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数学建模简明教程,国家精品课程,第一章 规划理论及模型,一、引言,二、线性规划模型,三、整数线性规划模型,四、0-1整数规划模型,五、非线性规划模型,六、多目标规划模型,七、动态规划模型,一、引言,我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模竞,赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问,谈起.,其中第二个问题是一个如何来分配有限资源，,从而达到人们期望目标的优化分配数学模型.它,在运筹学中处于中心的地位.这类问题一般可以,归结为,数学规划模型.,规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来,来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事,行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、,创造的价值无法估量.,特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常,见的一类数学模型.从92-06年全国大学生数模竞,越多的人所重视.随着计算机的逐渐普及，它越,赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出,现了15次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题,中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.,二、线性规划模型,线性规划模型是所有规划模型中最基本、最,例1（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养,素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij,n 种,食物价格分别为c1,c2,cn，请确定食谱中n 种食,物的数量x1,x2,xn，要求在食谱中 m 种营养素,简单的一种.,2.1 线性规划模型的标准形式,的含量分别不低于b1,b2,bm 的情况下，使得总,的费用最低.,首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为,其次食谱中第 i 种营养素的含量为,因此上述问题可表述为：,解,上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题，,寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模型.,它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，,线性规划模型的三种形式,系数矩阵,目标函数 价值向量 价值系数 决策变量,右端向量,一般形式,规范形式,标准形式,三种形式的LP问题全都是等价的，即一种形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，且它们有相同的解.,以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准形式.,目标函数的转化,约束条件和变量的转化,为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，,可用下述两个不等式约束去替代,我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一,般形式的LP中，一个等式约束,这样就把一般形式的LP变换为规范形式.,变量 和，并设,对于一个无符号限制变量，引进两个非负,对于一个不等式约束,代替上述的不等式约束.,对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.,可引入一个剩余变量，,必须消除其不等式约束和符号无限制变量.,为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，,对于不等式约束,代替上述的不等式约束.,这样就把一般形式的LP变换为标准形式.,针对标准形式的线性规划问题，其解的理论,分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算,单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也,法单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段,2.2 线性规划模型的求解,法，对偶单纯形法等）.,是最核心的算法.它是一个迭代算法，先从一个,特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判,断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不,是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好,的软件包有LINGO和LINDO.,的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.,关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求,解过程可参见文献1.,然后在实际应用中，特别是数学建模过程中，,遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现,有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划,问题是标准形式.比较常用的求解线性规划模型,运输问题,例2 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物,资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C,假定运费与运量成正比.在这种情况下，采用不,地200吨、D地100吨.已知每吨运费如表1.1所示.,同的调拨计划，运费就可能不一样.现在问：怎,样才能找出一个运费最省的调拨计划？,解,一般的运输问题可以表述如下：,在满足供需要求的条件下，使总运输费用最省.,数学模型：,类似与将一般的线性规划问题转化为其标准,否则，称为不平衡的运输问题，包括：,总产量总销量和总产量总销量.,形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地，,将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题.