线性系统的频域分析法之一.ppt

1.什么是频域分析法(1)系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应（和输入有相同频率的量）；(2)以正弦量三要素中的幅值和相位组成的复数称为该正弦量的复振幅；(3)系统的频率响应（正弦量）与正弦输入信号（正弦量）在全范围内的复振幅之比称为频率特性（复数量）；,二、频域分析法,定义:稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；,定义:稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；,幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量，它也是 的函数。称为频率特性。,幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：,实频特性,虚频特性,幅频特性,相频特性,三、频率特性的几种表示方法,1、频率特性的数学表示,极坐标系,2、幅频特性、相频特性、幅相特性,，,为系统的幅频特性。,为系统的相频特性。,G（j）的模，它等于稳态的输出分量与输入分量幅值之比。,，,G(j)的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。,对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线,对数幅频特性：,对数相频特性:,3、对数频率特性,它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。,四、频率特性的图像,（1）极坐标图（乃奎斯特图或简称乃氏图）,极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。,乃氏图的优点：它可以在一张图上描绘出整个频域的频率响应。,不足：计算非常繁琐；不直观，无法明显地看出每个零点和极点的影响；增添了新的零点或极点时，只能重新计算；看不出的变化速度。,由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所以当w从0 的频率特性曲线和w从0的频率特性曲线是对称于实轴的。,极坐标图（乃氏图）的绘制（1）基本法（幅值与相角法）作表格在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。,表1 幅相表,（3）找特殊点 找到几个特殊点绘制大致图形 若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原理，做出全频段的幅像特性图。,（2）求实部、虚部（实部虚部法）分别计算 的实部和虚部，在复平面上找到相应点，用光滑曲线连起来。,对数幅相图又称为尼氏图，对数幅相图采用直角坐标系，其中取幅频特性 的对数 为纵坐标，单位为分贝（dB），线性分度，取相频特性 做横坐标单位为度（），线性分度，对数幅相图是以频率 为参变量的。一般用于闭环系统频率特性分析中。,（2）对数幅相图(Nichols),对数幅频特性曲线以频率 为横坐标，并采用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数，单位为分贝（dB），线性分度，对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单位为度（）,线性分度，对数幅频特性和对数相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图，简称伯氏图。,（3）对数坐标图【伯德（Bode）图】,Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。,波德图坐标的分度,横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。,（3）对数坐标图【伯德（Bode）图】,对数分度方法：,对数幅频特性曲线 L(),由于w 以对数分度，所以零频率点在处。,纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w)表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20logA(w)值标注在纵坐标上。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log(幅值),何谓最小相位系统和非最小相位系统？在s平面右半部没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在s平面右半部有极点和零点的传递函数称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，称为非最小相位系统。,一、典型环节,1、典型环节的分类,比例环节：K，K0 积分环节：1/s 微分环节：s 惯性环节：1/(Ts+1)，T0 一阶微分环节：(Ts+1)，T0,（1）最小相环节,分为两大类：最小相环节和非最小相环节。