达朗贝尔公式.ppt

第三章 行波法,无界区域上偏微分方程的一种求解方法,对定解问题,3.1 达朗贝尔（）公式,1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导,方程的特征方程为,解得特征线为,做变换，则,代入方程并化简得,其中 为两个任意函数。于是得偏微分方程 的通解为,于是 的通解为,联立求解得,于是原问题的解为,这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。,特解,例1 解定解问题,解,方程的特征方程为,解得特征线为,做变换，则,于是方程的通解为,两式联立，求解得,故原问题的解为,2 达朗贝尔公式的物理意义,即 t=0 时的波形,即 t 时的波形,表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，,称为右行波。,同理 表示以速度a沿x轴的左行波。,行波,例2 在上述问题中，初值条件为,试说明其解的物理意义。,可见右行波与左行波分别为,由达朗贝尔公式有,于是右行波与左行波的波形均为,随着时间的推移，其波形如图所示：,2,图形演示：,（1）初位移不为零，初速度为零：,则解为,解的动画演示（my1）,（2）初位移为零，初速度不为零：,则解为,解的动画演示（my2）,该式表示将函数,表示的波形向左、右以a的速度移动。,解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有,例3 用达朗贝尔公式求解下列问题,3 依赖区间、决定区域和影响区域,看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：,（1），即在(x,t)处函数值由哪些初值决定？进一步由x轴上哪些点对应的初值决定？,答：由区间x-at,x+at上的初值决定。将此区间称为点(x,t)的依赖区间。,进一步分析：方程的特征线为,过(x,t)的两条特征线与x轴的交点正好是x-at和x+at.如图,（2）区间 上的初值都能确定哪些点处的函数值？,特征线，斜率1/a,特征线,答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的三角形区域内任一点的函数值都可由 上的初值决定。,称此区域为 的决定域。,依赖区间,（3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？,答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的初值的影响。,称此区域为 的影响域。,一点的影响域如图,4 齐次化原理,考虑非齐次问题,不能用达朗贝尔公式,可分解成如下两个问题,和,用达朗贝尔公式求解,如何求解？用齐次化原理,（）,（）,齐次化原理：,若 是下列问题,的解，则（）的解为,#,解的进一步分析：令，则有,由达朗贝尔公式，有,于是,从而（）的解为,例4：求解下列初值问题：,自己验证,原问题的解为,解：由如上公式，有,例 求解Goursat问题,解：令,即,于是有,补充作业：,解定解问题,作业：习题1，2，4；习题3（1）、（3）,3.2 髙维波动方程的初值问题,1 三维波动方程的泊松公式,从形式上看，三维与一维相似，不妨将一维的达朗贝尔公式推广到三维中来，为了便于推广，将达朗贝尔公式写成如下积分形式：,表示 在 上的平均值,一维到三维的对应,一维,三维,区间,区间中心,球心,区间长度,球面面积,区间上的平均值,球面上的平均值,于是推广的三维波动方程的泊松公式,球面,计算中采用球面坐标，直角坐标与球面坐标的关系：,此解法称为平均值法。,可以验证。,解：由泊松公式有,例1 计算下列初值问题的解：,2 二维波动方程的降维法,先将其看成三维问题，则由泊松公式有,下面将曲面积分化成二重积分：,曲面,或,投影区域,面积元素,于是有,例2 求解下列问题,解 由泊松公式，有,3 髙维波动方程初值问题泊松公式解的物理意义,1 三维泊松公式解的物理意义,不妨假设初始扰动仅发生在空间某个有限区域 内，如图。,三维泊松公式为,可见 时刻在 处的函数值是由以 为球心、以 为半径的球面 上的初值来确定。(见图示),记 到 的最短距离为，在长距离为，则,当 时，上的初值为零，故，说明扰动还未到达点 处；,当 时，与 相交，即 上有初值，故一般有，说明点 处于扰动状态；,当 时，上的初值为零，故，说明扰动已经越过了 点，此处恢复到原来的静止状态。,这种现象在物理学上称为惠更斯原理或无后效现象。,可见 时刻在 处的函数值是由以 为圆心、以 为半径的圆面 上的初值来确定。(见图示),2 二维泊松公式解的物理意义,也不妨假设初始扰动仅发生在某个有限区域 内，如图。,二维泊松公式为,当 时，与 相交，即 上有初值，故一般有，说明点 处于扰动状态；,这种现象在物理学上称为有后效现象或称为波的弥散。,当 时，全部包含，说明所有初值对 均有扰动，这和三维情形完全不一样。,记 到 的最短距离为，在长距离为，则,当 时，上的初值为零，故，说明扰动还未到达点 处；,