从,而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解.,若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，,该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质,运输问题及其解法的进一步介绍参加文献2.,显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，,因而当然可以运用单纯形方法求解.但由于平衡,的运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些,特殊方法求解，其中最常用的就是表上作业法，,结合起来，很方便地实行了运输问题的求解.关于,对于线性规划问题，如果要求其决策变量取,整数值，则称该问题为整数线性规划问题.,平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性,对于整数线性规划问题的求解，其难度和运,三、整数线性规划模型,算量远大于同规模的线性规划问题.Gomory割,规划问题的方法（见文献1）.此外，同线性规,划模型一样，我们也可以运用LINGO和LINDO软,件包来求解整数线性规划模型.,如何求解整数线性规划模型.,以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例，,说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包,例3 有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车,上去.包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以,cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的.表1给出,了每种包装箱的厚度、重量以及数量.每节平板,车有10.2 m 长的地方可用来装包装箱（像面包片,那样），载重为40t.由于当地货运的限制，对于,C5,C6,C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这,类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm.试,把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小.,下面我们建立该问题的整数线性规划模型.,1)约束条件,两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：,每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：,每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：,对于C5,C6,C7类包装箱的总数的特别限制：,2)目标函数,浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：,3)整数线性规划模型,4)模型求解,运用LINGO软件求解得到：,5)最优解的分析说明,优的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm，,两节车共装箱的总长度为2039.4cm.,但是，上述求解结果只是其中一种最优的装,车方案，即此答案并不唯一.,0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求,线性规划模型中的决策变量 xij 只能取值为0或1.,单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤,0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的,四、0-1整数规划模型,算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简,条件）的穷举法.,我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求,解0-1整数规划模型.,例4 有 n 个物品，编号为 1,2,n，第 i 件物品,重 ai 千克，价值为 ci 元，现有一个载重量不超过,大，应如何装载这些物品？,a 千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最,用变量 xi 表示物品 i 是否装包，i=1,2,n，,并令：,解,可得到背包问题的规划模型为：,例5 有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能,做一件，第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如,何合理安排时间才能使总用时最小？,引入状态变量 xij，并令：,解,则总用时表达式为：,可得到指派问题的规划模型为：,上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形,式，还有许多其它的诸如人数与任务数不等、及,但一般可以通过一些转化，将其变为标准形式.,某人可以完成多个任务，某人不可以完成任务，,某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题.,对于标准形式的指派问题，我们可以利用匈,牙利算法实现求解.它将指派问题中的系数构成,一个矩阵，利用矩阵上简单的行和列变换，结合,解的判定条件，实现求解（见文献2）.,DVD在线租赁第二个问题的求解,问题二的分析,尽量小，会员满意度最大.,经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互,制约的重要因素.在忽略邮寄成本的前提下，经营,成本主要体现为DVD的数量.我们主要考虑在会员,向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，,对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量,DVD，否则不进行租赁.,没有预定的DVD对其满意度的贡献为0.,假设按照公历月份进行的租赁业务，即会员,无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成,DVD的租与还.