多元函数的偏导数和全微分ppt课件.ppt
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1、一、 偏导数的概念,二、连续与偏导数存在的关系,三、高阶偏导数,四、可微与偏导数的关系,第二节 多元函数的偏导数和全微分,在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.,则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),我们可用讨论一元,函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.,一、偏导数的定义,设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作,称为 z 在点 X0 处关于
2、 x 的偏增量.,定义,则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数.,即,此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.,z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.,z 对 x 的偏导函数(简称偏导数),1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一元函数来定义的.因此,在实际计算时,注,求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,
3、求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,2.计算,三种方法:,(1) 用定义计算.,(2) 先计算 再代值得,(3) 先计算 再计算 再 计算 ,例1,解,或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6,故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8.,例2,解,例3,解,偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.,比如, 设 u = f (x, y, z) .,它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.,例4,解,例5 已知,求,解,14,练:,由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏导数的几何意义.,设 z
4、= f (x, y) 在点 X0=(x0, y0),处的偏导存在, 记 z0 = f (x0, y0 ). 点M0(x0, y0 , z0)则,二、偏导数的几何意义,f x (x0, y0)就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 .,1 上点 M0(x0, y0 , z0)处 切 线,对 x 轴的斜率.,f y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 .,2 上点 M0(x0, y0 , z0),处切线对 y 轴的斜率.,即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x,
5、y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.,平面,即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,平面,19,例6,求函数,在点(1,1)的偏导数,并说明其几何意义,解,的几何意义是曲面,与平面,交线:,在点(1,1)处切线的斜率:,其中,是切线关于,轴的倾斜角,20,的几何意义是曲线,在点(1,1)处切线的斜率:,其中,是切线关于,轴的倾斜角,在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用.,即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.,三、偏
6、导与连续的关系,例7 设,证明:z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续.,= 0,= 0,故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在,z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.,证,当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .,z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0, 0)不连续.,从几何上看, f x (x0, y0)存在. 只保证了一元函数 f (x, y0)在 x0 连续.,也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0=
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