电磁场2静态场教学版.ppt

,电磁场理论的建立过程是一个从静态、简单、独立到动态、复杂、相互关联的认识过程。因此，我们本章首先对静态场进行研究，下一章将研究揭示电磁相互关系的麦克斯韦电磁理论。静态场是不随时间变化的场，是时变场的特例，对其相关结论进行修正就可以得到关于时变场的结论。,电磁场与微波技术静态场,2.1 静电场2.2 恒定电场2.3 恒定磁场2.4 静态场的边界条件2.5 静态场中的双导体系统2.6 静态场中的能量2.7 静态场中的边值问题2.8 总结,所谓静电场是指相对于观察者静止的，不随时间变化的电荷所产生的电场。下面要讲的库仑定律和叠加原理，构成了静电场的理论基础。一、库仑定律1.库仑(Coulomb)定律 库仑定律是在大量实验的基础上，总结抽象出的一条实验定律。它是描述真空中两个静止的点电荷之间相互作用力的定律。注意：对于点电荷的理解，要有相对的概念，不能以带电体的实大小来判断其是否为点电荷。只要带电体的尺寸远小于它们之间的距离，就可以认为是点电荷。,2.1 静电场,库仑定律的表述：假如真空中有两个相对于观察者静止的点电荷q、q，分别放置在 点和 点上，如图所示，则点电荷q受到q的作用力为为：是真空中的介电常数。对于 q 来说，之所以有力 作用在其上，是因为 q 的存在，所以 q就是 的源。注意：库仑定律只适用于计算点电荷间的相互作用力,2.1 静电场,说明：把 q 所在的 点称为源点，而 q 所在的 点称为场点。今后，若需要加以区别时，我们用带“”号的变量表示与源点有关的量，用不带“”的变量表示与场点有关的量。,2.1 静电场,2.1 静电场,2.叠加原理 当真空中存在两个以上的点电荷时，实验表明，任何两个点电荷之间的作用力不受其它点电荷的影响。所以，点电荷 q 所受的力是其它所有点电荷单独对它的作用力的矢量和，即满足叠加性：式中，表示 处的点电荷 对 q 的作用力。,例：真空中有三个点电荷电量分别为，它们分别位于一个边长为1米的等边三角形的三个顶点上，如图所示，求 所受的力。,2.1 静电场,解：由图可知，所在点的矢径分别为：由叠加原理可得：,3.电荷密度 前面的讨论都是针对点电荷进行的，而带电体总是具有一定尺寸的，很多情况下不能简单地把它看成是点电荷，而应认为电荷连续分布于一定区域内。这种分布于一定区域内的电荷称为分布电荷。如果电荷分布在一个体积 V 内，则称之为体电荷；如果分布在一个曲面 S 上，则称之为面电荷；而分布在一条曲线 L 上时，称之为线电荷。这样，为了定量地描述电荷在区域内分布的疏密程度，引入电荷密度的概念。,2.1 静电场,对于体电荷，在电荷分布的区域 V 内 处取一个体积元v，若其中所包含的电荷量为q，则定义：为 处的体电荷密度，单位为。类似地，可定义面电荷密度和线电荷密度分别为：下面讨论分布电荷对点电荷的作用力。以体电荷为例，在处取一个体积元，该处体电荷密度为，则 中的电量为：,2.1 静电场,可看作点电荷，它对点电荷 q 的作用力为：则根据叠加原理，内体电荷对 q 的作用力为：类似地，对面电荷和线电荷分别有：,2.1 静电场,二、电场强度1.电场强度 库仑定律表明两个电荷之间虽互不接触却能相互作用。实验表明，这种作用是通过电荷在自己周围空间产生的电场进行的。电场是一种特殊的物质，人的感官不能直接感受到电场，但可以通过带电体的相互作用来检验它，也可以由相互作用的强弱来度量电场的强弱。用来描述电场强弱的物理量是电场强度。,2.1 静电场,应该指出，由于电荷激发电场，电场又作用于电荷，所以当用试探电荷检验电场时，检验电荷就满足两个条件：a)它的线度必须足够小，以致于可以被看作点电荷，以便来确定场中每点的性质。b)它的电量要足够小，使得由于它的置入，不引起原有电荷的重新分布。,2.1 静电场,定义位于点 处的单位正电荷所受的力为该处的电场强度，用 表示，单位为(N/C)。所以，若在 处放置一个称为试探电荷的点电荷 q，它所受的力为，则该点的电场强度为：,2.1 静电场,根据前面讨论的电荷受力的公式代入电场强度的定义式，则 处的点电荷 处的点电荷 组成的点电荷系以及分布电荷在 处产生的电场强度分别为：,区,上式中，对于体电荷、面点荷、线电荷，分别为，相应的“区域”分别为。,例：在一个半径为 a 的细圆环上均匀分布着总量为 Q 的电荷，求在其轴线上距圆心 b 处的电场强度。解：建立坐标系如图。则场点的位置为：，源点的位置可表示为：圆环上的线电荷密度为：则：,2.1 静电场,2.