《概率论与统计原理》第3章.ppt
第三章 随机变量的数字特征 3.1 随机变量的数学期望3.1.1 数学期望的定义 1、离散型随机变量的数学期望 设X为一个离散型随机变量，其概率分布为PX=xi=pi（i=1，2，），如果级数 绝对收敛，则称级数 为随机变量X的数学期望，记为EX，即,例1 设随机变量X的概率分布为求X的数学期望EX。2、连续型随机变量的数学期望 设X为一个连续型随机变量，其概率密度为f（x），如果积分 绝对收敛，则称积分 为随机变量X的数学期望，即,例2 设随机变量X在区间a，b上服从均匀分布，求数学期望EX。例3 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为求数学期望EX。3.1.2 随机变量函数的数学期望 设X是一个随机变量，y=g（x）是一个连续函数，则Y=g（X）是随机变量X的函数。（1）如果X为离散型随机变量，其概率分布为PX=xi=pi（i=1，2，），且级数 绝对,收敛，则随机变量Y=g(X)的数学期望为 如果X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），且积分 绝对收敛，则随机变量Y=g(X)的数学期望为,例4 设随机变量X的概率分布为 求E（-X+1），E（X2）。例5 对圆的直径进行测量，假设其测量值X在区间a，b上服从均匀分布，求圆的面积的数学期望。例6 设随机变量X在区间（0，）上服从均匀分布，求Y=sinX的数学期望。,例7 设某种商品每周的需求量X是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10，30上的某一整数，商店每销售一个单位的商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位的商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最少进货量。,3.1.3 数学期望的性质1、设C为常数，则EC=C。2、设X是一个随机变量，C是常数，则E（CX）=CEX 3、设X，Y是两个随机变量，则E（X+Y）=EX+EY 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设X1，X2，Xn是任意n个随机变量，则E（X1+X2+Xn）=EX1+EX2+EXn,4、设X和Y是两个相互独立的随机变量，则E（XY）=EX EY 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设X1，X2，Xn是n个相互独立的随机变量，则E（X1X2Xn）=EX1 EX2 EXn 例8 设随机变量X和Y相互独立，其概率密度分别为求E（2X-3Y）,E（XY），E（-4XY+5）。,例9 袋中装有标着号码为1，2，9的9个球，用还原方法从袋中抽取4个球，求所得号码之和X的数学期望。3.2 随机变量的方差3.2.1 方差和标准差的定义 设X是一个随机变量，如果其数学期望EX存在，则称X-EX为X的离差。如果E（X-EX）2存在，则称 E（X-EX）2为随机变量X的方差，记为DX，即DX=E（X-EX）2 称方差的平方根为随机变量X的标准差。,由方差的定义可知，方差实际上是随机变量X的函数的数学期望。因此，如果X是离散型随机变量，其概率分布为PX=xi=pi（i=1，2，），则 如果X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），则 随机变量X的方差可按下列公式计算：DX=EX2-（EX）2,例10 设随机变量X服从参数为的泊松分布（0），求方差DX。例11 设随机变量X服从参数为的指数分布（0），求方差DX。3.2.2 方差的性质1、对任意随机变量X，有DX0；并且DX=0的充分必要条件是X以概率1为常数。2、设X是一个随机变量，C是常数，则 D（CX）=C2DX 3、设X和Y是两个相互独立的随机变量，则 D（X+Y）=DX+DY,这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设X1，X2，Xn是n个相互独立的随机变量，则D（X1+X2+Xn）=DX1+DX2+DXn 4、设X是一个随机变量，其方差DX存在，则对任意常数C，有 例12 设有随机变量X，其中EX，DX2，称Y=（X-）/为X的标准化，证明EY=0，DY=1。例13 设X1，X2，Xn是n个相互独立的随机变量，EXi=，DXi=2。令，求EY，DY。,3.2.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望EX和方差DX2存在，则对任意实数0，有PX例14 对任意的随机变量X，若EX，DX2存在，利用切比雪夫不等式估计概率PX3。3.3 常用分布的数学期望和方差3.3.1 常用离散型分布的数学期望和方差1、0-1分布 设随机变量X 服从参数为p的0-1分布，则EX=p，DX=p（1 p）。,2、二项分布 设随机变量X 服从参数为（n，p）的二项分布（0p1），则 EX=np，DX=np（1 p）。例15 设一次试验成功的概率为p，进行120次独立重复试验，问当p为何值时成功次数的标准差最大？并求标准差的最大值。3、泊松分布 设随机变量X服从参数为的泊松分布，则EX=，DX=。例16 设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E（X-1）（X-2）=1，求参数。,4、几何分布设随机变量X服从参数为p的几何分布，则3.3.2 常见连续型分布的数学期望和方差 1、均匀分布设随机变量 X在a，b上服从均匀分布，则例17 设随机变量X在区间a，b上服从均匀分布，已知EX=1，EX2=4，求a和b（ab）。,2、指数分布设随机变量X服从参数为的指数分布，则例18 设随机变量X服从参数为2的指数分布，求 E（2X-e-2X）。3、正态分布设随机变量X服从参数为（，2）的正态分布，则EX，DX2。例19 设随机变量X服从正态分布N（-0.5，0.5），求EX2和D（2X-3）。,