,二阶振荡环节：,二阶微分环节：,（2）非最小相环节,比例环节：K，K0 惯性环节：1/(Ts+1)，T0 一阶微分环节：(Ts+1)，T0,二阶振荡环节：,二阶微分环节：,0o,K,转折频率,转折频率,转折频率,-90o,-180o,0o-90o,0o90o,0o-180o,比例,积分,重积分,惯性,比例微分,振荡,常用典型环节伯德图特征表,0,0,-20,-20,-40,0,20,0,-40,典型环节的对数频率特性的性质,（1）最小相与其对应的非最小相环节,（2）传函互为倒数的典型环节,比例环节最小相与非最小相幅频特性相同，相频特性差180，即一个0，一个-180；其他环节最小相与非最小相幅频特性相同，相频特性符号相反（关于0线对称），复数幅相曲线关于实轴对称。,对数幅频特性符号相反（关于0dB线对称），相频特性符号相反（关于0线对称）。,（3）对数幅频特性渐近线,对于一阶、二阶各环节对数幅频特性进行渐近化简。,一阶各环节：惯性，微分,一阶惯性、微分环节的渐近线,二阶各环节：振荡，微分,(1)0型系统,=0,特殊点:,系统起点和终点,K,=0,n-m=2,n-m=1,n-m=3,Re,Im,0,=0,=,=0,=,幅频和相频特性:,具体分析：,(2)型系统,=1,系统起点和终点,n-m=2,n-m=1,n-m=3,=,Re,Im,0,=0,=,幅频和相频特性:,=1,特殊点:,=0,(3)II型系统,=2,n-m=2,n-m=1,n-m=3,系统起点和终点,=0,=,幅频和相频特性:,Re,Im,0,=0,=,=2,特殊点:,开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图:,=1,=0,=3,=2,奈氏曲线的起点,奈氏曲线的终点,n-m=2,n-m=1,n-m=3,Re,Im,0,Re,Im,0,=,例5-1 试绘制系统的奈氏图。,系统的奈氏图,解：,n-m=2,I型系统,特殊点:,=0,=,Re,Im,0,=0,=,例5-2 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。,解：,1)T,=0,0,=,K,0型，n=m,Re,Im,0,=0,=,1)T,=0,0,=,K,=0,=,（1）系统开环幅相的特点,当频率 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率时,若nm，|G(j)|=0,相角为(m-n)/2。若G(s)中分子含有s因子环节，其G(j)曲线随 变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。此点对应值称穿越频率，记为x。,（2）当系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节,系统开环幅相特性曲线,（3）当系统开环传递函数分子有一阶微分环节,取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线,开环幅相特性曲线出现凹凸,（4）当开环传递函数有积分环节时,含有积分环节时的开环幅相特性曲线,频率趋于零时，幅值趋于无穷大,解：G（s）可以认为是由K、1/（T1s+1）、1/（T2s+1）三个典型环节串联组成。即 G（s）=G1（s）G2（s）G3（s）由于环节 K、1/（T1s+1）、1/（T2s+1）的频率特性分别为:,例5-3 设某0型系统开环传递函数G（s）=K/（T1s+1）（T2s+1）（T1 T2），试绘制系统的开环幅相曲线。,对数幅频特性曲线常用其渐近线表示，对数幅频特性曲线渐近线可直接画出。开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的部分称为低频段。对数幅频特性在和0db/dec交点处的频率附近的频段称为中频段，交点频率称为开环截止频率，或者幅值穿越频率。在最后一个转折频率以后的频段称为高频段。,若系统的开环传递函数有 个积分环节，则称为 型系统。型系统的对数幅频特性的低频段近似为对于0型系统，作一条高度为20lgK的斜率为0dB/dec的直线（水平线）；对于I型系统,过=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为-20dB/dec的直线；对于II型系统，过=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为-40dB/dec的直线。上面作出的直线上在第一个转折频率之前的那一部分即为对数幅频特性的低频段。,例5-4 已知开环传递函数，试画出系统的 开环对数频率特性曲线。,解：,画出各环节的对数频率特性曲线,G1(s)=10,-20dBdec,3,1,4,2,L1,L3,L2,L4,1,10,0.5,-40dB/dec,G3(s)=0.1s+1,各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。,-20dB/dec,可知：,低频段幅频特性可近似表示为：,低频段曲线的斜率,低频段曲线的高度,L(1)=20lgK,根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。,实际的作图过程可简化为：,1)将开环传递函数标准化；,2)在坐标中标出各环节的转折频率；,3)过=1，L()=20lgK 这点，作斜 率为-20dB/dec 的低频渐近线；,4)每到某一环节的转折频率处，根据该 环节的特性改变一次渐近线的斜率。,5)画出对数相频特性的近似曲线。,说明：,）（Ts+1）及1/（Ts+1）的交接频率为1/T；振荡环节及二阶微分环节的交接频率为n。,）在=1处量出幅值为20lgK（A点）。其中K为开环放大系数。,iii）绘制低频段对数渐近线。,过A点，作一条斜率为20（dB/dec）的直线，直到第一个交接频率1处（B点）。