数学模型与数学建模4.1 常微分方程模型ppt课件.ppt
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1、数学模型,安徽大学数学科学学院,第4章 微分与差分方程模型,4.1 常微分方程模型 4.2 常微分方程组模型 4.3 偏微分方程模型4.4 差分方程模型,第4章 常微分方程模型,在经济、社会、军事、工程和自然界等领域中,有很多问题都可以看做是实际对象的某些特性随着时间或空间的变化而演变的过程,这一过程可借助微分方程来描述。微分方程模型是通过机理分析,利用微元法找出现象的内在规律并建立瞬时变化率表达式,再根据所给的特定条件,求解微分方程,并预测现象的未来性态,控制其发展趋势。含有未知函数的导数(或偏导数)的方程称为微分方程。若未知函数为一元函数,则称相应的微分方程为常微分方程,若未知函数为多元函
2、数,则称相应的微分方程为偏微分方程。微分方程的离散化形式即为差分方程。本章主要介绍微分方程和差分方程建模的基本方法、建模过程以及如何通过微分方程和差分方程去解释实际问题。,4,当驾驶人血液中酒精含量达到80mg/100ml时,发生交通事故的几率是血液中不含酒精时的2.5倍;达到100mg/100ml时,发生交通事故的几率是血液中不含酒精时的4.7倍;即使在少量饮酒的状态下,交通事故的危险度也可达到未饮酒状态的两倍左右。,酒驾:,醉驾:,4.1 常微分方程模型,4.1.1 饮酒驾车模型,5,某人在中午12点喝了一瓶啤酒,下午6点检查时符合驾车标准,紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒,为了保险起见,
3、他呆到凌晨才驾车回家,又一次遭遇检查,却被定为饮酒驾车,这既让他懊恼又让他困惑,为什么喝同样多的酒且时间间隔差不多,检测结果会不一样呢?,先作机理分析。酒精由胃肠道吸收,再传输到血液,部分分解(向外传输到非血液部分),这里只考虑血液部分的酒精浓度问题,非血液部分不在讨论范围之内。酒精的传输过程如图所示.,图4.1.1 酒精的传输过程,假设:(1)血液中酒精分布是均匀的; (2)酒精在胃肠道中的吸收是一级动力学过程,即胃肠道中酒精吸收率正比于肠胃道中酒精含量,比例系数为 ;(3)血液中的酒精转移率正比于血液中的酒精含量,比例系数为 ;(4)忽略从饮酒到酒精开始吸收的时间延迟;(5)由于呼吸和排尿
4、对体液中的酒精含量影响很小,因此不考虑呼吸、尿液对酒精总量的影响。,设 时刻胃肠道中的酒精含量为 ,血液中的酒精含量为 ,考虑用微元法来分析胃肠道和血液中酒精含量的变化。在时间段 内胃肠道中的酒精含量的改变量等于被血液吸收的酒精含量,即有 (4.1.1),图4.1.2酒精的传输过程模型表达,等式两边同除以 ,并令 ,则有 (4.1.2)初始时刻 ,饮酒者喝完一瓶酒,酒精迅速进入肠胃道,故可令 , 为一瓶啤酒的酒精含量。方程(4.1.2)为可分离变量的微分方程,可用分离变量法直接求解,也可以Matlab求解,程序如下:,dsolve(Dm+k1*m=0,m(0)=c,t) %利用dsolve求解
5、待求微分方程运行结果为:ans = c*exp(-k1*t)即胃肠道中酒精含量方程为 (4.1.3)同理,在时间段 内血液中酒精含量的改变量应当等于胃肠道中酒精的转化量减去转移为非血 .,液部分的酒精含量,即 (4.1.4)等式两边同除以 ,并令 ,则有 (4.1.5)将式(4.1.3)代入(4.1.5)得到 (4.1.6),初始时刻 时,认为血液中无酒精,即 。式(4.1.6)为一阶线性非齐次微分方程,可通过常数变易法求解,其Matlab程序为:dsolve(Dx-k1*c*exp(-k1*t)+k2*x=0,x(0)=0,t) 运行结果为:ans = (c*k1/(-k1+k2)*exp(
6、-t*(k1-k2)-c*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t),即血液中的酒精含量方程为 (4.1.7)若不考虑脂肪等因素对血液中酒精含量的影响,对饮酒人喝一瓶啤酒后采取血液抽样,得到表4.1.1。表4.1.1 血液中酒精含量(单位:mg/100ml),为了拟合曲线 ,将式(4.1.7)改写成 (4.1.8)下面给出Matlab拟合曲线 的程序。先建立M文件fun1.m: function y=fun1(a,x) %函数名称fun1,输入参数为a和xy=a(1)*(exp(-a(2)*x)-exp(-a(3)*x);,然后在命令窗口运行:x=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2
