学而思小学奥数36个精彩讲座总汇全.docx

第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的.找到最长的分数线，将其上视为分子,其下视为分母.2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.5.本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级第1讲循环小数与分数.7J1 4-+-r 1.计算：一-2-13-L-3 A 8 3 416 71 7【分析与解】原式二46x2,二 131-12 8 3 2.计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有191.于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在193后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1：如果不一致，也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X0.5.具体过程如下：5 9 原式二号 W31195(_627+1995X0.51995 9 50=1199304 04 1995 0.5 0.5 3.计算：1-：-1987 1112811128 4 4 2323-8 8 23124 23124 一 3 3 19-1.32 9 19-1.32 9 z1993 0.4(-1995x0.4 4 0.4 0.5 1995x0.5【分析与解】原式二 1募 1+-1986,1987 39733973 1986 交叉相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.5.求 4,43,443,.,44.43 这 10个数的和.9【分析与解】方法一：=4+(44-1)+(444-1)+.+(44.4-1)K)个4 4 八”C=4+44+444+.44.4-9=-(9+99+999+.+999.9)-9 10个4 9 4“八 =-(10-1)+(100-1)+(1OOO-1)+.+(1000.0-1)-9 4=-l11.100-9=4938271591.Q 一：9 个 I 方法二：先计算这 10 个数的个位数字和为 3x9+4=3U;再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为 20+2=2；再计算这10个数的百万位数字和为4X4=16,加上十万位的进位的2,为 16+2=1 同；再计算这10个数的千万位数字和为4X3=12,加上百万位的进位的1,为 12+1=1 囱；4.计算：二 1-2+一 T x+-4 Q,那么X等于多少？11【分析与解】方法一:11 1+!-1+!2+-r 2+x l 4x1 4 1 8x+6 8 1 l 4x+l-12x+7-8x+6 方法二：有1+1一 2+-T X+4,所以2+与 x+-4 8-2 1=2+；所以 x+=3,那么 X=L 25.2 再计算这10个数的十位数字和为4X9=36,加上个位的进位的3,为 36+3=3 回;再计算这10个数的百位数字和为4X8=32,加上十位的进位的3,为 32+3=3 回 再计算这10个数的千位数字和为4X7=28,加上百位的进位的3,为 28+3=3I;再计算这10个数的万位数字和为4X6=24,加上千位的进位的3,为 24+3=2 团;再计算这10个数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的1,为 8+1=回;最后计算这10个数的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为国.所以，这10个数的和为4938271591.6.如图1-1,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：7.我们规定，符号“O”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符号 23 155（0.625-）（-Q0.4）表示选择两数中较小数的运算，例如：3.52.9=2.93.5=2,9.请计算：33皆4-（竺 03）+（器 2.25）【分析与解】原式 8.三(3)=234,(4)=345,(5)=456,(10)=9IOX11,.11-=11,(16)(17)(17)那么方框内应填的数是多少？【分析与解】_2_吐_L=丝(16)(17)(17)(16)15 16 17 9.从和式中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?24681012【分析与解】因为！+-L=J,所以J_,L,_L,_L的和为1,因此应去掉！与_!_.6124 24612 810 10.如图卜2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数局部是一位的循环小数,例如1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少？【分析与解】有整数局部尽可能大，十分位尽可能大，那么有92918较大，于是最大的为 9.291892915.IL请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数.【分析与解】有 J+-L=,-L+-L=L,-L+=-L 6101510156351410 评注：此题实质可以说是寻找李生质数，为什么这么说呢？.1 1c+aW1,.1 1c+a1 注意至 4-1-=-，当 a+c=b 时，有-F-=-=-.a bc ba b c a bc ba b ca c 当 a、b、C 两两互质时，显然满足题意.显然当 a、b、C 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为 2,不妨设 a为 2,那么有 2+c=b,显然 b、C 为一对李生质数.即可得出一般公式：-?-+,C 与 c+2 均为质数即可.2(c+2)c(c+2)2 c【分析与解】12.计算：（1-2 2)x(1-3x3).(1-IOXlo)1357 99 1 14.问一 xxxx.x与一相比，哪个更大，为什么？