定积分的概念.ppt
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1、引 言,从历史上说,定积分的概念产生于计算平面上封闭曲线围成区域的面积.为了计算计算这类区域的面积,最后把问题归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等)的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分.本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题.,Chapt 8.定积分,背景来源面积的计算,在初等几何中,我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的面积.,长
2、方形 长宽 ab 正方形 边长边长 aa 平行四边形 底高 ah 三角形 底高2 ah2 梯形(上底下底)高2(ab)h2圆,扇形等,如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积?这是一个一般的几何问题,这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决.,一条封闭曲线围成的平面区域,常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分,总的说来,他们可以看作以下三类区域:(1)是矩形(已知的),(2)是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况),(3)是曲边梯形。所以,只要会计算曲边梯形的面积就可以了.曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分,实例1:(求曲边梯形的面积),一、问题的提出,8.1 定积分的概念,图形.
3、,我们如何求曲边梯形的面积A=?,圆面积是用一系列边数无限增多的内接(或外切)正多边形面积的极限来定义的.,在初等数学里,,现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.,这里我们借助矩形的面积来定义曲边梯形的面积。,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然,小矩形越多,矩形总面积 越接近曲边梯形面积,(四个小矩形),(九个小矩形),基本思想(以直代曲),具体做法(如下),1.分割,分法任意,(化整为零),在区间a,b内任意插入(n-1)个分点,称为区间a,b的一个分法(分割),记为T.,分法T将区间a,b分成n个小区间,,过每个分点作x轴的垂线,这些垂线与曲线f(x)相交,相应地把大曲边梯形分为
4、n 个小曲边梯形,其面积分别记为Ai(i=1,2,n),把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形,2.代替,(化曲为直),在每个小区间 xi-1,xi 上任取一点i,于是,以为底,为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值,即,取法任意,用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积,,3.求和,(积零为整),将n个矩形面积加起来,应该是大曲边梯形面积近似值.曲边梯形面积A的近似值为:,将a,b逐次分下去,使小区间的长越来越小,则不论 怎样选取,n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到,在任何有限的过程中,n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值,只有在无限过程中,应用极限方法才能转化为
5、曲边梯形的面积.,求n个小矩形面积之和.,4.取极限,(化直为曲),于是,就相当于分割无限加细,让每个小区间的长度都无限趋近于零,即n个小区间之长的最大者.,如果当 时,n个矩形面积之和 存在极限,设,则称A是曲边梯形面积.,由此可见,曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限.这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积,要进行复杂的运算.在后面一节中,将进一步讨论这个和式极限的计算方法.,由近似值过渡到精确值,求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩证思想。这个计算过程,就是一个先微分后积分的过程。也就是说,把曲边梯形分割成许多小曲边梯形,在每个小曲边梯形中,把曲边
6、看成直边,用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积,从而实现了局部的曲转化为局部的直,即“以直代曲”。,然后,再把分割无限加细,通过取极限,就使小矩形面积的和,转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直,直转化为曲,以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法,是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。,实例2:(求变速直线运动的路程),思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,以恒代变,(1)分割,(3)求和,(4)取极限,路程的精确值,(
7、2)代替,路程的近似值,从上面例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程,尽管他们的实际意义完全不同,但从抽象的数量关系来看,他们的分析结构完全相同,它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似 求和、取极限”,或者说都归结为形如 的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义:,二、定积分的定义,定义:设函数 f(x)在 a,b 上有定义,在 a,b内任意插入(n-1)分点 使,T=x0,x1,xn=1,2,n,将 a,b 分成 n个小区间i=xi-1,xi i=1,2,n 这些分点构成a
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