复习课(三) 三角恒等变形.docx

第部分把书读薄模块复习精要高考并不神秘高考有规可寻我们在细研历年高考试题的基础上探寻出一些命题规律考题在课外考点在课内每个模块总有那么几个知识点是高考的常考点甘至是必考点我们将这些高频考点集结起来一一解读帮你在学习完本模块之后系统复习去相存精锁定高考复习课（三）三角恒等变形常考点三角函数化简与求值1.考情本考点在考查中各种题型都有，着重考查三角恒等变形求值.尤其是给角求值，给值求值（变角求值）.难度中档.2.知识归纳整合（1）同角三角函数基本关系式平方关系：siMa+cos?”=1；商数关系：tan=熟.（2）两角和与差的三角函数式sin(“切)=sinacosicossin/?；cos(切)=coscos好Sillasintan(<z±/?)=tan±tanBITtantan'其公式变形为:tanI+tan)?=tan(a+/?)(l-tantan/?)；tana-tan/=tan(-/Z)(l+tanQtan/?)；tan+tan?Ianata”=1一不T万.(3)二倍角公式sin2a=2sinacosa；cos2a=cos COS17°A.c2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;tan 2a=2tan 2q1-tan2a,其公式变形为:sin2a=1-cos 2al÷cos2a典例(1)已知tana=,则sinacosa的值为Sill47。一Siil17°COS30。若0<<,则COG+?=解析B.D.一亚3一亚9,八.SillaCOS(ZtanaSmacos。=而不嬴=俞帝122(2)原式=sin(300+17°)-SilI17。COS30。cos17osin30o.必*cos17°.sin30故迷C.(3)V0<<,j<+<y,所以由C()S(4+a)=P得SinG+)=¥，又一胃。0,且COSG-I)=则为一代，JSinGW=坐，故$+20舞+_(卜朗=cos÷)cos(-)+sin(+)sin(-)539答案(1)(2)C(3)C类题通法化简求值的思路：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化筒.2tan(45°-)SinQCOSa1.化简:2.已知COG+£)=夕(, 3 则 sin(20-§=解析：由题得呜伟 个)，sin("+3=310 '1-tan2(45o-)cos2-sin2gyH',CAO.2“n2"§in(90。-2)1Sin2-COS21Sill2-1解析：原式=Mn(90-2")cs2=CoS(90。-2/5&$2a=SiIl2a5cos2=因此 sin(20一§答复4+3小 口渠.10sin2=cos2。=Sin(20+9=2sin(+gcos(+y=5,4+35=SiIl20CoSq-COSSillq=<3.已知tan&+a)=i,tan(?-=22,(2)tan(÷/?).求：(l)tan(+夕-?；解:(l)tan(+6-J=tan(+)÷(-f)tanj1-tani+2jr=I-2×22=-(2)tan(+/?)=ta(+夕+幻tank+/?1-tan(+4-力×tang-2+l_一-(f)xLf常考点二三角恒等变形与三角函数的综合应用本考点多以解答题形式考查，着重考查三角恒等变形方法与三角函数的图像和性质，三角恒等变形的主要作用是化简函数AX)为J=ASin(“x+0形式.难度中档.典例已知函数1x)=2cos2+WSsincoscosx,(1)求函数HX)的最小正周期；(2)求函数加)在区间一去T上的值域.解(Ivlr)=2cos2+4由SiIlICoS余OSX=2cos2x+23si11XCOSx=cos2x+1÷3sinIx=2sin2x+l,所以函数IAX)的最小正周期=v=.(2)H.ve-,T，所以2+w,y,所以sin(2x+5e_；,1所以大用的值域为0,刃类Ii通法以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数表达式较为发杂时，我们要先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变为y=ASin(x+p)+A或)=Acos(ft)x+e)+A等形式，然后再根据化筒后的三角函数，讨论其图像和性质.做做制株1 .函数y=2cos6+9l(xR)的图像的一条对称轴经过点()AV。)B(?0)c(-3-0)D(p°)解析：选D由二倍角公式得y=co(r+T),经检验在A、B、C、D四个选项中，只有选项D中横坐标使已知函数取得最值，故选D.2 .设函数/(x)=SilIftv+cosc"x(m>0)的最小正周期为n，将y=,lx)的图像向左平移/个单位O得函数y=g(x)的图像，则()A.g(x)在(0,?