而B中分数对应的都比A中的分数大，那么它们的乘积也是BA,1 3 3 5 5 7 7.97 97 99 99 1 2 2 4 4 6 6 8.96 98 98 100 100 9799 99 1 1 西 T(2-l)(2+l)(3-l)(3+l)(10-l)(10+l)原式二-.-2 2 3 3 10 x10 l 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 ll 2 2 3 3 4 4.10 10 1 2 3 3 4 4 5 5.9 9 IOxll 2 2 3 3 4 4.9 9 10 10 l 2 10 ll 11 2 2 10 10 20,0 11 66+12 67+13 68+14 69+15 70 曰 QlC 13.a=-XloO.问 a 的整数局部是多少？11 65+12 66+13 67+14 68+15 69【分析与解】11(65+1)12(66+1)+13(67+1)+14(68 1)+15x(69+1)一-100 11 65+12 66+13 67+14 68+15 69=(1+11+12 13 14+15 11 65+12 66+13 67+14 68 15 69)100=100+11+12+13 14+15 11 65+12 66+13 67+14 68+15 69 100.因为 11+12+13+14+15 11 65+12 66+13 67+14 68+15 69 所以 a 100+些=101 至.11+12 13+14+15 100 100100+U=IoI2.69 69 31 35 综上有 101 VaVIOl.所以 a 的整数局部为 101.11+12+13+14 15 100 -(11+12+13+14+15)69 Xloo 二国 69 69 65 100 10 13 5 7【分析与解】方法一：令;x=x2x 2 4 6 8 1 3 5 7 99 2 有 AB=-.-99 .=A,100 4 6 8 X X -.100 3 5 7 9 I(X)X X X .-3 5 7 9 101 101 101=B,W AA4B(=-)101 100 10 1 3 5 7 99 xrll 即一 一 X 一 .T 一,所以有 AXAV X,那么 AV.100 10 3 5 7 97 10 更大.10 10 10 10 X X X .X-,那么A2=-X-2 2 2 4 6 8 98 100 3 3 5 5 99 99-X X X.-X-1 100 显然凶、织、卫 2 2 4 4 6 6 98x98 100 -、-都是小于1的，所以有A2-于是AV.15.下面是两个1989位整数相乘：111.11 11L.11.乘积的各位数字之和是多少?1989个1 1989个1【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,那么结果不变.因为UL能被9整除，所以将一个IlL.111989个I 1989个I 乘以9,另一个除以9,使原算式变成：=(10-l)l23456790Ol2345679 1989个O 共1988位数=123456790.Ol2345679OOO-l23456790Ol2345679；、2XXjM I同个O llJ9SSb.i7=123456790012345679123456789876543209987654320987654321 共1痴位数,云1嬴位数-得到的结果中有1980 9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901 评注：111111111 9=12345679;卜汉 999.?的数字和为 9、1.(其中 MW999.9).可以利用上面性质较快的获得结果.k个9 k个9 第2讲计算综合(二)本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算.1.n(n+l)=n(n+l)(n+2)-(n-l)n(n+l)3;2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).100【分析与解】其中A=99,B=99+-L.因为A98+,100 AB 1 1,a=T-2+3+T+-99,b=2+3+1 丁 1 试比拟a、b的大小.2+3r-A 2+_ 3-一l-4+一+j-98+-B,所以有ab.的和？2005 所以原式的和为L 评注：上面补充的两例中表达了递推和整体思想.2.试求1+2+3+4+4+100的值？【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)X项数 2=(l+100)X100 2=5050.方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+97+98+99+100 100+99+98+97+96+4+3+2+1,上下两个数相加都是101,并且有100组，所以两倍原式的和为IolXlO0,那么原式的和为 101X100 2=5050.方法三：整数裂项(重点)，原式=(lX2+2X2+3X2+4X2+100X2)2=l 2+2(3-l)+3(4-2)+4(5-3)+.100(101-99)2=(12+231x2+3x4-2x3+4x53x4+100 101991(X)2=100 101 2=5050.3.试求IX2+2X3+3X4+4X5+5X6+99X100.【分析与解】方法一：整数裂项 原式=(lX2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+i+99X100X3)3=l23+23(4-l)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3(-IM-2-M-3-+2x3*4-42*3+345-23*4+4*5x6-3x45+567-456+99!0010l-44490)3=99100101 3=33101100=3333x100=333300.方程二：利用平方差公式/+22+32+42+rJ2=x(+l)x(2+l)原式：l2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99=l2+22+32+42+52+992+2+3+4+5+99 99 100 19999x100=328350+4950=333300.5.