计量经济学第三版潘省初 第4章ppt课件.ppt
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1、1,第四章 多元线性回归模型,芯偏堰抛喝艺讨块呼炉芯石惕坛轻猖抖质才替乙吭揭靖锹钻幽孟逝卡掷柏计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,2,第一节 多元线性回归模型的概念 在许多实际问题中,我们所研究的因变量的变动可能不仅与一个解释变量有关。因此,有必要考虑线性模型的更一般形式,即多元线性回归模型: t=1,2,n 在这个模型中,Y由X1、X2、X3、 XK所解释,有K+1个未知参数0、1、2、K 。 这里,“斜率”j的含义是其它变量不变的情况下,Xj改变一个单位对因变量所产生的影响。,掘课塞唆舵技斋殉捞鹊潭畴吞相踪涎年诽凋邵施石渤庞瞥氏剃迎钨彤罚佑计量经济学第三版-潘
2、省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,3,例1: 其中,Y=在食品上的总支出 X=个人可支配收入 P=食品价格指数 用美国1959-1983年的数据,得到如下回归结果(括号中数字为标准误差):,Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).,株委彰灿瑶期迄逃愿措旨湘鹰擞次淋番坊僚炔诞叔富祁哟锅元沁祝后诵览计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,4,多元线性回归模型中斜率系数的含义上例中斜率系数的含义说明如下: 价格不变的情况下,个人可支配收入每上升10亿美元(1个billion),食品消费支出增加1.12亿元(0.112个 billion)。 收入
3、不变的情况下,价格指数每上升一个点, 食品消费支出减少7.39亿元(0.739个billion),砒浪褪匆渗深骚内抿述阂桐乓黄靛能涂芳耀呈淬积妈兵妮宽严常缚源碘亏计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,5,例2: 其中,Ct=消费,Dt=居民可支配收入 Lt=居民拥有的流动资产水平 2的含义是,在流动资产不变的情况下,可支配收入变动一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。 收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。 (间接影响:收入影响流动资产拥有量影响消费额) 但在模型中这种间接影响应归因于流动资产,而不是收入,因而,2只包括收入的直接影响。 在下面
4、的模型中: 这里,是可支配收入对消费额的总影响,显然和2的 含义是不同的。,愧辰佣文隙性圭呻妹游解隙汞秤阁磺济剖叔奔英壁擞纤双涕絮卿蛤插档鄂计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,6,回到一般模型 t=1,2, ,n即对于n组观测值,有,张贵烦佃截强时陪拒雪堆乔橡鸽示多耶私荐合柞碌脊播铰鞠晶颓项沉掷场计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,7,其矩阵形式为: 其中,流卵枚捞玖闯材匆伪戮洲缄亢奈续呸沂吓险偏蒸耽衷角陶齐雨标柔炊跳缮计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,8,第二节 多元线性回归模型的估计 多元线性回归模
5、型的估计与双变量线性模型类似,仍采用OLS法。当然,计算要复杂得多,通常要借助计算机。理论推导需借助矩阵代数。下面给出普通最小二乘法应用于多元线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性质。一假设条件(1)E(ut)=0, t=1,2,n (2)E(ui uj)=0, ij (3)E(ut2)=2, t=1,2,n (4)Xjt是非随机量, j=1,2, k t=1,2, n,兴桔蠕偷闪鲸募叙元喂炬围傀溪量竣广芬蜂小新队傈嚎雍价赌博屎冠哲辖计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,9,除上面4条外,在多个解释变量的情况下,还有两个条件需要满足:(5)(K+1)
6、n; 即观测值的数目要大于待估计的参数的个数 (要有足够数量的数据来拟合回归线)。(6)各解释变量之间不存在严格的线性关系。上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件:,樟秧郴纱昏痢品嗜退赴瓣因瑟养贸膊球千凳关泉狡乍氖软彝磊话名服龄泰计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,10,A1. E(u)=0 A2.由于 显然, 仅当 E(ui uj)=0 , ij E(ut2) = 2, t=1,2,n 这两个条件成立时才成立,因此, 此条件相当前面条件(2), (3)两条,即各期扰动项互不相关,并具有常数方差。,猴诸蛾番十豪炳店藩灼奴售嘻脸惊宝搬细游奠谁绩畏堤左挂滞债妨吵烬巫计
7、量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,11,A3. X 是一个非随机元素矩阵。 A4. Rank(X) = (K+1) n. -相当于前面 (5) 、 (6) 两 条 即矩阵X的秩 =(K+1) n 当然,为了后面区间估计和假设检验的需要,还要加上一条: A5. ,t=1,2,n,斯零勺患管砒滤罩乔监截嘻巧潜悍饿糠踢身肖抛龟擦踏臂溃昆为锰创蔼炳计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,12,二最小二乘估计我们的模型是: t=1,2,n问题是选择 ,使得残差平方和最小。 残差为:,萝诺魏蚤群电浸臃淘遁循美沦凡速鄙殴际形昏塑拉寓蜗启盟制犊档童虫尝计
8、量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,13,要使残差平方和 为最小,则应有:我们得到如下K+1个方程(即正规方程):,逛辅怂练号沾堂了厌软醋茂待钾铜他牌映朽蝎赂氛满乳霞寂春舆攻邹娥矛计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,14,按矩阵形式,上述方程组可表示为:,听士梅莎有掘亏睡恳鲜鸦押牡骤双众唯淹换徽石内预豢绢价饱簧的泄惑妈计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,15,=,即,喷唇捕药狗相蔚就哲莉侠柒先仅陇魂绥舶札含侄快痕树奥驾仑执非妮愈沙计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,16,三.