电力线(电场线)电场强度的矢量线称为电力线。电力线上任一点处的切线方向与该点的电场方向一致；电力线的密度(即垂直穿过单位面积的电力线的条数)正比于电场强度的大小；具有如下特点：(1)电力线从正电荷出发，终止于负电荷。(2)空间无电荷区域，电力线互不相交，这是由电场强度的单值性所决定的。,2.1 静电场,2.1 静电场,三、电位1.静电场环路定律 电荷在电场中要受到电场力的作用，所以当电荷在电场中移动时，电场力要对它做功。现在来研究将电荷 在静电场中沿任一路径 l 从 A 点移到 B点，如图所示。设在线元 处的电场强度为 E，当 经过 时，电场力所做的功为：则从 A 到 B 的整个路程上，电场力做的总功为：,2.1 静电场,如果电场是由点电荷 产生的，则：若令，则：则有：,2.1 静电场,可以看出，这个功只与路径的两端点有关，而与具体路径无关。根据叠加定理可知，在由点电荷系和分布电荷产生的电场中，电场力所做的功也是与路径无关的。,如果电荷在静电场中沿一闭合路径 l：从 A 点出发经过 B 点再回到 A 点，则电场力所做的功：即在静电场中，沿闭合路径移动电荷，电场力所做的功恒为零。也就是说，电场强度的环路线积分恒等于零。,2.1 静电场,所以有：这就是静电场环路定律的积分形式。应用Stocks定理，有：由于上式面积分恒为零，则被积函数必恒为零，即：这是静电场环路定律的微分形式，表明静电场是无旋场。,静电场环路定律是静电场的重要性质，由于任意静电场都可以看成是许多点电荷的静电场叠加的结果，所以该定律适用于任意静电场。,2.1 静电场,2.电位 由场论知识可知，任意一个标量函数的梯度的旋度恒为零。而，所以静电场的电场强度 E 可以用一个标量函数 的梯度表示，即：我们称标量函数 为静电场的电位或电势，单位为伏特(V)。式中的负号表示 与 的方向相反，即 E 指向电位函数 下降最快的方向。根据矢量恒等式 和电场强度的表达式，可以得到点电荷、点电荷系、带电线、带电面和带电体产生的电位分别为：,2.1 静电场,我们知道，点电荷在电场中移动时电场力对它所做的功W 与其所带电量 q 有关，因此 W 不能确切描述电场本身特性。为此引入电位差的概念。将单位正点电荷从 A 点移到 B 点时电场力所作的功定义为A、B 两点间的电位差，也叫电压，即：,2.1 静电场,若设定某固定点 处的电位，则称 为参考0点。任意点与参考0点的电位差就是该点的电位，即：由于参考0点可以任意选取，所以电位并不唯一。但两点间的电位差不随参考0点的变化而变化。若电荷分布在有限区域，常假设无穷远处为参考0点，即：前面给出的电位公式都是参考0点选在处时的电位，称为绝对电位。若某些问题假设电荷分布在无限大区域时，参考0点必须选在有限远处。,2.1 静电场,3.等位面 电位的等值面称为等位面。由梯度的性质以及可知，电场强度处处垂直于等位面，并且指向电位下降最快的方向。因此，电力线垂直于等位面。4.电偶极子 电偶极子是由两个相距很近的等值异号点电荷(+q 和-q)组成的系统，可以用电偶极矩(电矩)来表示。其中，矢量 的方向由-q 指向+q，为两个点电荷之间的距离。,2.1 静电场,四、静电场中的导体和介质 根据电场在物质中的表现，物质可分为导电媒质（也称导体）和电介质（简称介质）。导电媒质：其物质中内部存在大量的自由电荷，在电场的作用下，自由电荷会产生自由运动的电流，所以往往称导电媒质为导电体。电介质：物质体内没有自由运动的电荷，或者自由电荷非常少，以至于可以忽略不计。介质中的电子被束缚在原子核周围，只能在原子核周围有很小的位移，称为束缚电荷，因此介质不导电。,2.1 静电场,1.静电场中的导体 导体的特点是其中有大量的自由电子。如果存在外部电场，由于受到电场力的作用，带负电荷的自由电子将向反电场方向移动，并积累在导体表面，形成某种电荷分布，称为感应电荷。感应电荷产生附加电场。自由电子的定向运动直至感应电荷产生的电场与外部电场在导体内部处处相抵消为止，内部总电场为零。人们把这种状态称为导体的静电平衡状态。,2.1 静电场,2.1 静电场,静电平衡状态下，静电场中的导体应具有以下性质：导体内的电场强度为零。否则要引起导体中电荷的运动，就 不属于静电问题。静电场中的导体必定是一等位体，导体表面为等位面，因为 导体中。(3)导体表面的 E 必定垂直于表面，因为导体表面是等位面。(4)导体如果带电，则电荷只能分布于在其表面上。电磁场理论中将与电力线垂直相交的面称为电壁，则静电场中导体表面是电壁。