上单调递减B.g(x)在用上单调递减C.g(x)在(0,9上单调递增Dg(x)在G，用上单调递增解析：选AV(x)=sinx+coscx=y2x+tT=,=2,(x)=2sin(2x+),将J=/(用的图像向左平移个单位得函数尸g(x)的图像,则J=g(x)=2sin2(x÷÷j=2sin(2x+)=yicosIx94fc2Ar2x2+,ArWZ,解得7rWxA7r+5,kerL,I上单调递减.当A=O时，x,3即g()在(0,3.设函数/(x)=(Sinx÷cos。*户+2(：0S2*(>0)的最小正周期为空.(1)求功的值;(2)若函数y=g(x)的图像是由y=/IX)的图像向右平移T个单位长度得到.求y=g(x)的单调增区间.解：(1)f(x)=sin2<av+cos2fav+2sinxcosfav+l+cos2x=sin2x+cos2<v+2=2(2ox+£)+2,依题意得襄=4,故QJ=*依题意得g(x)=2sin3(-+j+2=2sin3-÷2.由2Ar-W3x一普2Ar+果AeZ)解得，÷xAr÷(Z).故g(x)的单调增区间为孤+§,轴+HZ)三角函数与平面向的综合问题本考点在考查中各种题型都有，着重考查利用平面向量共线、垂直、模或夹角等条件，给出三角函数关系，然后求解三角函数的有关问题，难度中档.典例在平面直角坐标系XOy中，设向量”=(2sinO91),力=(1,Sin(J+黝，OGR.(1)若S=0,求tan。的值；(2)若。瓦且(,5求的值.解(1)由。功=0,得2sinJ+sinG+9=0,即2sin夕+sin夕CO号+cosffsin=0,整理得全加0+坐cos0=0,所以tanO=一乎.(2)由ab9得2sinsin+)=l,即2sin2cos+2sinecos"sig=l,所以(l-cos2)+WSin20=1,整理得WSilI20-；COS2=；,所以sin(205=彳.又，e(°，2)>所以2，一公(土,).所以2。一=?,即=?6o6类题通法平面向与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.1.设向量=(4cos,sina)f=(sin94cos/?)>C=(COS/b_4sin),若“与力一2C垂直,则tan(+0为()2A.2C.-2D.-解析：选A由与b-2c垂直，得a(b-2c)=ab-2ac=0,.4cossin/+4SiIlcos。-2(4COSacos/-4sinsin“)=0,即4sin(+11-8cos(+0=0,故tan(÷7)=2.2 .已知向量a=(sin”,cos2a)t=(1-2sinaf-1)>aeG，:)，若"S=-5,则tana的值为.83解析：a6=Silla(l-2sina)cos2a=sina_2sin2a_1+2sin2a=,即sina=Q又.*.cosa=；tana=*答案:3 .已知向量=(COSX+sinx,2sinx),>=(cos-sinx,cosx)9令人x)=a8.(1)求AX)的最小正周期；(2)当x,朗时，求加)的最小值以及取得最小值时的值.解：/(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2-sin2x+2sinxcosX=COS2x+Visingx+?(1)由最小正周期公式得=.(2)Xj,y,得2x+g图.4fc2x+三y,得X=竽，即当X=罟时，函数人X）取得最小值一i回扣验收特训L1.已知cos+a)=,且g则tan=(.)AWB-IC. 一;D.±|解析：选B由COSG+a)=,知一sin=,3-5故4.3.cos”=一土.tana=4.2.已知2sin6>+3cos夕=0,则tan2()12dB.C.?解析：逸B.2sin+3cos夕=0,.tan=.12£.故选B.M2tan-2X-tan2"=in2”=11-I,且3cos2=4sin-j,则sin2a的值为（）解析：选 C V3cos 2a=4sinAZ»93(cos2sin2a)=2*T2(cosa-sina).cosa+sina=t.(cosa+sina)2=,8即1+sin2a=g.sin2=-g.故选C.八cos2S0-Sin2S0A. 1C. 2解析：选C4,化简SilI40。COS400=()2D. -1cos25°-si5°COS10。Sill8002sin400COS400sin40ocos40o=sin400cos40o=sin400cos40=sin40ocos40o=2,5设函数/U)=，5sin(2x+0)+cos(2x+/)(m|v9，且其图像关于直线X=O对称，则()A. yfx)的最小正周期为江，且在(0,9上为增函数B. y=(x)的最小正周期为,且在(0,§上为减函数C.y=/U)的最小正周期转，且在(0,?