9、最小二乘估计量 的性质 我们的模型为 估计式为 1 的均值,帧注冻迄考灾砧怜吻荧誊极像淄纶耿浅迅奢晤夏罕伺荷琢游惨美蓑讣弗瞄计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,17,(由假设3) (由假设1),即 这表明,OLS估计量 是无偏估计量。,掺足圆默搔祭井榔怯弄嚏支绦崎劳如晕措姥碾诣选府终令肃哪簿征鼻涉贪计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,18,2 的方差为求Var( ),我们考虑,抡留败拽版果扎抑拧劫哮挂领椅毛冬侧呸抬彭雄赎旦俐蔡役廓恳仅恋涎泅计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,19,不难看出,这是 的方差-
10、协方差矩阵,它是一个(K+1)(K+1)矩阵,其主对角线上元素为各系数估计量的方差,非主对角线上元素为各系数估计量的协方差。,求矫狸榨纬趋骡唤披樟茄未浚忍慧海蓉栈粱秆种套武赵井捏周搂喘茁吠苇计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,20,由上一段的(4.5)式,我们有因此,骗远来彝卵席菏懒狂愧河帖虎检瓤本辨羹繁邱饶鄂挤呼莫绪匙剩砾漳缨耶计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,21,请注意,我们得到的实际上不仅是 的方差,而且是一个方差-协方差矩阵,为了反映这一事实,我们用下面的符号表示之:,为方便起见,我们也常用Var( )表示的方差-协方差矩
11、阵,因此上式亦可写作:需要注意的是,这里 不表示方差向量,而是方差-协方差矩阵。,猛匆骨兜赫莉宽丧稳谎莫柑巢聘勾仔泞礼翠湿肇室蛾授剪忍慰赡惯隶仰爪计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,22,3 2 的估计 与双变量线性模型相似, 2的无偏估计量是 分母是 的自由度,这是因为我们在估计 的过程中,失去了(K+1)个自由度。4 高斯-马尔科夫定理对于 以及标准假设条件A1A4,普通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量(BLUE),赵简微腋稳浚斜锣肠抄磁颤打毒碱轿现蚀困狭还凑顾葫司滑寇坝昧汪以狰计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,23,我们已在
12、上一段中证明了无偏性,下面证明线性和最小方差性。证明的路子与双变量模型中类似,只不过这里我们采用矩阵和向量的形式。 由OLS估计量 的公式 可知, 可表示为一个矩阵和因变量观测值向量 的乘积: 其中 是一个 (K+1)*n 非随机元素矩阵。因而 是线性估计量。,车济肤糟植推凶倚旋干已秤娃惨砾骡挎仔贞邯庇脐陀劫弥柯峡讨甸仍心虎计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,24,现设 为 的任意一个线性无偏估计量,即其中 是一个(K+1)*n非随机元素矩阵。则 显然,若要 为无偏估计量,即 ,只有 , 为(K+1)阶单位矩阵。,踏唉强牵酞揽纸写纪别偏驭扒腊朵晦乖测暮隘桌舌云软智
13、沽剿纶代辈匀隐计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,25,的方差为: 我们可将 写成 从而将 的任意线性无偏估计量 与OLS估计量 联系起来。,需城邯摔卖业梅钝腺疯鸣茧乘普诡怪幂爷即乞坛铀欠刁腥烤躬尿粱检怒休计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,26,由 可推出:即 因而有 由 从而 ,因此上式中间两项为0,我们有,苫甜峻甲笨奔豺否尖雾柳脚叠踏予截慷芯幕捻挫货泊兄乘蔑傀搞绽堂汉斯计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,27,因此 最后的不等号成立是因为 为半正定矩阵。这就证明了OLS估计量 是 的所有线性无偏估计
14、量中方差最小的。至此,我们证明了高斯-马尔科夫定理。,咨灶搀饯幅僳墒谨樊账幌钙矮静钱硼储再箭拇此噬回蚕祖番挤淄剐轩陌陇计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,28,第三节 拟合优度一决定系数R2 对于双变量线性模型 Y=+X + u我们有其中, =残差平方和,出狗母海虹疡幌踢鹊绳哦朝片苔减苗疾美涪朗惫臆习湖权卉扎筐效饲诺堂计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,29,对于多元线性模型 我们可用同样的方法定义决定系数:为方便计算,我们也可以用矩阵形式表示R2,邯农芭仑胁只咎酒忆练神衙宪漠舰宇畔酷砂侄舍彦转昧碳蓬贤推话寂医弘计量经济学第三版-潘省