,2.静电场中的介质（1）介质的极化无极性介质：介质分子内正、负电荷均匀分布，正、负电荷的重心重合。极性介质：介质分子内正、负电荷分布不均匀，正、负电荷的重心不重合。它的每个分子可以看作一个电矩为p0的电偶极子。当有外加电场E0时，无极性介质中正、负电荷的重心在外加电场的作用下分离成与E0方向相同的感应电矩；而极性介质中原来杂乱排列的分子的固有电矩在外加电场E0作用下几乎都顺着电场的方向排列，虽然各个分子还在热运动，但其电矩指向大致相同。极化：外加电场使介质中的分子形成与电场方向相同的感应电矩或使介质中的固有分子电矩都顺着电场方向排列的物理现象。,2.1 静电场,介质极化后，由于内部电荷重新排列，出现沿电场方向的一系列等效电偶极子。如果外电场和介质都是均匀的，则电偶极子排列的结果使介质内部正负电荷相互抵消，而在介质表面上出现一层面电荷。如果介质或外加电场是不均匀的，则介质内部也将出现体电荷，但这些电荷将被束缚在分子之内，不能自由移动，故称为束缚电荷。束缚电荷在空间也要激发电场，介质中的总电场 E 是外加电场 与束缚电荷产生的电场 之和。因此，介质中的电场不同于真空中的电场。在介质内部，由于 与 反向，所以，。,2.1 静电场,(2)极化强度 在一定的外电场下，不同介质的极化程度不同；同一介质在不同外电场作用下的极化程度也不同。因此，为了定量地描述介质的极化程度，引入极化强度矢量 P，介质中 处的极化强度定义为该处单位体积内的分子电偶极矩之和，即：式中，为 内所有分子电偶极矩 p 的矢量和。介质的束缚面电荷密度，束缚体电荷密度 与极化强度 P有密切关系，它们之间的定量关系是：其中，为介质表面外法向单位矢量。,2.1 静电场,研究表明，极化强度 P 与总电场 E 的关系为：，其中，称为电极化率，是无量纲的正数。一般由介质的组成结构决定，不同介质有不同的；同一种介质中的密度变化也会导致 变化；还可能随 E 变化。一般通过实验来测定。若外加电场太大，可能使介质分子中的电子脱离分子的束缚而成为自由电子，介质变成导电材料，这种现象称为介质的击穿。介质能保持不被击穿的最大外加电场强度称为该介质的击穿强度。工程中，一般情况下，作用在介质上的电场强度应小于其击穿强度。,2.1 静电场,五、高斯(Gauss)通量定理1.真空中的高斯定理(P29)我们知道，静电场的环路定律是电场强度的环路线积分，下面我们来讨论电场强度的闭合面积分。设无限大真空中有一点电荷 q，以该点电荷所在处为球心作任一半径为 r 的球面，则由该球面穿出的 E 通量为：如果包围点电荷的是任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的 E 通量，仍等于，这是因为 E 通量只与闭合面内包含电荷的多少有关，与闭合面的形状无关。,2.1 静电场,如果在无限大真空的电场中，一闭合面包围了 N 个点电荷，则根据叠加原理，有：显然，对于闭合面内的电荷是连续分布时，则有：式中：是 S 面内的净电量。由以上可知，真空中电场强度在任意闭曲面 S 上的通量等于 S 面内净电量与 的比值。上式就是静电场在真空中高斯定理的积分形式。,2.1 静电场,根据散度定理：，有：上式对任意体积 V 都成立，所以有：这就是静电场在真空中高斯定理的微分形式。它说明：场中 点处电场强度的散度等于该点电荷密度与 的比值。由此可见，静止电荷是静电场的通量源，静电场是有散场。,2.1 静电场,2.介质中的高斯定理 前面我们讲过，被极化介质上的束缚电荷与自由电荷一样产生电场，因此，在介质中，高斯定理中的电荷密度应是自由电荷密度 与束缚电荷密度 之和，即：,2.1 静电场,将 代入上式，整理有：为计算方便，引入电位移矢量则上式变为：可见 D 只与自由电荷有关，它只是一个辅助矢量，为分析问题方便而引入的，上式就是介质中静电场高斯定理的微分形式。,在真空中有：，可得：可见，真空中的高斯定理是其特例。应用散度定理，有：这就是介质中静电场高斯定理的积分形式。,2.1 静电场,高斯通量定理表明：由任一闭合面穿出的 D 通量等于该面 内的自由电荷的代数和，而与极化电荷无关。根据 D 的定义式，有：称为介质的介电常数，称为相对介电常数，一般是大于1的无量纲的数，而 由介质的组成结构决定，所以上式称为介质的结构方程。说明：本课程中所涉及的介质都是均匀(不随位置变化)、线性(不随 E 变化)、各向同性(D 与 E 方向相同)的介质，上式也仅适用于此类介质。