上为增函数D.y=/U)的最小正周期为且在(0,?上为减函数解析：逸B/(x)=V3sin(2x+)+cos(2x+)=2sin(2x+0,图像关于直线IX=O对称，.2+9=m+E(AZ),9=g+E(AZ)X<t,=?,.g)=2cos2x.其最小正周期T=半=r,且在(,?上单调递减，故逸B.6.若f=(sin2x,cos2x),h(sin2x,cos2x),/(x)=÷4cos2x+23sinXCOSx,如果存在mR,对任意xR都有八X)羽：帆)，则八等于()A.2+23B.3C. 0D.2-23解析：C若=(sin2x,cos2x),Z>=(sin2x,cos2、)，则/()=Z>+4cos2x+23sinXCOSX=sin4x-cos4x+4cos2x+23sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+2(l+cos2x)+巾Sin2x="cos2x+2cos2x+q5sin2x+2=2+2GSill2x+cosZxj=2sin(2x+§+2.由xR,知sin(2x+§e-l,1,即有人x)0,4,则大外的最小值为0.存在zR,对任意xR都有Hx)小1),则AM为IflX)的最小值，则有八M=O.故选C7 .已知Silla=也且以(,9,/U)=啦Sin(X+亚则f=.解析：Vsin=,且(,cosa=1,y«0=2sin-J÷=2sin,.36+42acos7+cosasn7I=.00/10处安3+4i香案：18 .设/U)=q5sin3x+cos3x,若对任意实数x都有伏x),则实数a的取值范围是解析：1(x)=5sin3x+cos3x=2sin(3x+g,x)2,所以。22.答案：2,÷OO)3129 .在aABC中，若Sill(Tr-A)=g,tan(÷B)=->则COSC=33解析j丁sinQ-A)g,sinA=g.7tan(÷B)=y,.tan>Sinb=I,cos3=*又TsinA=1,JcosA=1或一，.,4-l2r.p,当COSA=-W时，-<A<,且GV笈行，此时A+b>r,故舍去.*cosC=-COS(A+")=-COSACOSb+sinAsinB=居.答案送10 .已知函数於)=Asin(x+g),xR,且(1)求A的值；(。，9,求尼一)解：危)=AsiNG+9,且 GS=乎,(2)若八夕)一人一夕)=5,OGMK)=ASin管+*ASill苧=A乎=乎,*A三3.(2)由(1)知人x)=3SinG+5，:fi)-f(一夕)=3sin(+§-3sin(一。+全ginOcos÷cosOSin(inWCOS-COSwSin=3X2sin。CoST=3sin。=巾，；sin=乎.e(o,9,:cose=yLsinW=坐,二痣一")=3Sine-0+0=3SinG一=3cos8=*.11 .已知向量Q=（Siila-2）与力=（1,cos。）互相垂直，其中（,求sin和cos。的值;若5cos(-)=35cos90<9><j,求cos的值.解：.b=sin-2cos。=0,即sin=2cos.又Vsin2+cos2=1,；"os2。+CoS2=,14即cos2"=sin2=.又,.(,9，：ShIO=COSO=坐.(2)V5cos(9->)=5(cos6cos/+sin夕SiIl)y5cos-2f5sn=35costcos¢>=sint*.cos29>=sin2=1-cos2>,即cos2#=：.112又V0v°q,：cos=212 .已知函数,小0=2COSX（sinr-cosx）,xR.（1）求函数/U）图像的对称中心；（2）求函数AX）在区间根普上的最小值和最大值.解：(l)(x)=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=/2sin2x-4-1.令2x-1=At,AZ,得X=W+去kWZ,因此，函数大x）的图像的对称中心为修+去一1）,Z.（2）因为於）=isin（2L/-1在区间根，用上为增函数,在区间恃，苧上为减函数,又X9=fX）=i-痣）=ising-力-1=-2cosj-1=-2,故函数段）在区间，苧上的最大值为也一1,最小值为一2模块综合检测（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数於）=3tang一力R的最小正周期为（）A.5B.C.2D.4解析：逸C2 =-1-2=- =T2.已知圆的半径为1,贝1160。的圆心角所对的弧长为a3C.3解析：选A 本题考查弧度制与角度制的互化以及弧长公式的应用.因为Bl心角G=60。=5，BI的半径为1,根据弧长公式，可知弧长为以1=全 故选A.3 .co（一号）-sin（一手）的值是A.2B. -2C. 0* 选Ac。S(T)-sin(一号)=co q+si4=l4 .