微分方程建模举例-96年竞赛题捕鱼问题.ppt
最优捕鱼策略（1996 年全国大学生数学建模竞赛 A题）,为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。,考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略：,鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形，眼、口大，无侧线，生活在海中。,假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，4 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.221011/(1.22 1011+n）。,渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。,1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。,2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。,一 问题的分析,1、给出了各年龄组鱼群的转化规律；,2、给出了它们的相对自然死亡率；,每条 3 龄鱼产卵量为(个),3、给出了鱼产卵的时间分布；只有3、4龄鱼在每年的9、10、11、12月份集中产卵。并给出3、4龄鱼产卵的数量关系：,在一个季节里，每条 4 龄鱼产卵量为(个),成活率（1龄鱼条数与产卵总量 n 之比）,4、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数）及 3、4 龄鱼捕捞强度系数的比值。,捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼 群条数成正比。,目标：,要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变（保证可持续捕获的要求），并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。,二 主要变量说明,：表示（t+1）年 i 龄鱼的数量，,：表示4 龄鱼捕捞强度系数，则,3 龄鱼捕捞强度系数为,：3,4 龄鱼的产卵总数,i=1,2,3,4;,t=0,1,2,3,4;,：表示所捕捞鱼的重量,主要变量：各龄鱼的数量。,三 模型建立,建模关键：建立各相关量与捕捞强度系数 k 的关系，控制 k 到最佳数值，在满足可持续捕获的条件下达到最大收获量。,1 鱼数量变化的一般模型,（1）,各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定状态，即到平衡年时，年末和年初的各龄鱼的数量基本保持不变。,自然死亡情况下,（2）,有捕捞情况下,2 各龄鱼数量变化的具体模型,设年初各龄鱼数量分别为,8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为,12月末，各龄鱼群数量为,卵的总数量为 n，t 按年算，则,18月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末,912月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末,再设 分别为3、4龄鱼在产卵期平均数量，n 为3、4龄鱼产卵数量之和，t 按月计,产卵期产卵总量为,a 为平均每条4 龄鱼产卵个数，,个。,设,为第2年各龄鱼的初值数量，,则有,1）1龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转 化而成，即,4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼,2）2 龄鱼由上一年 1 龄鱼转化而成，即,3）3 龄鱼即上一年末 2 龄鱼,3 鱼群持续变化的递推关系,4 捕获量的数学模型,对于一种可捕获鱼而言，设一年内捕获量为P，初值为s(0)，则 P可表示为,18月份，捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为,又设每条 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为m3,和m4克,则每年捕获鳀鱼的总重量,克,优化模型,四 模型求解,优化模型,取一个 k 值，就可得到一个 G，现须选取恰当的 k 值，使年收获量 G 最大。,具体算法如下：1 选定 k 值；,2 根据递推关系分别算出,3 再把,作为第2年捕获前的初值,重复2，根据递推关系算出下一年的,4,再重复2、3当计算到年初与年末的各龄鱼的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据,算出年捕获量；,5 另定 k 值，重复14；,6 根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的 k 值。,四 计算结果与分析,由计算结果表，可知，当 时，捕获量,随 k 的增大而增大，当 时，捕获量,随 k 的增大而减小。故可取 时，其稳定,年的捕获量达到最大：,以上是问题的第一问。,再利用初值 递推关系,第二问：五年内的收获量,计算,则，五年内的收获量为,