一般将空气近似为真空，其。,2.1 静电场,3.应用高斯定理计算静电场问题 高斯定理反映了静电场的一个基本特性。高斯定律的积分形式可以用来计算某些对称分布电荷(常见的有面对称、柱对称和球对称)产生的电场，电场的分布也具有对称性，此时应用高斯定理可以非常简便地求解电场问题。若能找到一个包围对称电荷的闭曲面S，使得S面上电场强度处处平行于S面的法向(即)且 处处相等；或者S面中一部分区域满足上述条件，其余区域的法向处处与电场强度垂直，则 求出 后，再根据 与S面法向平行来确定方向。,2.1 静电场,例1：真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径为 a 的球中，试求球内、外的电场强度 E 和电位。解：如图所示，建立以球心为原点的球坐标系。由于电荷分布呈球对称，则电场的也具有球对称性，可用高斯定理求解。取与带电球同心，半径为 r 的球面作为高斯面。,2.1 静电场,在此高斯面上，D 的大小是常数，方向是径向，则由高斯定理，有：当 时，当 时，由于电荷分布在有限区域，故选无穷远处为电位参考0点。当 时，当 时，,2.1 静电场,例2：如图所示，半径为 a，带电量为 Q 的导体球，外表面套有内半径为 a、外半径为 b、介电常数为 的同心均匀介质球壳。求空间任意一点处的 D、E 和 P，以及束缚电荷密度。解：本题中自由电荷及介质都呈球对称分布，所以可用高斯定理的积分形式先求出 D。导体球内部 D、E 均等于0，总电量 Q 均匀分布于导体球表面(静电场中导体的性质)。故其在导体球外产生的 D 也是呈球对称的，则建立以导体球心为原点的球坐标系，作以原点为球心，半径 r 的球面为高斯面。应用高斯定理，有：,2.1 静电场,当 时，介电常数为，当 时，介电常数为。由，有：由，有：,2.1 静电场,六、介质中的环路定律和电位1.介质中的环路定律 介质内外的静电场是由自由电荷和束缚电荷共同产生的，由于束缚电荷产生的静电场与自由电荷产生的静电场性质相同，也是无旋场，满足环路定律，因此，介质内外的静电场 E 也是无旋场，满足环路定律，即：,2.1 静电场,2.1 静电场,2.介质中的电位泊松方程和拉普拉斯方程 介质中电位的定义与真空中电位的定义相同，我们从高斯定理的微分形式，可得：,在均匀介质中，与空间位置无关，即，则上式简化为：这就是均匀介质中电位的泊松方程。若讨论的区域中无自由电荷，则上式变为：这就是电位的拉普拉斯方程。,七、静电场的基本方程 静电场是由不随时间变化的静止电荷(包括自由电荷和束缚电荷)产生的电场，遵循高斯定律和环路定律，这两个定律均可分别用积分形式和微分形式来表示，构成了静电场的基本方程。,2.1 静电场,积分形式：微分形式：再加上结构方程 和电位与电场强度关系就可以完整描述静电场了。,(1)式是高斯定律的积分形式，表明电位移矢量 D 的闭合面积分等于闭合面内所包围自由电荷的代数和，它表征静电场的一个基本性质。(2)式是环路定律的积分形式，表明电场强度 E 的环路线积分恒等于0，即静电场是一个守恒场。积分方程可以用来求解一些源分布与空间结构对称的问题，描述的是每一条回路和每一个闭合面上场量的整体情况。(3)式是高斯定律的微分形式，表明静电场是一个有散场。(4)式是环路定律的微分形式，表明静电场是无旋场。微分方程描述了各点及其邻域的场量情况，反映了从一点到另一点场量的变化，可以更深刻、更精细地了解场的分布，它给出的是场量的散度和旋度。根据亥姆霍兹定理，如果已知静电场的边界条件，就可以唯一地确定静电场。,2.1 静电场,一、电流场1.电流强度(电流)电荷在电场的作用下作定向运动形成电流，电流的大小用电流强度来描述。若 时间内有 的电量通过某导体横截面，则定义 时 的极限为通过该横截面的电流强度，简称电流，记为 I(t)，即：其中，I(t)是 t 时刻单位时间内通过导体横截面的电量，其单位是安培(A=C/s)。电流是标量，但一般将正电荷运动的方向定义为电流的正方向。,2.2 恒定电场,2.电流密度矢量 从场的观点来看，电流是一个具有通量概念的量，它并没有说明电流在导体横截面上每一点的分布情况。为了研究导体中同一横截面上不同点的电流情况，引入电流密度矢量这一概念。如图所示，过导体中 r 点取垂直于电流方向 的面元，通过 的电流为，定义 时，的极限为 r 点处电流密度矢量的模，的方向为电流密度矢量的方向。