数学分析课件第四版华东师大研制第19章 含参量积分.ppt
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1、1 含参量正常积分,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,一、含参量正常积分的定义,返回,五、例题,四、含参量正常积分的可积性,三、含参量正常积分的可微性,二、含参量正常积分的连续性,一、含参量正常积分的定义,续函数(图19-1),或简称为含参量积分.,二、含参量正常积分的连续性,在 a,b上连续.,只要,就有,所以由(3),(4)可得,在c,d 上连续.,注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,
2、为任意区间.,注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件,证 对积分(6)用换元积分法,令,当 y 在c(x)与d(x)之间取值时,t 在 0,1 上取值,且,所以从(6)式可得,由于被积函数,(6)所确定的函数 F(x)在a,b连续.,三、含参量正常积分的可微性,则函数,区间的端点,则讨论单侧函数),则,就有,其值含于 p,q内的可微函数,则函数,证 把 F(x)看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有,注 由于可微性也是局部性质,定理19.3 中条件 f 与,四、含参量正常积分的可积性,由定理19.1与定理19.2推得:,上连续,则 I(x)与 J(y)分别在,求积顺
3、序不同的积分:,与,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.,连续,则,证 记,其中,定理19.3,取 就得到所要证明的(8)式.,五、例 题,例1 求,都是 a 和 x 的连续函数,由定理19.2 已知,I(a)在 处连续,所以,上连续.,例3 计算积分,解 令,上满足定理19.3的条件,于是,因为,所以,因而,另一方面,所以,的各阶导数存在,且,例4 设 在 的某个邻域内连续,验证当|x|充,是由定理 19.4 可得,同理,如此继续下去,求得 k 阶导数为,其各导数为,例5 求,解 因为,条件,所以交换积分顺序得到,用交换积分次序的方法求出积分值.
4、,上连续,由定理19.6,2 含参量反常积分,与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性,可微性,可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.,一、含参量反常积分的致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量 的无界函数反常积分,一含参量反常积分一致收敛性,或称含参量反常积分.,定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对,即,充要条件是,的充要条件是,例1 讨论含参量反常积分,的一致收敛性.,于是,而,二含参量反常积分一致收敛性的判别,定
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