同时假设网站对其会员进行一次,租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的,经观察，可以认为在线订单中每个会员的预定,DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定,不同DVD的满意程度，且当会员租到其预定排序,为1，2，3的三张DVD时，满意度达到100%.会员,利用层次分析法，对此满意指数的合理性进,行了简单分析.,进行求解.,该问题要求根据现有的100种DVD的数量和,当前需要处理的1000位会员的在线订单，制定分,配策略，使得会员达到最大的满意度.因而我们,认为只需对这些DVD进行一次性分配，使得会员,的总体满意度达到最大.为此考虑建立优化模型，,问题二的模型及求解,又根据假设，网站只向会员提供其预定的DVD，,进行分配.故引入约束,进一步，对每个会员每次租赁只能获得3张其,预定的DVD或不能得到，有,在上述约束的前提下，我们追求会员的总体,会员的最大满意指数为10+9+827，1000个,为了更好地表示满意度，我们将目标转化为,满意指数和 达到最大，显然每个,会员最大的满意指数和为,用百分数表示的满意度为：,，,由此，可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：,配方案（见表3）.,会员全都得到了3张预定的DVD.,根据所得的0-1整数线性规划模型，利用,LINGO软件进行求解，我们得到了一组最优分,该组最优解其目标函数会员总体最大满意,度为91.56%，只有6人未成功租赁（如：前30,名会员中C0008被分配到DVD），其余994个,五、非线性规划模型,即非线性规划问题.,前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约束条,件都是线性函数的规划问题，但在实际工作中，还,常常会遇到另一类更一般的规划问题，即目标函数,和约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题，,事实上，客观世界中的问题许多是非线性,的，给予线性大多是近似的，是在作了科学,的假设和简化后得到的.为了利用线性的,知识，许多非线性问题常进行线性化处理.,但在实际问题中，有一些是不能进行线性化,处理的，否则将严重影响模型对实际问题,近似的可依赖型.,由于非线性规划问题在计算上常是困难的，,理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁,的结果形式和全面透彻的结论.这点又限制了非,线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进,行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、,简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似,误差较大时，则考虑用非线性规划.,非线性规划问题的标准形式为：,其中，为 维欧式空间 中的向量，,中至少有一个是非线性函数.,非线性规划模型按约束条件可分为以下三类：,等式约束非线性规划模型：,无约束非线性规划模型：,不等式约束非线性规划模型：,针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基,本思路可归纳如下：,（下降迭代法）寻找，该方法的基本步骤如下：,所以往往根据目标函数的特征采用搜索的方法,1)无约束的非线性规划问题,止迭代，用 来近似问题的最优解，否则转至.,从 出发，沿方向,按某种方法确定步长,令，然后置，返回,使得：,检验 是否满足停止迭代的条件，如是，则停,线性规划可以用一维搜索方法求得最优解，一维搜,最常用的搜索方法就是最速下降法.,在下降迭代算法中，搜索方向起着关键的作,用，而当搜索方向确定后，步长又是决定算法好坏,的重要因素.非线性规划只含一个变量，即一维非,索方法主要有进退法和黄金分割法.二维的非线性,规划也可以像解线性规划那样用图形求解.对于二,维非线性规划，使用搜索方法是要用到梯度的概念，,约束问题求解.,近的方法将非线性规划问题化为线性规划问题.,2)只有等式约束的非线性规划问题通常可用消,元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无,3)具有不等式约束的非线性规划问题解起来很,复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为等式,约束，再将约束问题化为无约束问题，用线性逼,规划问题可用拉格朗日方法求解.,下面介绍一个简单的非线性规划问题的例,子，其中的一些约束条件是等式，这类非线性,客户的速度.,例7（石油最优储存方法）有一石油运输公,司，为了减少开支，希望作了节省石油的存储,空间.但要求存储的石油能满足客户的要求.为,简化问题，假设只经营两种油，各种符号表示,的意义如表4所示.其中供给率指石油公司供给,表4 各种符号表示意义表,由历史数据得到的经验公式为:,且提供数据如表5所示：,表5 数据表,已知总存储空间,代入数据后得到的模型为：,拉格朗日函数的形式为：,模型求解：,即:,对 求各个变量的偏导数，并令它们,等于零，得:,解这个线性方程组得：,从而可得最小值是12.71.,间由24变为25时，最优值会由12.71变为,表示当约束条件右边的值增大一个单位后，相,应目标函数值的增加值。比如说：如总存储空,六、多目标规划模型,许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准,往往不止一个.例如设计一个导弹，既要射程,最远，又要燃料最省，还要精度最高.这一类,问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问,题.我们先来看一个生产计划的例子.,能耗不得超过160t标准煤其它数据如下表：,问每周应生产三种布料各多少m，才能使该厂,的利润最高，而能源消耗最少？,，该厂两班生产，每周生产时间为80h，,例8（生产计划问题）某厂生产三种布料,解 设该厂每周生产布料 的小时数为,，总利润为（元），总能耗为,（t标准煤），其中，,则上述问题的数学模型为,其中，.,有,显然这是一个多目标线性规划问题.一般的多目,标规划问题都可写成如下的形式：,从而得到满意解的方法.,主要区别在于：目标函数不止一个，而是p 个,（）.,问题的可行集或容许集，称为可行解或容,称为多目标规划,许解.多目标规划问题与前面讲的规划问题的,多目标规划问题的解法大致可分为两类：直,接解法和间接解法.