t 时刻 r 点处的电流密度矢量即为：,2.2 恒定电场,电流密度矢量的模等于垂直于电流方向单位面积上的电流，方向为电流的方向。,这样，在电流密度为 的区域中，流过任意曲面 S 的电流为：宏观厚度 的薄导体片的电流称为面电流。如图，过 r 点取垂直于电流方向 的线元，通过 的电流为，定义 时，的极限为 t 时刻 r 点处的面电流密度矢量的模，的方向为面电流密度矢量的方向，记为。则有：,2.2 恒定电场,面电流密度的模等于垂直于电流方向的单位长度上的电流，方向为电流的方向。,在面电流密度为 的曲面上，流过任意曲线 L 的电流为：如果导体横截面很小，可认为电流全部集中在导体的中轴线上，可将它看成电流强度为 I 的线电流。在电流分布区域中每一点处均有对应的电流密度矢量 则形成了电流场，其矢量线称为电流线。,2.2 恒定电场,3.电荷守恒定律与电流连续性方程 电荷不能被创造也不能被消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分。在一个封闭系统内的任何电磁过程中，正、负电荷电量的代数和保持不变，这就是电荷守恒定律。由电荷守恒定律可知，单位时间内从闭曲面 S 流出的电量恒等于由S所包围的体积中单位时间内电荷的减少数量。单位时间内从闭曲面中流出的电量等于从闭曲面中流出的电流 闭曲面内的电量等于，所以上述恒等关系可表示为：上式就是电流连续性方程的积分形式。,2.2 恒定电场,根据散度定理，有：代入上式，有：上式对任意体积 V 都成立，必然有：这是电流连续性方程的微分形式。该式表明，变化的电荷密度是电流场的通量源。,2.2 恒定电场,要保持 不随时间变化，r 点处流走多少电荷，就必然要流来相等数量的电荷来补充，才能维持 恒定。因此，恒定电流场中每点得、失的电荷保持动态平衡，电荷密度 保持不变，即，代入电流连续性方程可得：这分别是恒定电流的电流连续性方程的积分形式和微分形式。,2.2 恒定电场,二、恒定电流场 若电流密度 J 仅是空间位置 的函数，而不随时间 t 变化，则其形成的电流场称为恒定电流场，记为,2.2 恒定电场,由此我们得出如下结论：(1)在电流稳恒的情况下，由于各处电荷密度 稳定，所以电场分布 也稳定。(2)电流稳恒时，(a)式表明，通过任何闭合曲面S的净电流强度均为零，也就是从S某部分流进去的电流强度，必定等于从另一部分流出去的电流强度。这意味着稳恒电流的每一条电流线都是连续，因而是闭合的曲线，(b)式就是这一性质的描述稳恒电流场是无散场。事实上，一切直流电路都是闭合电路。,2.2 恒定电场,例如，上图直流电路中，对于包围着电路一个节点的闭合曲面S 即,三、欧姆定律 导体中的电流是其中的带电粒子在电场力作用下作定向运动的结果。导体中的电流密度 J 与导体中的 E 有关，它们之间的关系取决于导体的组成结构。对于绝大多数导电材料，在 E 取值的很大范围内，J 与 E 成正比，其关系式为：式中，称为导体的电导率，单位为。的值取决于导体的组成结构。的导体称为理想导体，一般将 极大的媒质近似为理想导体。介质不导电，其，一般将 极小的媒质近似为介质。该式是导体的结构方程，也称为欧姆定律的微分形式。,2.2 恒定电场,电路理论中的欧姆定律是：式中：和 都是积分量。所以，以场的观点称上式为欧姆定律的积分形式。欧姆定律的积分形式描述的是一段有限长度和有限截面导体的导电规律，但只适用于稳恒情况。而微分形式给出了导体中任一点的 J 和E 之间的关系，更细致地描述了导体的导电规律，而且对于稳恒和非稳恒情况都适用。下面将欧姆定律推广到有源存在的情况。要在导体内维持一恒定的电场，必须依靠电源。电源是一种将其它形式的能量(化学能、机械能等)转换成电能的装置。,2.2 恒定电场,在电源内部，有局外力(如化学作用力)存在，这种局外力使正电荷由负极向正极运动，不断补充电极上的电荷，使之维持不变，因而在导体中便得到了恒定电流。我们将局外力与电荷的比值类比为一种电场，称为局外电场，记为。前面由电荷产生的电场称为库仑电场 E。在电源外部只存在 E，在电源内部 和 E 都存在，且方向相反。于是有：这就是有源欧姆定律的微分形式，是电源内部导电物质的电导率。,2.2 恒定电场,如图是一个有源的均匀导体回路，将上式改写成：对上式沿整个导体回路 C 积分，得：式中，为电源电动势，表示在电源内部局外力将单位电荷从负极通过电源内部移至正极所做的功。上式最后一个等号两边就是有源欧姆定律的积分形式。