计算以下式子的值：0.l0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.79.9+9.810.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算.即先计算 1X3+2X4+3X5+4X6+97x99+98X100。再除以100.【分析与解】记X=,那么题目所要求的等式可写为:=24(=24x(-1 1 1-H 2x3 4x5 1 1 1-H 2 3 4 5 20 21 1)-6x(!+!+1 1 2 3 2 3 5 H-10 11 12 20 21)-24(-1-2 4 3 4 6 5+H-)20 22 21 二 24x(2 3 2 4 3)+(-)+-+(4 5 4 6 5 20 21 20 22 21 方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.O.l0.3+0.20.4+0.3X0.5+0.40.6+9.79.9+9.8x10.0=(l3+24+35+46+9799+98100)100=(l2+l)+(23+2)+(3X4+3)+(4X5+4)+(97X98+97)+(98X99+98)100=(l2+23+34+4X5+9798+98X99)+(1+2+3+4+-+97+98)100=(-9899100+-9899)100 3 2=3234+48.51=3282.51 方法二：可以使用平方差公式进行计算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.79.9+9.810.0=(l3+24+35+46+97X99+98X100)100=(l2-l+22-l+32-l+42-l+52-l+992-l)100=(1,+22+32+42+52+992-99)100=(-99100199-99)100 6=16.5X199-0.99=16.5200-16.5-0.99=3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.l2+23+34+(n-l)Xn=-l23+233+343+(n-l)n3 3=-l23+23(4-l)+34(5-2)+(n-l)nn+l-(n-2)3 1X2x32x3x1+234-3x4x2+3x4x5+1 一(一 1)XX(-2)+(-1)XX(+1)=-(H-1)W(H 1)6.计算以下式子的值：【分析与解】虽然很容易看出L=_L_L可是再仔细一看，并没有什么效果，2 3234 545 因为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 l2+22+32+-+n2=-n(n+l)(2n+l),于是我们又有二5-T 6 l2 22+32+n2 减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个呢?(H+1)(2H-1)=6X(-1-1x22x3=6(1-)11 60 11 7.计算以下式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=198012X2=396024.习题 计算17X18+1819+1920+2930的值.提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-1617X6=7358.第3讲多位数的运算 多位数的运算，涉及利用 999J=IOk-I,提出公因数，递推等方法求解问题.l 个 9 一、9999=1Ok-I 的运用 1-9 在多位数运算中，我们往往运用 9992=1OkT来转化问题;A7-9 如：333359049 20Oi个3 我们把理一 3 转化为 9999 3,2004个3 2004个9 于是原式为 333359049=(9999 3)X59049=9999X59049=(100O0-1)X 2004个3 2004个O 20(H个9 2004个O 19683=19683100O0-19683 20040 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；20耳个9 1968299999999+1 2004个9 1968299999999+1-19683 如：；999个9-，于是为968299980317.一 6一、1999个9 7.1.299.980316+1 1999个9 1968299-980317 简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数.ljt=333_JX2X3X3X3333 2004个3 2008个3 =24(2 4 -F*)4 6-20 22 IOxll=3333 2 3 9999 2004个3 2008个9=199998(I(XX)0-1)2003个9,(K)sz-,=199998 10000199998 2XH,i-!i?IK)X：!2凶3个，2003个9 2008个9 19997999999999+1-199998-，于是为 1999979990 吧包.i9957996i 2003个9 2003个。199997999800002,(1-)FO3F)2.计算 1111-2222=AXA,求 A.2004个1 1002个2【分析与解】此题的显著特征是式子都含有 111.1,从而找出突破口.IllI-侬2=HL2I吧IQ-11j24 2004个I】002个2 1002个11002个0】002个1(10000-1)1002个0(9999)1002个9(Hl1 3 3)=A2 1I：IJl 3.计算 6666 6666X25 的乘积数字和是多少？2006 2003个6【分析与解】我们还是利用 9999=10000-1 来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成k个9 k个0 9999,于是我们就创造条件使用：k个9 2 2 6666 66667 25=-(9999)-(9999)+1 25 2004个6 2003个6 J 20(M个9 J 2004个9 2 2=-(10000-1)-(10000)+1 25 J 2004个0 J 2004个0=-X-2 10000-2 2X(10000)+1 25 2004个0 2004个0 25=X4X10000-2X10000-2 =Ill 1 1002 个 I=Ill IX 1002 个 I=Ill IX 1002 个 I 所以，A=333.1002个 3 4008 个 0 2004 个 0=9999-9999=100 1111-50X1111 4008个I 2004个1=Hll-55550(求差过程详见评注)4008个1 2004个5=IlL-1055550 2004个I 2004个5 所以原式的乘积为 Ill1055550 2004个1 2004个5 那么原式乘积的数字和为 IX2004+5X2004=12024.