如果tan夕=2,那么1 ÷sin Ocos 0的值为a3解析：选 C tan 0=2t .l+sin OCOS G=sin2+cos2+sin JCOS tan2+tan 0+1SiiI2+COS2tan?。+122+2+l 722+l =5-5 .已知向量=(l,2),b=(-2f-4),c=5,若(cf)=3则。与C的夹角为A.30oB.60°C.120oD.150°5-2解析：选Cab=-10,则(cb)a=ca一"G=C0+10=与，所以c0=失角为。,则cos O=ac5一一1kJk-5×5- 2'又0。W这180。，所以 =120。.6 .已知函数y=abcosg5（方0）在0xW上的最大值为小最小值为一：，求2«+5的值为A.1D. 4C.3解析：选CV0x,-；"4WCOs(T)WL31；力0并且在OWXWTr上的最大值为3，最小值为一弓,4-32+b=3.7 .有下列命题：在四边形AbCO中，若笈=万不，则四边形ABCO为平行四边形；在四边形AbCO中，AB'DCf且下方万才，则四边形ABC0为梯形；在Aaac中，S=c=AC,则Aabc为正三角形；若P是aAAC所在平面内一点，且IHI=而I=而则点尸为Aabc的内心.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：选C当IEII=IPBl=IPCI时，尸为A43C的外心，故错误，均正确.8.(2(H7天*离号)设函数Ja)=23in(ex+9),xR,其中">0,=0,且大X）的最小正周期大于2通则（）A. co=?， fP2,B.2 IlTr切=3'尹=_Ir八 1 IMC =y (P=-MD.1 7=3' 9=五解析：选A:既）=2,代力=。，且Ar）的最小正周期大于2%* =(2j÷l), mN,* 8力幻的最小正周期大于2r,T=3,w=j,(x)=2sinQx+A2=力+58XGn2S1由2L12,+=得又MV7T,取=0,得9=有.故逸A.9.如图，在等腰直角三角形AOB中，设万才=,OB=btOA=OB=If。为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线,设尸为垂线上任意一点，F=p,则p（b-）=解析：选A因为在等腰直角三角形AOB中，T)Aa9F=b,OAOB=1,所以Ml=Z>=1,ob=0.由题意，可设0尸=一；(方一”)+ig(b+),zR,所以(b-a)%力一。)(万一0)+4(A+0)(6-4)4L)2÷(2-IaF)=一4F+四2-20b)1=2,10.若sin夕+cos夕=啦，则tan(+g的值是()A.23B.-2-y3C.2+3D.-2+3解析：选BVsin2+cos2=l,且Sil+cos夕=也，.”也”也sin=2>CoSO=W,(、tan夕+ta吟+)=-275.1-tan例anJ11 .若,b,c均为单位向量，且“A=0,(ac)(b-c)W0,则Rz+b-c的最大值为()A.2-lB.1C.2D.2解析：选B由题意，知a?=1,p=l,c2=l,由“A=O及(-c)0-c)这0,知(4+5)c2c2=L因为|。+力-cF=a2+b2+c2+25-2”c-25c,所以心+b-c=3-2(c+bc)Wl,故÷Z>-cl.12 .定义行列式运算I：a©alb2-a2bif将函数大幻=F2'的图像向左平移“。0)IbIg1cosZx个单位，所得图像对应的函数为奇函数，则/的最小值为()解析:选A由行列式的定义知人X)=小COS2xsin2x=2cos(2x+向左平移，个单位后，得到的图像对应函数为尸2co(2x+2f+。因为该函数为奇函数，所以2什尹升SkZ.得尸合笫"Z,可知，的最小值为会故逸A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13 .角«的终边与直线y=3x重合，且sin<0,又P(m9)是角终边上一点，且IOPI=标,解析：角”的终边与直线y=3x重合，且SiIlaV0,角”的终边在第三象限.又P(7，)是角终边上一盘，故wv,z<0.n=3mt又I。PI=标' 'M1针=师,解得加=-1,=-3,故/n=2.答案：2IllllUUUIULlaUUIUULUU14 .如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AC与IiD交于点O,则BA-BC-OA+OD+DA解析：原式=CA-OA+04=CA.UU答案：CA15 .设tan“，tan”是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点，则tan(+/?)的值为.解析：因为tana,tan/7是函数/(x)=2-4x+3的两个零点，所以tan+tan/=4,tantan+tan4a-tan/?