7、2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;y=15 34 36.5 41 41 38.5 34 34 29 25.5 25.5 20.5 19 17.5 14 12.5 9 7.5 6 5 3.5 3.5 2;a=lsqcurvefit(fun1,100;0.1;2,x,y) %Matlab中调用lsqcurvefit实现普通最小二乘估计,运行结果为 a(1)=60.0484, a(2)= 0.1950 , a(3)= 1.8537故该饮酒人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量为 (4.1.9)此时 , , .,图4.1.3为 的拟合曲线(红线)与原
8、始观测值(蓝色o)图,其程序如下:a=60.0480,0.1950,1.8537; %利用普通最小二乘法得到的参数估计量z=a(1)*(exp(-a(2)*x)-exp(-a(3)*x) %建立未知函数的表达式plot(x,z,r,x,y,o);,%绘制函数曲线并设定线形xlabel(t);ylabel(x);根据式(4.1.9),当 时 , (mg/100ml),因此,该驾驶人中午12点喝一瓶啤酒,下午6点检查时符合驾车标准。,图4.1.3 x(t)拟合曲线,若中午第一次喝一瓶啤酒后6个小时,到晚上再喝时,胃肠道中剩余酒精量为 (4.1.10)血液中的酒精含量为 (4.1.11),此时再喝一
9、瓶啤酒,设胃肠道中和血液中的酒精含量分别为 和 ,则 时刻胃肠道中的酒精含量方程为 (4.1.12)该微分方程的Matlab程序为:dsolve(Dm+0.1950*m=0,m(0)=669.3104,t) 运行结果为 ans = 418319/625*exp(-39/200*t),即胃肠道中的酒精含量方程为 (4.1.13)同理, 时刻血液中的酒精含量方程为 (4.1.14)将式(4.1.13)及相应的参数代入(4.1.14),得到 (4.1.15),其Matlab程序为:dsolve(Dx-130.5155*exp(-0.1950*t)+1.8537*x=0,x(0)=18.6360,t)
10、 运行结果为ans = 1305155/16587*exp(-39/200*t)-249009917/4146750*exp(-18537/10000*t),即有 (4.1.16)式(4.1.16)为喝过第二瓶啤酒后血液中的酒精含量方程。方程(4.1.16)的轨迹如图4.1.4所示。,由图4.1.4可以看出, ,因此驾驶人若中午12点喝一瓶啤酒,下午6点又喝一瓶啤酒,则凌晨零点驾车时血液内酒精含量超过20mg/100ml,此时若驾车则可定为饮酒驾车。,4.1.2交通信号灯黄灯管制模型在公路交通管理当中,红、绿、黄三种信号灯的管理仍然是绝大部分路口的重要管制手段。2004年颁布的中华人民共和国道
11、路交通安全法实施条例第38条规定:“绿灯亮时,准许车辆通行,但转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆、行人通行。黄灯亮时,已越过停止线的车辆可以继续通行。红灯亮时,禁止车辆通行。”一般情况下,红灯亮前首,先亮黄灯,以便让正驶向路口的近处司机有所准备,而且,如果绿灯时正行驶在路口或离路口太近的汽车司机,也可以利用黄灯期间驶离路口。但是,黄灯究竟应该亮多长时间,才能使离路口较远的汽车在红灯亮前安全刹车停在路口前,且使正在路口的汽车有时间在红灯亮前通过路口呢?以北京市为例,2007年7月3日,北京市交通管理局将交通信号灯的灯序全部统一为“绿黄红绿”,将黄灯,过渡信号时间统一设置为4s,这样方便了机动车驾
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