其中为G（s）中积分环节的个数。,-1,-2,-1,-2,若11，则低频段对数渐近线止于1处（B点），但其延长线经过A点。,斜率的改变规律,a遇到惯性环节的交接频率时，斜率增加-20 dB/dec；b.遇到一阶微分环节的交接频率时,斜率增加20dB/dec；c遇到振荡环节的交接频率时，斜率增加-40 dB/dec；d遇到二阶微分环节的交接频率时,斜率增加40 dB/dec；,例5-5 试画出系统的伯德图,解：,将式子标准化,各转折频率为：,1,-20dB/dec,20,2,-40dB/dec,-20dB/dec,-40dB/dec,低频段曲线：,20lgK=20lg10=20dB,相频特性曲线：,=0,=,例5-6 已知系统开环传函为,试绘制开环伯德图,解：,20,-60,-40,-20,60,40,0.001,0.1,1,10,100,0.01,-4,-2,-1,-2,8,20,3、由幅频特性写其最小相系统传函,例5-7 已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。,解：,1.=0,低频渐近线为,系统的伯德图：,20lgK,-40dB/dec,0,-20dB/dec,=20lgK=,即,0,1,-20dB/dec,-40dB/dec,低频段的曲线与横轴相交点的频率为:,2.=1,20lgK,=1,系统的伯德图：,因为,故,-20dB/dec,-40dB/dec,-40dB/dec,1,3.=2,系统的伯德图：,=1,20lgK,低频段的曲线与横轴相交点的频率为:,因为,故,0,例5-8 由实测数据作出系统的伯德图如图所示，试求系统的传递函数。,0.5,-20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,2,3dB,解:,由图可得：,20lgMr=3dB,Mr=1.41,得：,根据,得,由频率曲线得,s2,10,G(s)=,(0.25s2+0.38s+1),(2s+1),解：1）低频段斜率为-20dB/dec，应有环节1/s；,2）在1=2和2=20处，斜率分别由-20变为0，由0变为-20，说明系统含有环节 s+2，1/（s+20）,故系统开环传递函数具有下如形式：,例5-9 设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。,K(s/2+1)G(s)=-s（s/20+1）,3）在=2处的分贝值为20dB，显然：,此处的分贝值是由K与1/s共同决定的，即:20lg（K/）=20,当=2时，有K=20,因此，有:,20(s/2+1)G(s)=-s（s/20+1）,K G(s)=-s（s/1+1）（s/2+1）,解：1）低频段斜率为-20dB/dec，应有环节1/s,2)有两个交接频率：1，2，且经过1，2处时斜率分别由-20变为-40，由-40变为-60，说明系统开环传递函数中含有环节:1/（s/1+1）和 1/（s/2+1）,3)系统开环传递函数形式为：,5,例5-10 设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。,4）根据已知条件确定 K，1和2：,由于1处的分贝值为40dB，根据,因1处的分贝值是由 K/s 决定的，故有：,20lg（K/1）=40(1),当=5时,分贝值为零,此时由K/s 和1/（s/1+1）共同决定的;,5,同样,2处的分贝值为-12 dB，由 K/s 和1/（s/1+1）共同决定，故有：,5,联立求解(1)-(5)得:,故系统开环传递函数为:,50 250 G(s)=-=-s（s/0.5+1）（s/10+1）s（s+0.5）（s+10）,2.含有延迟环节系统传递函数的确定【*】,解：将实验幅频曲线分别用-20n 去逼近，如图所示，斜率分为-20，-40，-20，-60等四段，故可得各交接频率分别为1，2和8。,例5-11 设某系统的实验频率特性响应曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。（=0.5）,解续：,又:因相频曲线有迟后，所以：系统应包含下列各环节:1/s，K,1/（s+1），s/2+1，及1/(s/8)2+s/8+1,eS,因此，系统传递函数应具有以下形式:,K(s/2+1)esG(s)=-s（s+1）(s/8)2+s/8+1,-1,-1,-2,-3,由于=1时，20lgK=20dB，故 K=10；,又因为=10时，e（10）=-315，（10）=-200,所以，e（10）-（10）=-115,故：-57.3=-115,因此，0.2,-1,-2,-1,-3,验证：=20时，e（20）=-472；（20）=-235e（20）（20）=-237=-57.3 得 0.2,因而 0.2可确定为延迟环节的延迟时间参数。,故有：,10(s/2+1)e0.2sG(s)=-s（s+1）(s/8)2+s/8+1,3.小结(brief summary),由已知实验曲线确定系统开环传递函数的步骤:,1)以斜率为0,20,40,60等直线段去近似代替实验曲线;,2)由近似曲线最左端的直线的斜率来确定系统的积分环节个数;,3)根据=1时的分贝值大小等于20lgK来计算出K值;,4)确定交接频率,并由交接频率及其相应的斜率改变情况,依次确定各环节;,5)在1)4)之基础上,确定不含延迟环节时系统传递函数;,6)若相频曲线存在迟后现象,则还应绘制出系统不含延迟环节时的相频曲线;,7)比较实验曲线与不含延迟环节时系统的相频曲线,根据相角的变化,计算出延迟环节的延迟时间参数。,