续函数的四则运算),此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得,也是连续函数.,我们知道,常函数 与线性函数 都是 R 上,到,具体过程请读者自行给出.,的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数,同理,有理函数,(分母不为零)同样是连续函数.,下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运
6、算下,定理4.5,是不变的.,证,于是,对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定,请大家仔细观察定理4.5 的证明,看看此时究竟哪,理的认识.,里通不过.,应用定理4.5,就得到所,(*)式相应的结论仍旧是成立的.,则有,事实上,只要补充定义(或者重新定义),上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?请读者作,例1,解,合,所以,出进一步的讨论.,例2,解,例3,在本节中将研究 f 在,二、闭区间上连续函数的性质,点,的最大值不存在,最小值为零.注意:,既无最大值,又无最小值.,定理4.6(最大、最小值定理),的最大值为1,最小值为-1;函数,(其上确界为1,下确界为-1),这个定理刻画了
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