,2.2 恒定电场,四、焦耳定律 带电粒子在定向运动过程中，不断与其它粒子发生碰撞，把能量传递给其它粒子，使其热运动加剧，导致导体温度升高，这就是电流的热效应。这种由电场能量转化来的热能称为焦耳热。如图，在导体中沿电流方向取一个横截面为 dS，长度为 dl 的体积元，在足够小的情况下，认为其中 E 为常数。在 dt 时间内，从体积元一端流到另一端的电荷量为dq，在这些电荷移动过程中，电场力所作的功为：dW=dqEdl因此，在该体积元中损耗的功率为：,2.2 恒定电场,为了表示导体中任一点处单位体积中的损耗功率，引入损耗功率密度 p，即：由于 J 和 E 方向相同，上式可写成：,2.2 恒定电场,上式就是焦耳定律的微分形式，它对于恒定电流和时变电流都成立。体积为 V 的导体中的损耗的总功率为：对于一段长为 l，横截面积为 S 的导体，其损耗的功率可写成：这是焦耳定律的积分形式，它从场的角度验证了电路中的公式。,五、恒定电场的基本方程 恒定电流回路中，电源两极及导体上各点的电荷密度保持恒定，这种恒定的电荷分布产生的电场也是恒定的。由于它由运动电荷而非静止电荷产生，因此被称为恒定电场。,2.2 恒定电场,恒定电场与静电场的性质完全相同，因此电源外部(包括导体回路及其周围媒质)的恒定电场方程与静电场方程相同，即：积分形式：微分形式：同时，在电源外部的导体中，还存在恒定电流场，其场方程为：积分形式：微分形式：再加上两个结构方程：和 就可以完整描述恒定电场了。E 的旋度等于零说明恒定电场仍是一个保守场。J 的散度等于零说明 J 线是无头无尾的闭合曲线。,2.2 恒定电场,因此恒定电流只能在闭合电路中流动，一旦电路断开，电流就不可能存在。若电源外部的导体均匀，为常数，由于，得，这表明均匀导体内即使存在恒定电流，但净自由电荷密度仍等于0，在导体中产生恒定电场的电荷只分布在均匀导体表面。所以，电源外部的均匀导体中，恒定电场是无散、无旋场。恒定电场是无旋场，因此可以像静电场一样引入标量电位即：。将此式代入，得所以在电源外部的均匀导体中，电位 满足标量拉普拉斯方程，即：,2.2 恒定电场,我们知道，恒定电流、永久磁石都可以产生磁场，而且都是静磁场。我们这里只讨论恒定电流产生的磁场。由于恒定电流产生的磁场不随时间变化，所以称这种磁场为恒定磁场。一、磁感应强度1.安培力定律 安培通过多次试验和分析，于1820年总结出描述真空中两个恒定电流之间相互作用力的安培定律，表述如下。,2.3 恒定磁场,安培定律的表述：设真空中有两个静止的细导线闭合回路 L和，分别载有恒定电流 I 和，如图，则电流回路 L 受到 的作用力 为：式中，分别为 L 上 点处和 上 点处的电流元，其方向与电流同向。为真空中的磁导率。此式是一个实验定律，可以证明，受到 L 的作用力满足牛顿第三定律，即,2.3 恒定磁场,2.磁感应强度和毕奥萨伐尔定律 由安培力定律可知，受力电流在磁场中的位置不同，所受的作用力也不同。为了定量描述磁场的这一特性，引入磁感应强度的概念。我们可以将安培力定律改写为：,2.3 恒定磁场,式中：。毕奥萨伐尔定律：,由(2)式可知，只由回路 的形状和电流 的大小、方向决定，与受力回路无关，只与空间位置 r 有关。由(1)式可知 是 对 r 点处的电流元 的作用力，将 L 上每一个电流元所受的作用力叠加(即积分)，就得到整个L回路所受的作用力。我们将 称为载流回路 在 r 点处产生的磁感应强度或磁通密度，单位为特斯拉(T)或韦伯/米2。,2.3 恒定磁场,若电流以体电流密度 分布在体积 中，在 中 处沿电流方向取长度为，横截面为 的小电流管，则管中的电流为：，将此小电流管看作一个电流元，则有：是 中的体积元。这样，体积 中的体电流在 r 处产生的磁感应强度为：同样，可得曲面 上的面电流在 r 处产生的 为：磁感应强度 B 的矢量线称为磁力线，遵守矢量线的一般规则。,2.3 恒定磁场,3.磁通连续性原理(恒定磁场中的高斯定律)在磁场中，穿过任一曲面 S 的 的通量，称为磁通，因此，有：在SI中，磁通的单位是韦伯(Wb)。实验表明，磁力线是闭合的，既无始端又无终端，这说明自然界中不存在与电荷对应的所谓“磁荷”，因此也就没有供 B 线发出或终止的源。这样，对于任意闭曲面有：这说明穿入闭曲面的磁通等于穿出闭曲面的磁通。这就是磁通连续性原理的积分形式，它也可以由毕萨定律直接导出。,2.3 恒定磁场,利用高斯散度定理，有：要使此式对任意体积 V 都成立，则必有：这是磁通连续性原理的微分形式，它表明恒定磁场是无散场。