评注：对于!Ul-55550 的计算，我们再详细的说一说.4008个I2004.5=Hl10000+111l-55550 2005个12050 2003个1 5=Ill109999+1+111l-55550 2Hi1.1(K)51-9 2(X)1I=QjLJP44449+QjlJOl 2004个1 2004个4 XN)；1=IH105555 2004个120Oi行 4.计算些 22222的积？1998个2 1998个2【分析与解】我们先还是同上例来凑成 9999；k个9=-f999Jx2222 9.-71998个91998个2=-10000-1 2222 9I19$杯0)I9982 X444.40000-444.4 19954*41998个O 19984=1x4444355556（求差过程详见评注）Q /1997个41997个5 我们知道 4444 能被 9 整除，商为：049382716.1 又知 1997 个 4,9 个数一组，共 221 组，还剩下 8 个 4,那么这样数字和为 8X4=32,加上后面的 3,那么数字和为 35,于是再加上 2 个 5,数字和为 45,可以被 9 整除.4444355 能被9整除，商为04938271595；我们知道 5555 能被 9 整除，商为：061728395；这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除.=-1000 0-1 9 1 199Wlo 444.4 1998 个 4 55556 能被9整除，商为0617284.6不5 于是，最终的商为：评注：对于 44440000-4444 计算，我们再详细的说一说.1998个41998个0 1998个4 44440000-4444 19981%41998个0 1998个4=444439999-4444 1997个4 19%个9 1998个4=444435555 1 1997个4 1998个5=4444355556.前个4 1R沁5 二、提出公因式 有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等.-199819981998)-199919991999)1999 1998个1998 1998个1999【分析与解】199819981998=1998 1001100b1001 1998个1998 1998个IooI 原式=1998(l+10001+100010001+10011001；1001)1999X(1+10001+100010001+-1998iooi-100110011001)X1999=1998 1999X1999=1998.1998个IOol 6.试求1993X123X999999乘积的数字和为多少？【分析与解】我们可以先求出1993X123的乘积，再计算与(100Oo001)的乘积，但是1993X123还是有点繁琐.设1993X123=M,那么(IoOoXl23=)123000M)(9-c)(9-J)(9-e)(9-)+l=C6,(-l)(9-6z)(9-)(9-c)(9-J)(9-)(9-7+1)那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f-1)+(9-a)+(9-b)+(9-c)+(9-d)+(9-e)+(9-f+l)=9X6=54.所以原式的计算结果的数字和为54.评注：MX9992 的数字和为9Xk.(其中 M 的位数为X,且XWk).k个9 7.试求9999999乂99999999 、9999 9999 9999 乘积的数字和为多少？256个9 512个9 1024个9【分析与解】通过上题的计算，由 I 上题评注|：设 9X99X9999X99999999XX999999999999=M,256个9 512个9 1024个9 于是MX9999 类似巡的情况，于是，确定好 M 的位数即可；1024个9 注意到9X99X9999X99999999XX9999 9999=M,256个9 512个9 那么MIOX100Xoooi3ooooooooX100oOXloOoo=oooo 2560 510-其中k=l+2+4+8+16+512=1024-1=1023；即 M10000,即 M 最多为 1023 位数，所以满足出题的的使用条件，那么 M 与 9999 乘积的数字 1023个O 1024个9 和为1024X9=102401024=9216.原式的乘积数字和为9216.三、递推法的运用 有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法.8.我们定义完全平方数A2=AXA,即一个数乘以自身得到的数为完全平方数;：【分析与解】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121=112;12321=1112;1234321=11112.于是，我们归纳为1234n4321=(1111)2 2272=77777772.所以，题中原式乘积为7777777的平方.评注：以上归纳的公式1234n4321=(1111)2,只有在n10时成立.n个1 9.444488889=,求A为多少？(5S个4-20038 求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?【分析与解】方法一：问题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有 N488889 可以看成石 488889,其中n=2004;200442OO378 nT个8 寻找规律：当n=l时，有49=7)当n=2时,有4489=67?；当n=3时，有444889=667?；于是，类推有 444488889-666672 2004个42003个8 2003个6 方法二：下面给出严格计算：444488889=4444(XX)0+8888+1；2004个42003个8 2004个4200-1 2004个8 那么 44440000+8888+1=1111(4X100()0+8)+1=(111.1)2 36+12 lll1+1 2004个1=(1111)2 62+2(6X111.!)