电磁场与电磁波基础第5章.ppt

第5章 静态场的解,静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程解的问题。通常求解这两个方程的方法有：镜像法、分离变量法和复变函数法，它们属于解析法，而在近似计算中常用有限差分法。,1.静电场、恒定电场、恒定磁场的基本方程,4.镜像法、分离变量法、格林函数法、有限差分法,重点：,3.求解静态场位函数方程的方法所依据的理论：对偶原理、叠加原理、唯一性定理,2.静态场的位函数方程,5.1 泊松方程和拉普拉斯方程,5.1.1 静态场中的麦克斯韦方程组,对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时间而变化，即与时间t无关。因此，静态场的麦克斯韦方程组为：,电流连续性方程为：,由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程。,1、静电场的基本方程,静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为,上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。,另外：电介质的物态方程为,静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即,2、恒定电场的基本方程,载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。,要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。,恒定电场与静电场重要区别：（1）恒定电场可以存在导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,若一闭合路径经过电源，则：,即电场强度 的线积分等于电源的电动势,若闭合路径不经过电源，则：,这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为,从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也可用一个标量函数来描述。,另外：导体中的物态方程为,3、恒定磁场的基本方程,这是恒定磁场的基本方程。,从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，磁力线是闭合的。,另外：磁介质中的物态方程为,恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电流密度为,则有,静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数 的梯度来表示它:,5.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程,1、静电场的位函数,即,式中的标量函数 称为电位函数。,所以有,对于均匀、线性、各向同性的介质，为常数,即,静电场的位函数 满足的泊松方程。,上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为 泊松方程。,如果场中某处有=0，即在无源区域，则上式变为,在直角坐标系中,在圆柱坐标系中,在球坐标系中,拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式：,2、恒定电场的位函数,根据电流连续性方程 及物态方程 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有,则有,在无源区域，恒定电场是一个位场，即有,这时同样可以引入一个标量位函数 使得,这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。,3、恒定磁场的位函数分布,人为规定,(1)磁场的矢量位函数,这个规定被称为库仑规范,于是有,此式即为矢量磁位的泊松方程。,恒定磁场是有旋场，即,但它却是无散场，即,引入一个矢量磁位 后，由于，可得,在没有电流的区域,所以有,在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为,(2)磁场的标量位函数,这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数,注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。,即令,此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程,以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。,当媒质是均匀、线性和各项同性时，由 和 可得,由于,5.2 对偶原理,如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。,1、=0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶,2、=0区域的静电场与 区域的恒定磁场的对偶,5.3 叠加原理和唯一性定理,在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电位函数或矢量磁位函数。,5.3.1 边界条件的分类,给定位函数的边界条件通常有三类：,第一类边界条件,直接给定整个场域边界上的位函数值,为边界点S的位函数，这类问题称为第一类边界条件。,因为,故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的法向分量，这类问题称为第二类边界条件。,第二类边界条件,只给定待求位函数在边界上的法向导数值,第三类边界条件,给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合,这是混合边界条件，称为第三类边界条件。,5.3.2 叠加原理,若 和 分别满足拉普拉斯方程，即 和,则 和 的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程：式中a、b均为常系数。,5.3.3 唯一性定理,唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1.问题的提出,几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,5.4 镜象法,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。,问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？