随机参数二叉树期权定价及其模拟研究.docx
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1、随机参数二叉树期权定价方法及其模拟研究付德才(厦门大学,厦门 361005 )摘要:本文将股票波动性随机变化的因素考虑到二叉树期权定价模型中,得到了可以用数值计算方法实现的一个期权定价方法,该公式比传统二叉树模型更能反映股票波动的异方差性。以五粮液认购权证与五粮液认沽权证为样本,运用马尔科夫链蒙特卡罗方法对其进行了模拟分析,并与B-S模型进行了比较。关键词:期权定价;二叉树模型;权证模型 作者简介:付德才,厦门大学管理学院博士生,研究方向:资产定价。中图分类号:F8309 文献标识码:ARandom Binominal Option Pricing Model and Simulation F
2、u Decai (Xiamen University, Xiamen, 361005 )Abstract:. In this paper, we make a revision for the CRR-RB option pricing model based on the fact that stock volatility is variable, and we get a new option pricing formula which can be calculated by computation method. The new formula reflects the fluctu
3、ation of stock volatility. We finally verify our model using the data of the Five-Grain Liquor call warrant and put warrant in Chinese securities market. We offer in-depth analysis on the implementation of the formula, adopting Hastings-Metropolis algorithm and Monte-Carlo numerical integration of i
4、mportance sampling for computing the formula.Key words:Option Pricing ,Binominal tree model定价问题是期权的核心。期权定价模型可以分为连续时间模型和离散时间模型两类。由于股票收益率的波动性在衍生品定价、特别是期权定价中的极端重要性,学术界和实务界对于波动性都有很多重要的研究。其中一个方向是考虑标的资产波动性不是常数,而是一个随机变量。这个方向在近年来得到了深入研究的一个重要原因是大量实证研究表明,股票价格的波动性是随着时间而变化的。连续时间下的Black-Scholes期权定价模型(1973)在一方面进行
5、了很多扩展或深化,包括GARCH类和EGARCH类定价方法,这类连续型的期权定价一般是没有封闭解的。目前,对于离散型期权定价在这一方面的讨论还比较少。在本文中,我们从经典的离散模型CRR-RB二叉树期权定价公式出发,将波动性变化反映到二叉树期权定价公式中,对其进行了一定的改进。模型的建立在固定参数下,n期的CRR-RB二叉树期权定价公式一般表述为: (1)其中,是期权价格;是期权执行价格;是股票当前价格;是期权到期的阶段数;为股票价格下降的比例+1;为股票价格上升的比例+1;为无风险利率+1;。在模型中假设,因此。注意到在(1)中关于二项分布的参数和是事先就知道的固定参数。因为和分别代表了股票
6、上涨和下降的幅度,如果和在整个n个时期中都不变,就是说股票的波动性是保持不变的。也就是说,在二叉树期权定价公式中股票波动性是固定不变的。为了将股票收益率的波动性是变化的这一情况反映在公式中,下面将和考虑为随机变量。在(1)式中,二叉树期权定价公式可以看作是在给定确定的和情况下的期权价格,即。也就是说,如果将和视作随机变量,且其联合分布的密度函数为,那么期权价格为:由于和位于0到1之间,而且是非对称的连续变量,符合Beta分布的特征,而且beta分布具有很好的数学性质,因此,为了进行进一步的分析,假设:(1)是固定的,而和是随机变量。(2)和是独立随机变量,Beta分布中的参数空间:(3)二叉树
7、模型中的其他假设保持不变。模型求解 由于,因此和都是介于0和1之间的随机变量。 注意到: 以及:因此,CRR二叉树期权定价公式(1)可以重新写为: (2)其中 , 这样(4)式的期权定价就是和的函数。根据模型对于的假设,服从相互独立的Beta分布,因此的联合密度函数是: (3)其中是beta函数。根据(2)式,期权价格为:经过计算,新的期权定价公式可以写为: (4)(4)式就是我们得到的在随机参数下的一般化期权二叉树定价公式。 尽管和的形式非常复杂,但由于这两个数列都是绝对收敛的,因此在实际的计算中可以采取近似估计。要得到期权的理论价格,需要使用数值方法。模拟分析以上得到的改进模型,其解析解无
8、法直接计算,需要通过数值计算方法才能得到具体的期权定价。我们采用数学中的Hastings-Metropolis算法和重要取样的Monte-Carlo数值积分方法。下面对传统的B-S模型和本文的修正的二叉树模型进行模拟分析与比较。由于我国市场中只有权证没有期权,因此我们采用权证的数据,样本采用我国证券市场的五粮液认购权证、五粮液认沽权证。通过数据分析,我们一方面试图比较一下各个模型的计算结果和市场真实价格的关系,同时也通过多个模型的计算,来看一下我国权证产品在价格表现上的一些特征和问题。一、样本分析本章研究是以2006年4月3日至2007年4月2日的五粮液认购权证、五粮液认沽权证、五粮液为研究对
9、象,研究分析它们的价格行为,共243个样本。其中,所有数据均来自于深圳证券交易所和wind咨询。由图1五粮液股价对数收益率描述统计可以看出,偏度大于0,峰度大于3,不是正态分布,与B-S期权定价公式以及二叉树定价公式的假设并不完全相符合。图1 五粮液股价对数收益率描述统计二、B-S模型和随机参数模型的模拟分析B-S模型有通用的计算软件可以实现,只需要确定好其中的参数的计算方法。首先计算历史波动率。历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。其中,为股票的收盘价格,为股票价格对数收益率,为收益率均值,(或者)则为收益率(估计)方差,就是相应的标准差(波动率)。上述计算的波动
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