15、初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,30,我们有:残差 其中,残差平方和:,滑腕赤吴统腮暴踞当隶搂报吸捞易究沥馏举海鸟匙译颈馅光掖降尺传航询计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,31,而 将上述结果代入R2的公式,得到:,这就是决定系数R2 的矩阵形式。,押宁氏皆匀炮资耕榷使竭露潭镶茂味兵唾荒沤烩纤虽冠掳膜芍斜谢蝗疼茶计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,32,二修正决定系数: 残差平方和的一个特点是,每当模型增加一个解释变量,并用改变后的模型重新进行估计,残差平方和的值会减小。 由此可以推论,决定系数是一个与解释变量的个数有关的
16、量: 解释变量个数增加 减小 R2 增大也就是说,人们总是可以通过增加模型中解释变量的方法来增大 R2 的值。因此,用 R2 来作为拟合优度的测度,不是十分令人满意的。 为此,我们定义修正决定系数 (Adjusted )如下:,式铅挖识堂州英讫妆咕射翘粗稀唱寝桑夏当玉没焦潜混徒裂跨殆太寨艳蒂计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,33,尉梆副杨慌忻苛淫糊魂栓后责剩瑰憋靛煤端窃沦哈甄琶哈羽棵这杯漳捻钦计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,34,是经过自由度调整的决定系数,称为修正决定系数。我们有:(1) (2)仅当K=0时,等号成立。即 (3
17、)当K增大时,二者的差异也 随之增大。 (4) 可能出现负值。,肘结漆跌褥贾睛赦尉豢编而奋垣匠墙协赛闽鼻独山该磨对澄勋醇徘螟息热计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,35,三例子 下面我们给出两个简单的数值例子,以帮助理解这两节的内容. 例1Yt = 1 + 2X2 t + 3X3 t + u t 设观测数据为:Y: 3 1 8 3 5 X2:3 1 5 2 4 X3:5 4 6 4 6 试求各参数的OLS估计值,以及 。 解:我们有,鲤嫩沛却涉斤验瓷搀冯智鹏逼届分所棕彼成崭饵米赢释滥盂综除稼钳宽宝计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,3
18、6,鼻汛娃桔争升扎尊舔快帅掷钮低鸯伊稚盼继顽焙摔豹猜肉烈蓝奎列殊尿檄计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,37,澈蔽列歉递稳盔凰祖爷纠斟舱膘啸贡谜砧藏斋幢块蔓茄复替败舞浇硫码俩计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,38,镭疹仔颗焰背瞻邯忠琴枷恶喜黎鼎删徒倔遍培锌庸侵胁崩赠葛西困彪篡龟计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,39,村螺信膊昨晓酋憾慷填垛大攀蔓玩瞥超恶潮哭哄旨查佳响吏云汕荣疵摘练计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,40,例2. 设 n = 20, k = 3, R2 =
19、0.70 , 求 。 解: 下面改变n的值,看一看 的值如何变化。我们有 若n = 10,则 = 0.55 若n = 5, 则 = - 0.20 由本例可看出, 有可能为负值。 这与R2不同 ( )。,咀游腿荡姚粕皖需带儿竭烩描瓜并贪讳韵茵夏蚀别殉孰狭埂障遭怀坐份碉计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,41,第四节 非线性关系的处理 迄今为止,我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中,变量间的关系并非总是线性关系,经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生产函数: 就是一例。 在这样一些非线性关系中,有些可以通过代数变换变为线性关系处理,另