,2.镜像法的原理,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法,3.镜像法的理论基础解的惟一性定理,像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素”；,4.镜像法应用的关键点,5.确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,5.4.1 接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因z=0时，,q,有效区域,q,上半空间(z0）的电位函数,q,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。,电位函数,当z=0时，,3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1,d2)处。,显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1,d2),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于(d1,d2),只有在(d1,d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。,电位函数,q,d1,d2,1,2,R,R1,R2,R3,5.4.2 电介质分界面的镜象电荷,如图，如果分界面是介电常数为1和2的两种无限大介质的边界平面，在介质1中距分界面为h处置有一点电荷 q，则求解介质空间中任一点的电场电位分布可以用镜像法求解。设在介质1和2内的电位函数分别为1和2。在介质1中，除 q 点处以外,均有,是点电荷q与介质分界面上感应束缚电荷共同产生的电位函数。介质分界面上的感应束缚电荷在介质1中产生的电场可以用处于z0的区域内的一个镜像电荷 来等效。,为了求介质1中的场，将整个空间充满介质1，设在源电荷 q 对称位置上的镜像电荷为q，则,在介质2中的电场是源电荷通过介质分界面上的感应束缚电荷在下半空间作用的结果,在上半空间用一镜象电荷代替界面上的感应束缚面电荷在下半空间产生的场，则有,即,在介质2中，场是由 产生的。将整个空间看成是充满介质2，则介质2中的场由在源点电荷上的象电荷 产生,上述计算原理图示如下,在介质分界面上，场存在的边界条件是：,利用电场在介质交界面上的边界条件，可以分别确定镜像电荷 和等效电荷 的大小。,在介质1中，界面上p点的电场强度的切向分量,在介质2中，电场是由 产生的。电场强度切向分量为,根据边界条件可得,注意：1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。2、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。3、所得电位函数必须满足原来的边界条件。4、可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算问题。,3.5.2 导体球面的镜像,1.点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径为a 的接地导体球外，距球心为d。,方法：利用导体球面上电位为零确定 和q。,问题：,P,q,a,r,R,d,令ra，由球面上电位为零，即 0，得,此式应在整个球面上都成立。,条件：若,可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,2.点电荷对不接地导体球的镜像,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d。,然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即,球外任意点的电位为,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,3.5.2 导体圆柱面的镜像,问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。,特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。,分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。,1.线电荷对接地导体圆柱面的镜像,由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即,所以有,设镜像电荷的线密度为，且距圆柱的轴线为，则由 和 共同产生的电位函数,导体圆柱面外的电位函数：,由 时，,故,导体圆柱面上的感应电荷面密度为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。,2.两平行圆柱导体的电轴,特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。,分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。,问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和。,通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b。,思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？,5.5 分离变量法,分离变量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，该方法把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后，再进行计算。与完全的数学求解不同，针对具体物理问题使用该方法求解时，将要结合一些物理概念进行分析求解。,通过分离变量，它将函数的偏微分方程分解为带“分离”常数的几个单变量的常微分方程。不同坐标系分解出来的单变量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐标系的选择应尽量使场域边界面平行于坐标面。例如：矩形域应选直角坐标系；圆柱形域应选圆柱坐标系；球形域应选球坐标系。,5.5.1 直角坐标系中的分离变量法,如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。,下面通过例子具体说明该方法。,例 1 求如图所示二维长方形内的电位函数。,解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为,在直角坐标系中方程 可写为,（二维问题，与z无关）,分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的解：,上式两端同除以,因此该式成立的条件：,且,为实数,为虚数,为零,同样的讨论适用于函数。