,2.3 恒定磁场,二、恒定磁场中的媒质1.媒质的磁化与等效磁化电流 媒质分子(原子)中的自由电子在其轨道上运动时就相当于一个圆电流，我们称之为分子电流，其对应的磁矩称为分子磁矩。由于热运动等原因，物质分子电流产生的磁场常常互相抵消，因而总体并不显磁性。当外加磁场时，分子磁矩会在其作用下取向排列。取向排列的结果是分子电流产生的磁场在宏观上不会互相抵消至零，这种现象称为媒质的磁化，该媒质称为导磁媒质。同时，取向排列的分子电流产生的宏观磁场又会对外加磁场产生影响，改变原来磁场的分布。这种作用与反作用一直持续到合成磁场稳定为止。,2.3 恒定磁场,(1)电子磁矩：将一个电子的轨道运动和自旋运动形成的微观电流回路所产生的磁矩称为电子磁矩；(2)固有磁矩：把一个分子中所有电子磁矩的矢量和称为固有磁矩；(3)分子电流：与固有磁矩对应的等效电流，也就是电子自旋和绕原子核旋转形成的微观电流。抗磁质：由固有磁矩为0的分子组成的媒质(Cu、Pb、Ag、H2O、NaCl)顺磁质：由固有磁矩不为0的分子组成的媒质(O2、空气、Na),2.3 恒定磁场,外加磁场在分子中产生一个与外加磁场方向相反的感应磁矩,使分子中的固有磁矩都转到外磁场大致相同的方向,(4)磁化：外加磁场使媒质分子形成与磁场方向相反的感应磁矩或使媒质的固有磁矩都顺着磁场的方向定向排列的现象。媒质磁化后，才能对外显示磁性。,2.3 恒定磁场,媒质被磁化后，分子磁矩的指向基本相同，对应的分子电流的方向也基本相同。在平行于分子磁矩的媒质表面，将这些方向相同的分子电流一段一段地连接起来看，其总效果相当于在媒质表面有一层面电流流过，但由于该电流是由束缚在分子内部的电荷移动形成的，称为束缚面电流。若媒质不均匀或外加的恒定磁场不均匀，媒质局部区域中的分子电流可能不完全抵消，则会出现束缚体电流。束缚电流又称为磁化电流。,2.3 恒定磁场,2.磁化强度 为了衡量导磁媒质的磁化程度，定义媒质中 r 点处单位体积内分子磁矩的矢量和为磁化强度，记为，即：式中，是 内所有分子磁矩 的矢量和，是电流为 I，面积为 S 的分子电流的磁矩，的方向与电流 I 的方向成右手螺旋关系。导磁媒质的束缚面电流密度 和束缚体电流密度 与磁化强度之间的定量关系如下，其中 为媒质表面外法向单位矢量。,2.3 恒定磁场,3.磁场强度和导磁媒质的结构方程 为了避免求磁化强度 所带来的困难，我们引入磁场强度 H，定义为：从前面描述的媒质磁化过程中可以看出，磁化强度 与总磁感应强度 B 有密切关系。但由于历史原因，以及便于实际测量等因素，往往只考虑 M 与 H 的关系来描述媒质的磁特性，即：称为磁化率，是无量纲的数，取决于媒质的组成结构。不同媒质有不同的，同一种媒质中的密度变化也会导致 变化，还可能随 H 变化，一般通过实验来测定。,2.3 恒定磁场,将上式代入 H 定义式，有：这就是媒质的结构方程。式中，称为媒质的磁导率，称为相对磁导率，是无量纲的数。一般来说，是空间位置和 H 的函数。说明：本课程若非特别指明，所涉及到的媒质都是均匀(不随空间位置变化)、线性(不随H变化)、各向同性(是标量，B 与H 同向)的。除铁磁质外，其它常见媒质的 均近似为1。,2.3 恒定磁场,4.媒质中的磁通连续性原理 媒质内、外的恒定磁场 B 是传导电流产生的恒定磁场与束缚电流产生的恒定磁场的叠加场。这两种磁场性质相同，都是无散场，均满足磁通连续性原理。所以，B 也是恒定磁场，满足磁通连续性原理，即：,2.3 恒定磁场,三、安培环路定律1.真空中的安培环路定律 前面我们讲过，B 在闭曲面上的积分为0，即磁通连续性原理说明磁场是个无散场。而 B 在闭合路径上的线积分可以说明磁场的有旋性，这就是安培环路定律。下面我们作详细讨论。,2.3 恒定磁场,磁场要伴随电流而存在，磁力线也总要与电流线相交链，安培环路定律就是定量描述这一关系的定律，即：这就是安培环路定律的积分形式。式中，左端是 B 在任一闭合路径 L 上的线积分，右端的 I 是穿过此闭合路径所限定的任意曲面的净电流。电流的方向与积分路径的方向成右手螺旋关系时，I 为正，反之为负。它可以由实验方法来验证，也可以由毕萨定律用数学方法推导出来。下面我们用一个简单的特例来验证其正确性。,2.3 恒定磁场,例：计算长为 2L 的，载有电流 I 的细直导线外任一点处的磁感应强度 B，并验证安培环路定律。解：如图，选用圆柱坐标系，把导线对称地放在 z 轴上，电流 I 向 z 轴正向流动。设场点 P 的坐标为。