20、一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。,君惯邑享垮绩一瞻冀戏驯麻想梗拇鞭斑生捏霓抚凛柴谚烽渤泵滩乃咬捐怀计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,42,一. 线性模型的含义 线性模型的基本形式是: 其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。 线性模型的线性包含两重含义: (1)变量的线性 变量以其原型出现在模型之中,而不是以X2或X之类的函数形式出现在模型中。 (2)参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。,宿膊漱扇鞋伴晚铁仗宴叼奢帐力笆凰胃制限床崔旷晋裸枉歹栽诧吧勾谱烂计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,43,二线性化
21、方法 对于线性回归分析,只有第二种类型的线性才是重要的,因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。例如,对于 此方程的变量和参数都是线性的。,阎姿揖痘具赏铃件租吉计哦番苛栗扔氦茶铸讶惋殴宰考蹈癸航鄙辫诲疹宜计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,44,参数的非线性是一个严重得多的问题,因为它不能仅凭重定义来处理。可是,如果模型的右端由一系列的X或eX项相乘,并且扰动项也是乘积形式的,则该模型可通过两边取对数线性化。例如,需求函数 其中,Y=对某商品的需求 X=收入 P=相对价格指数 =扰动项可转换为:,豹盖视薄吁就一稼桐赴孰胡踪滩态螟蜘胳军韶付致肿氰拎嘴茹细押立叙艰
22、计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,45,用X,Y,P的数据,我们可得到logY,logX和logP,从而可以用OLS法估计上式。 logX的系数是的估计值,经济含义是需求的收入弹性,logP的系数将是的估计值,即需求的价格弹性。 弹性(elasticity)是一变量变动1%所引起的另一变量变动的百分比。其定义为 本例中, 需求的收入弹性是收入变化1%,价格不变时所引起的商品需求量变动的百分比。 需求的价格弹性是价格变化1%,收入不变时所引起的商品需求量变动的百分比。,廊拈惭归淋账痒扒阐停弟焦见砖袍蚊猿找岔索赖傈慰丽孩逐澈汝掣漏暖割计量经济学第三版-潘省初-第4章
23、计量经济学第三版-潘省初-第4章,46,三例子例1 需求函数 本章1中,我们曾给出一个食品支出为因变量,个人可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例子(例4.1)。现用这三个变量的对数重新估计(采用同样的数据),得到如下结果(括号内数字为标准误差): 回归结果表明,需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹性是-0.48,这两个系数都显著异于0。,抑泡姿椒侯洒孤谬僻延树恨钳令举亢渍闯虚针输呛殊沛瓮磐坚而惑岔毖舆计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,47,例2柯布-道格拉斯生产函数 用柯布和道格拉斯最初使用的数据(美国1899-1922年制造业数据)估计经过线性
24、化变换的模型得到如下结果(括号内数字为标准误差) : 从上述结果可以看出,产出的资本弹性是0.23,产出的劳动弹性为0.81。,晾蛰辜冯丹淫浸罪柔搀馋战辣憎双童痒牙熙猛荤郊讯羌硬嘎垄纫扣抚抗常计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,48,例3货币需求量与利率之间的关系,M = a(r - 2)b这里,变量非线性和参数非线性并存。对此方程采用对数变换 logM=loga+blog(r-2),令Y=logM, X=log(r-2), 1= loga, 2=b 则变换后的模型为: Yt=1+2Xt + ut,汇瓷掇淬坟蔷妻贸勤毙耘隧冀寨巳长示撰窗捣诚恶良皱担瞄棺傣凹打帖辫计
25、量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,49,将OLS法应用于此模型,可求得1和2的估计值 ,从而可通过下列两式求出a和b估计值: 应当指出,在这种情况下,线性模型估计量的性质(如BLUE,正态性等)只适用于变换后的参数估计量 ,而不一定适用于原模型参数的估计量 和 。,脑晒事城秒燎革竣降稗站楔珐愁补奴虑倔赦碴炸簧躲瞬元南帜殉椭沧汗敬计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章,50,例4上例在确定货币需求量的关系式时,我们实际上给模型加进了一个结束条件。根据理论假设,在某一利率水平上,货币需求量在理论上是无穷大。我们假定这个利率水平为2%。假如不给
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