=3,tan(÷/)=;；=;rr1-tantan1-3答案：一216 .如图所示，A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若=mO÷?1。瓦则7»+加勺取值范围是.解析：由点D是圆O外一点可设BG=BA(>l).M'JOD-0B+ABA=O÷(l-)OB.又CO.D三点共线.令06。一Od(心>1).>则OC=-OA-OB(>l.u>l).I1*M71-所以in=n-/则»:+N=-一-(-1.0).答案：(一10)三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 .(本题满分10分)在平面直角坐标系中，,B两点的坐标分别为(1,2),(3,8),向量CD=(x,3)(1)若"三而，求实数X的值;(2)若前J_布，求实数X的值.解：(1)依题意，AB=(3,8)-(1,2)=(2,6).*：AB/CD9CD=(x,3),2×3-6x=0,x=1.(2y：'AB±CD,CD=(x,3),2x+6×3=0,x=-9.18 .(本题满分12分)在平面直角坐标系XO)，中，以OX为始边作两个锐角,9它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知点A,5的横坐标分别为上喳求tan(+0的值；求搭磊磊黑的值.解：(1)由题意，得COSa=；,cos/=因为，/?为锐角，所以Sina=因此tan=22,tan0=g,所以 tan(+")=tan +tan IS2 陋+59+5jl-tanatan? 1.2ltan(+Q-tan”2+2tan(+为tanatan(+/?)-tana2l+tan(+Qtaa=×tan(÷O-=×tan19 .(本小题满分12分)已知曲线)，=ASilIQ"x+°)(a>0,>O,一红夕§上的一个最高点的坐标为。，i),此点到相邻最低点间的曲线与X轴交于点管，0)(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在一去制上的图像.解：(1)由题恚，知A=巾,T=4X借1)=%；"=爷=2,y=y2sin(2x+).又Sin售X2+,=l,.+9=2Ar+/,AZ,二夕.2左+1,kWZ,又o(r 3=9 j=2sin(2x+.(2)列出X, y的对应值表:X-8838587T2x÷4023 T2y020y20描点、连线，得题中函数在一会用上的图像如图所示.20.(本小题满分12分)已知向量Q=(CoS仇sin。)，b(2, -1).(1)若。_1_心求Sill，一COS 0sin +cos 0的值;(2)若IafI=2,9(,9,求SiIlG+/的值.解：(1)由J>Z>可知，=2cos0sin/?=0,所以sin=2COSO9Siil一cos02cos一COS01“sin"+cos夕-2COS夕+cos。-3'(2)由->=(cosO-2,Sil1+1)可得,a-b|=/(cos2)2+(sin÷1)2二y6-4cos+2SiII4=2,即l-2cos"+sin0=0,又cos2夕+siM夕=1,且（,胃），由可解得S3-5 4Z?+cos 0）=邺+公=述-2k5+5-10.21.（本小题满分12分）已知函数人X）=小SinXCOSX+cos2+o.（1）求人X）的最小正周期及单调递减区间；若加在区间一去手上的最大值与最小值的和为去求。的值.f.uS.1+cos2x.解：（1）因为fix）r-sin2x÷Ya=sin（2x+6j+fl÷r所以T=t.由m+2Ar2x+,空+2A",AZ,得a+AttWxW,+Att,kWZ,故函数段）的单调递减区间是廿Ar,y+（Z）.（2）因为一xWg,所以一*2x+今今,-si11（2x+f）l.因为函数AX）在一*MI上的最大值与最小值的和为（1+。+3+（；+。+3=去所以a=0.22.（本小题满分12分）已知函数4X）=Sin2+25sinxcosx+sinG+gin（一个）*求Ar）的最小正周期和单调递增区间；若X=XoOWX0W为AX）的一个零点，求cos2x0的值.解：（IJZIx）=SiMx+由SiIl2x-Icos2x-cos=+3sin2x-Icos2xyisin2-cos2x+,=2sin(2x-1)+|,.J(x)的最小正周期为.由一T+2ArW2-%wg+2A7r(AWZ),/OX得一+A7tWxWW+Ar(AWZ).oJj的单调递增区间为一汁+mz).由Xo)=2sin(2xo-5+；=O,得sin(2xo-56j=-4<又由0x,得一点W2X0-3手,:2xo-<0,cos2xo=COS2xo-=cos2xo-cos-sin2xo-sin=M-(V)l-35+l×2-8.