则电流元 到场点 P 的距离矢量为：则根据几何关系有：,2.3 恒定磁场,当 时，有：由此可以看出，在无限长载流直导线所产生的磁场中，B 线是圆心在导线轴上，与导线垂直的一簇圆。,2.3 恒定磁场,这样，若取积分路径 L 为包围 I 的任意曲线，如左图，在柱坐标系中，有：则：若取积分路径 L 为不包围 I 的任意曲线，如右图，则：至此，我们以简单的特例验证了安培环路定律。,2.3 恒定磁场,下面，我们推导安培环路定律的微分形式。由Stocks旋度定理和，有：由于上式中曲面 S 是曲线 L 所限定的任意曲面，则有：这就是安培环路定律的微分形式。由此可知，恒定电流是恒定磁场的旋涡源，恒定磁场是有旋场。由矢量分析中我们知道，有旋场的矢量线是环绕其旋涡源的闭合曲线，这样进一步验证了恒定磁场的磁力线是环绕恒定电流的闭合曲线，且恒定电流的方向与环绕该电流的磁力线方向成右手螺旋关系。,2.3 恒定磁场,2.媒质中的安培环路定律 真空中恒定磁场安培定律的微分形式为，其中，是传导电流。前面我们知道导磁媒质中的束缚电流与传导电流一样产生磁场。因此，媒质中的安培环路定律右边的电流应该是传导电流 与束缚电流 之和，即：将 代入，移项整理得：可以看出，中括号中的表达式正是 的定义式，这也是引入磁场强度 的原因。这样，上式可写成：,2.3 恒定磁场,这就是媒质中安培环路定律的微分形式，可见 H 只与传导电流有关。将 代入可得真空中的安培环路定律，可见它是媒质中安培环路定律的特例。对上式两边在任意曲面 S 上取面积分，且根据旋度定理，有即：这就是媒质中安培环路定律的积分形式，式中 I 是与闭曲线L 相交链的净传导电流。,2.3 恒定磁场,3.应用安培环路定律计算恒定磁场问题 安培环路定律反映了恒定磁场的一个基本性质。当传导电流分布和媒质分布都具有对称性时，应用安培环路定律可以非常简便地求解恒定磁场问题。例：无限长细直导线上的电流为 I，导线被半径为 a 的均匀媒质包裹，媒质的磁导率为，求空间任意点的B、H、M。解：由于电流和媒质在无限长导线上均匀分布，建立如图圆柱坐标系，作以 z 轴为中心轴，为半径的圆 l，在此环路上应用安培环路定律，有：,2.3 恒定磁场,由，得,2.3 恒定磁场,四、磁位1.磁矢位 我们知道，一个矢量的旋度仍是一个矢量，所以恒定磁场的 可以写成一个矢量的旋度，即：则我们称 为恒定磁场的磁矢位，单位为Wb/m。如同在电场中引入电位一样，引入磁矢位可以使磁场问题的分析、计算得到简化。在很多情况下，A 比 B 更易求解。磁矢位本身没有明确的物理意义，它仅仅是分析和计算磁场问题的辅助矢量。,2.3 恒定磁场,将矢量恒等式 代入 的定义式有：又根据矢量恒等式：，可知：由于 是对场点坐标(x,y,z)进行微分，而 仅是源点坐标的函数，故必有，则上式简化为：,2.3 恒定磁场,对照，可得：类似地，面电流、体电流产生的磁感应强度 B 可改写为：则对应的磁矢位为：可以看出，磁矢位表达式中的被积函数比较简单，则先求 A，再求 B，往往比直接求 B 更简单。,2.3 恒定磁场,2.库仑规范 若 A 是 B 的磁矢位，即，则(为任意标量函数)，也是 B 的磁矢位，这是因为：这样，磁矢位 A 并不唯一。这是因为在定义磁矢位时只规定了它的旋度，而没有规定它的散度。由亥姆霍兹定理可知，要唯一确定一个矢量必须同时知道它的旋度和散度。因此要唯一确定 A，还必须规定它的散度值。对于恒定磁场，通常规定：我们称这种规定为库仑规范。可以证明，对于分布在有限区域内的电流而言，前面计算出的磁矢位自动满足库仑规范。,2.3 恒定磁场,3.矢量泊松方程和矢量拉普拉斯方程 将 代入安培环路定律的微分形式有：将库仑规范 代入上式，有：这就是均匀媒质中磁矢位满足的矢量泊松方程。A 的每一个坐标分量均满足标量泊松方程，即：在电流密度为零的区域，A 满足矢量拉普拉斯方程：此时，A 的每个坐标分量均满足标量拉普拉斯方程，即：,2.3 恒定磁场,4.磁标位 在电流密度为零的区域，安培环路定律简化为。这说明在没有电流分布的区域，类似静电场中，B 也可以表示为标量函数的梯度，即：式中，称为磁标位，它主要用来分析、计算磁化媒质，特别是永磁材料的磁场问题。将上式代入磁通连续性原理，有：对均匀媒质，不随空间位置变化，则有：这就是均匀媒质中磁标位满足的拉普拉斯方程。,2.3 恒定磁场,五、恒定磁场的基本方程 恒定磁场是由恒定电流(包括传导电流和束缚电流)产生的磁场，遵循安培环路定律