+1 2003个6 由知病488889=666672,于是数字和为(4n+8n8+9)=12n+l=2005;于是，n=167,所以 444488889 二 666672,所以存在，并且为 444488889.10.计算 6666X9X333.3 的乘积是多少？【分析与解】采用递推的方法6X9X3=162；66X9X33=19602；666X9X333=1996002；于是，猜测 6666 9 3333=199996(XX)02 n个6 n3”T 个9 联1个0 6666 9 3333=19999600002 2008个6 2008个3 2007个9 200740 评注：我们与题 1 比照，发现题 1 为 6666X9X3X333.3 使用递推的方法就有隙 2008收 2004个3 碍，期 92=1Ok-I 这种方法适用面要广泛一点.练习 L设 N=6666 9 7777,那么 N 的各位数字之和为多少？2000个6 2007个7 练习 2.乘积 9999 9999 的积是多少?各位数字之和又是多少？1999个9 19999 练习 3.试求 UlLjXUl1 的各位数字之和是多少？200l 第4讲比例和百分数 本钱、利润、价格等根本经济术语，以及它们之间的关系.各种数据或所求结果中包含比例与百分数的应2004 个 4=Hl JX 2(I zI-I=mi 2004 个 1 2lO 4 4 2(XM 个 8 2004 个 1 2004 个 O(999 9+1)+8+1 2004个 9(999 9)+12+1 2004 个 9 2004个 1 20(M 个 1=(666 67)2004 个 1 n个4 n-l个8 n-l 个6 167 个 4 166 个 8 166 个 6 167 个 4 166 个 8 2008 个 6 2008 个 3 用题，有时恰中选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算.1.迎春农机厂方案生产一批插秧机，现已完成方案的 56%,如果再生产5040台，总产量就超过方案产量的16%.那么，原方案生产插秧机多少台？【分析与解】：5040(l+16%-56%)=8400(台).2.圆珠笔和铅笔的价格比是4：3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元.问圆珠笔的单价是每支多少元？【分析与解】：设圆珠笔的价格为4,那么铅笔的价格为3,那么20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20X4+21X3=143,那么单位“1”的价格为7L5 143:0.5元.所以圆珠笔的单价是0.5X4=2(元).3.李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的!卖给商店,4 工卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%.原3 来东、西两院一共养鸡多少只？【分析与解】：方法一：设原来东西两院一共养鸡X只，那么西院养鸡(x-40)只.依题意：.（x-40）x（l;一 g）+40=gx,解出 x=280.即原来东、西两院一共养鸡280只.方法二：50%即东、西两院剩下的鸡等于东院的！加上西院的工,即20+,西院原养鸡数.2 2 2 2 有东院剩下40只鸡，西院剩下原 1-L-=a 的鸡.4312 所以有西院原养鸡(4020)(L-21240N,即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只.4.用一批纸装订一种练习本.如果己装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，那么还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张？【分析与解】方法一：装订120本，剩下40%的纸，即用了60%的纸.那么装订185本，需用185X(60%120)=92.5%的纸，即剩下1-92.5%=7.5%的纸，为1350张.所以这批纸共有1350 7.5%=18000张.方法二：120本对应(b40%=)60%的总量，那么总量为120 60%=200本.当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350 15=90张，那么200本需200X90=18000张.即这批纸共有18000张.5.有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%,总人数增加16人.那么现有男同学多少人？【分析与解】男生增加25人，女生减少5%,而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，那么女生原来有9 5%=180人，那么男生有325-180=145人.增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人.6.有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16块水果糖后，奶糖就只占25%那么，这堆糖果中有奶糖多少块？45 9 251【分析与解】方法一：原来奶糖占二一，后来占=,因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也 10020 1004 9 比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(4x1)=20块.20 9 其中奶糖有20X=9块.20 方法二：原来奶糖与其他糖（包含水果糖）之比是45%：（l-45）=9:11,设奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份.现在奶糖与其他糖之比是25%：（1-25%）=1:3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27Tl=I6份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，1份即1块.