为满足x=0和x=a的边界条件，应选取,则,因为,将边界条件,将边界条件,于是,对于,因为,将边界条件,于是,得,由于 故 的一般形式,这实际上是将一已知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的系数公式得,原问题的解,5.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法,圆柱坐标系中的拉普拉斯方程为,对于二维平面场，即 z无关，这时拉普拉斯方程变为,设 具有分离变量形式的解为,上式若成立，必须,（欧拉方程）,如果研究的区域是，因为函数 必须满足单值性要求，即 则（整数）,即,其解为,例：2 一根半径为，介电常数为 的无限长介质圆柱体置于均匀外电场 中，且与 垂直。设外电场方向为 轴方向，圆柱轴与 轴重合，如图所示，求圆柱内外的电位函数。,有限,通解,由条件,得,且,通解,又由,得,于是,圆柱体外和内的电位分布,5.5.3 球坐标中的分离变量法,球坐标系中的拉普拉斯方程为,设 具有分离变量形式的解为,设问题与 无关，这时拉普拉斯方程变为,上式若成立，必须,其解,球坐标系中拉氏方程的通解,例：3 一半径为，介电常数为 的介质球置于均匀外电场 中，设外电场方向为 轴方向，如图所示，求球内外的电位函数。,解：在球坐标系中,有限,由条件,通解,通解,得,于是,球外、内电位分布,5.6 格林函数法,格林函数法是数学物理方法中的基本方法之一，可以用于求解静态场中的拉普拉斯方程、泊松方程以及时变场中的亥姆霍兹方程。在线性电路理论中，为了求一线性电路对任意激励的全响应，我们一般是在求得单位冲击响应的基础上，先求出零状态响应，然后再加上零输入响应。所谓格林函数法就是上述方法在空间域中的应用。边值问题中的单位冲击响应函数就是格林函数。更确切地说，格林函数是单位点源在一定的边界条件下所建立的场的位函数，因而格林函数又称为源函数。已知电荷分布就是已知空间电场激励源的分布，因此只要知道点源的场，即可用叠加原理求出任意源的场。,首先用镜像法或其他方法找到与待求问题对应的格林函数，然后将它代入由格林第二恒等式导出的积分公式即得所求。一般情况下，该积分有两项；一项为零边值响应，另一项为零激励响应。,格林函数的解题步骤是：,对于静电场问题而言，可以从单位点电荷（二维问题对应于单位线电荷，一维问题对应于单位面电荷）在特定边界上产生的位函数，通过积分求得同一边界的任意分布电荷产生的电位。本节以静电场的边值问题为例，说明格林函数法在求解泊松方程中的应用。,5.6.1 静电场边值问题的格林函数法表达式,在上述第一式两端乘与G，在上述第二式两端乘与，二者相减再积分，可得,假定已知某给定区域V内的电荷体密度，则待求电位 满足泊松方程,与此相对应的格林函数 满足下列方程,使用格林第二恒等式,当源点在区域V内时，有,可得,因而，上式可以写为,将上式的源点和场点互换，并且利用格林函数的对称性，得,此式就是有限区域V内任意一点电位的格林函数表示式。式中的格林函数是在给定边界形状下的一般边值问题的格林函数，为了简化计算，我们可以对格林函数附加上边界条件。与静电场边值问题一样，格林函数的边界条件也分为三类：,（1）第一类边值问题的格林函数,与第一类静电场边值问题相对应的是第一类边值问题的格林函数，用G1 表示。它在体积V内和边界面S上满足的方程为,即第一类边值问题的格林函数在边界面S上满足齐次边界条件。将它代入上式，可得出第一类静电场边值问题的解为,与第二类静电场边值问题相对应的是第二类边值问题的格林函数，用G2表示。它在体积V内和边界面S上满足的方程为,（2）第二类边值问题的格林函数,在此条件下，第二类静电场边值问题的解为,（3）第三类边值问题的格林函数,对于第三类静电场边值问题，使用第三类边值问题的格林函数较为方便。其边界条件由下式确定：,与第三类静电场边值问题相应的第三类边值问题的格林函数G3所满足的方程及边界条件为,在此条件下，第三类静电场边值问题的解为,从以上推导过程可看出，格林函数解法的实质是把泊松方程的求解转化为特定边界条件下点源激励时位函数的求解。点源激励下的位函数就是格林函数，格林函数所满足的方程及边界条件都比同类型的泊松方程要简单。,5.6.2 简单边界的格林函数,下面我们给出一些简单边界形状下第一类静电场边值问题的格林函数（为了书写简便，略去下标，用G表示）。,1、无界空间的格林函数,计算无界空间的格林函数，就是要计算无界空间中位于r处的单位点电荷以无穷远为电位参考点时在空间r处的电位，这一电位为,因此，无界空间的格林函数为,这是三维无界空间的格林函数。对于二维无界空间，格林函数为,C是常数，取决于电位参考点的选取。,2、上半空间的格林函数,计算上半空间（z0）的格林函数，就是求位于上半空间 r处的单位点电荷以z=0平面为电位零点时，在上半空间任意一点r处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而上半空间的格林函数为,式中,3、球内、外空间的格林函数,我们可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径为a的球外空间的格林函数,式中,5.7 有限差分法,有限差分法是一种近似数值计算法，在一些工程技术计算中被广泛使用。这种方法是在待求场域内选取有限个离散点，在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程，从而把以连续变量形式表示的位函数方程，转化为以离散点位函数值表示的方程组。结合具体边界条件，求解差分方程组，即得到所选的各个离散点上的位函数值。有限差分法不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题；不仅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不仅能求解任意静态场的问题，也能求解时变场的问题；而且这种方法不受边界形状的限制。,函数f(x)的一阶差分定义为f(x)=f(x+h)-f(x)式中h是自变量x的增量，即x=h,将下面的式子称为f(x)的一阶差商：,当h很小时，差分f也很小，因此在近似计算中可用一阶差商近似等于一阶微分，即,二阶差商为,同样可以定义二阶差分为 2f(x)=f(x+h)-f(x),令二阶差商近似等于二阶微商,差分方程就是在各离散点上，用 和 近似替代偏微分方程中的 和，从而将拉普拉斯方程或泊松方程这样的偏微分方程化为一组代数方程，即差分方程。,本章要点,1.静电场的基本方程,2.恒定电场的基本方程,3.恒定磁场的基本方程,4.泊松方程与拉普拉斯方程,6.镜像法 的概念与应用,5.对偶原理、叠加原理和唯一性定理,7.分离变量法的概念与应用,8.格林函数法,9.有限差分法,