奶糖占9份，就是9块奶糖.7.甲乙两包糖的重量比是4：1,如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7：5.那么两包糖重量的总和是多少克？【分析与解】两包糖数量的总数是 8.有假设干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中自子都占28%.小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32%.那么，共有棋子多少堆？【分析与解】方法一：设有X堆棋子，每堆有棋子“1”.根据拿走黑子白子总数不变.列方程得 xx28=(x-x32%,化简得 28x=32(-),两边同除以 4,I2 2 得7x=8（X）,解得X=4.2 即共有棋子4堆.方法二：注意到所有棋子中的白子个数前后不变，所以设白子数为“1”.那么有：IQ*25 1 7S 黑子变化了-二一，对应为一堆；所以一对应1堆.7856 2 28 1Q25 2525 而开始共有棋子1+二一，所以共有一一二4堆.7 7 728 9.幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.大班中男生数与女生数的比为5：3,中班中男生数与女生数的比为2：L那么大班有女生多少名？【分析与解】设大班女生有X名，那么中班女生有（18-x）名.根据男生数可列出 5 2 方程：X-+（18-x）-=32,解得X=I2.3 1 所以大班有女生12名.10.某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的号与原二班的丢组成新一班，将原一班的（与原二班的吉组成新二班,余下的30人组成新三班.如果新一班的人数比新二班的人数多10%,那么原一班有多少人？【分析与解】7 5 有新三班的为原一、二班总人数的1-二一，为30人.1212 所以原来两班总人数是：3（）3=72（人）.12 那么新一班与新二班人数总和是72-30=42（人）.现在再把新二班人数算作1份.10 =包括4、5题=包括6、7题,其中步骤中参加百鸡问题.复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程.整数分拆问题：11、12、13、14、15.1.在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个？【分析与解】设这个两位数为茄，那么数字和为。+人，这个数可以表达为 10+/?,有(IOQ+8)(+8)=4 即 Ioa+b=4t+4b,亦即 Z?=勿.注意到和Z?都是O到9的整数，且。不能为0,因此。只能为1、2、3或4,相应地b的取值为2、4、6、8.综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48.2.设A和B都是自然数，并且满足4+2=口,那么A+B等于多少？11333【分析与解】将等式两边通分，有3A+11B=17,显然有B=l,A=2时满足，此时A+B=2+l=3.3.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支.张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购置甲级铅笔X支，乙级铅笔y支.有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法:将系数与常数对3取模(系数7,3中，3最小)：得x=2(mod3),所以X可以取2,此时y取12；X还可以取2+3=5,此时y取5；x=2 x=5 一,即、，对应+y为14、10 y=l2y=5 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支.4.有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有假设干张.问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、C张和d张，列方程如下：H a+b+c+d=60(1)由4+10 力+1OOc+1OOOJ=10000(2)(2)(1)得 9Z?+99。+9994=9940.注意到式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元.5.将一根长为374厘米的合金铝管截成假设干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计.问：剩余局部的管子最少是多少厘米？【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成假设干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2,所以截完以后必有剩余.剩余管料长不小于2厘米.另一方面，374=27X12+4X12+2,而36 12=3,24 12=2,有3X9+2X2=31.即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米.因此剩余局部的管子最少是2厘米.6.某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树.那么其中有多少名男职工？【分析与解】设男职工X人，孩子y人，那么女职工3y-x人(注意，为何设孩子数为y人，而不是设女职工为y人)，那么有13x+10(3y-X)+6y=216,化简为3x+36y=216,即x+12y=72.A=60 但是，女职工人数为3-X必须是自然数，所以只有IX=I2时，3y-x=3满足.y=5 那么男职工数只能为12名 7.一居民要装修房屋，买来长0.7米和0.8米的两种木条各假设干根.如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条,例如：0.7+0.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米.那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的？【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别X,y根