到目前为止，常用的多为,间接解法，即根据问题的实际背景和特征，设,法将多目标优化问题转化为单目标优化问题，,一个目标为主要目标，例如，而把其余目,主要目标法,线性规划问题：,多目标优化问题中，若能从p 个目标中，确定,标作为次要目标，并根据实际情况，确定适当的,界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，,而将多目标优化问题转化为求解如下的线性或非,其中界限值取为，则,目标优化问题的弱有效解或有效解.,令,此非线性规划问题得最优解必为原问题的弱,有效解.因此，用主要目标法求得的解必是多,排一个次序，假设 最重要，次之，,再次之，最后一个目标.,先求出以第一个目标 为目标函数，而原,2)分层序列法,把多目标规划问题中的p 个目标按其重要程度,问题中的约束条件不变的问题：,的最优解 及最优值，再求问题：,的最优解 及最优值，即，,的可行域.,再求解问题：,得最优解 及最优值，如此继续下去，,直到求出第p 个问题：,原多目标规划问题在分层序列意义下得最优解，,为其最优值.,得最优解 及最优值，则 就是,P,其最优解是唯一的，则问题 的最优解,也是唯一的，且。因此常将分层,序列法修改如下：选取一组适当的小正数,成为宽容值，把上述的问题 修改如下：,再按上述方法依次求解各问题.,容易看出，在使用分层序列法时，若对某个问题,.,3）线性加权求和法,程度给以适当的权系数，且,，然后用 作为新的目标,得最优解，取 作为多目标规划,函数，成为评价（目标）函数，再求解问题,对多目标规划问题中的p个目标按期重要,问题的解.,优解必是原多目标规划问题的有效解或弱有效解.,例9 求解引言中DVD在线租赁的第三个问题.,性规划模型以及利用主要目标法求解该模型.,在一定条件下，用线性加权求和法求得的最,下面以引言中2005年全国大学生数模竞赛,“DVD在线租赁”问题第三问为例，介绍多目标线,得会员的满意度最大.,问题三的分析,此问是在现有的在线订单基础上，满足一个,月内95%的会员得到他预订的DVD，我们进行,购买量预算和分配决策，使得会员的满意度最,大.预算购买量的目的是在尽可能地减少DVD,购买量的前提下，满足要求，进行合理分配使,在一个月内进行分配，因而存在部分DVD的两次,员的第二次租赁.,我们假设会员得到他想看的DVD就是指：会员,租赁到了他预定的DVD中的三张；且假设会员每,次租赁前都需要提交新的在线订单.此问中要求,被租赁，但因为是处理同一份订单，因而存在会,了 张DVD的作用.,基于这个假设，为了最小化购买量，我们在,允许当前某些会员无法被满足租赁要求，让其,等待，利用部分会员还回的DVD对其进行租赁.,根据问题一，我们认为，一个月中每张DVD,有0.6的概率被租赁两次，0.4的概率被租赁一次.,即在二次租赁的情况下，每张DVD相当于发挥,由此，在问题二建立的0-1整数规划模型的,求，考虑DVD可能的两次分配，进一步追求DVD,基础上，满足95%的会员得到他想看DVD的要,进行求解.,总的购买数量最小.建立双目标整数规划模型,设 表示第j种DVD需要的购买量.对每种DVD，,问题三的模型,要求分配的总量不超过相应的现有数量的1.6倍.即:,为了让95%的会员可以得到他想看的3张DVD，即:,我们希望购买DVD的总数量最小，即:,由此，可以得到问题三的双目标整数线性规划,模型如下：,总体满意度水平（即最小的满意度）,将其满意度的目标转换为约束，如下：,问题三的求解与检验,对于该双目标整数线性规划模型，我们引入,利用Lingo软件，调整总体满意度水平 进行,求解。实际计算中，如果要求 为整,约束进行计算。求得解 后，对其,进行取整。当 时，我们解得DVD总的最小,购买量，其中第j种DVD需要的购买,量 如下表：,数，无法求得可行解，因而我们取消了其整数,表6 当 时最小购买量的 值,续上表,我们利用规划模型求得每种DVD的购买量后，,需要对其进行可行性校验，测试此结果是否可以,且具有尽可能大的总体满意度.,满足一个月内比例为95%的会员得到他想看DVD，,校验方法：,（一）根据订单和求得的DVD购买数量，利用问题,二的规划模型进行第一次分配，对分配情况：租,赁的会员，DVD的分配情况，剩余的各种DVD,数量作记录；同时将已租赁的会员在满意指数,矩阵的指数全变为0，即不考虑对其进行第二次,分配.,第一次未分配到DVD的会员进行第二次分配；,（二）随机从第一次得到DVD的会员中抽取60%，,将这部分人所还回的DVD与第一次分配余下的,DVD合在一起，作为第二次分配时各种DVD的,现有量.然后，利用问题二的0-1线性规划模型对,（三）统计出经过两次分配后，得到DVD的会员,使得到DVD的会员大于95%，则认为模型三是合,种算法进行多次随机模拟，若大多数情况下可以,的比例，若大于95%，则此次分配成功.利用这,理的.,校验结果：,因为每次检验需时约1小时，我们只对问题三,表7 7次模拟结果每次的观看比例列表,观看比例大于95%）.下面给出7次模拟得到的观,求得的结果进行了7次模拟，其中6次符合要求（,看比例（表7）：,七、动态规划模型,过程中的最优控制问题.,动态规划所研究的对象是多阶段对策问题，,是在20世纪50年代初期由美国数学家R.Bellman等,人提出的一类规划模型.动态规划是现代管理领域,的一种重要的决策方法，其主要应用有最优路径,问题、资源分配问题、投资决策问题、生产计划,与库存问题、排序问题、货物装载问题以及生产,理多阶段决策问题的最优化原理.,效益的总和达到最优.,多阶段决策问题是指一类活动过程，它可分,为若干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要做,出决策，这个决策不仅决定这一阶段的效益，而,定以后，就得到一个决策序列，称为策略.多阶,段决策问题就是求一个策略，使各阶段的效益的,下面我们通过讲解一个最短路问题来引出处,且决定下一阶段的初始状态，每个阶段的决策确,例10 有一辆汽车要把货物从A城运到E城，而,可供选择，选取怎样的路线才能使路程最短？,从A城到E城必须经过一些城市，整段路程可以,分为若干个阶段，而每个阶段又有若干个城市,假定从A城到E城的所有路线如下图所示：,图1 从A城到E城的路线,途中的数字表示两城之间的距离（以10千米为,其中 B1,B2,C1,C2,D1,D2是可供选择的城市，,单位）.,很明显，前面各阶段的决策如何选择，直接影响着,段选择一个决策，使由它们决定的总路程最短.,显然，这是一个多阶段决策问题：从A到E可以分为,4个阶段.从A点出发到B1或B2为第一阶段，这时有,两个选择：走到B1或者走到B2.若我们选择走到B1,的决策，则B1就是下一个阶段的起点.在下一阶段，,我们从B1出发，有一个可供选择的决策集合C1,C2，,其余各阶段的行进路线，我们的目的就是在各个阶,动态规划的基本概念.,阶段的终点又是第k+1阶段的起点，记为Sk，,下面我们来求此问题的最短路线，并以此来,说明处理多阶段决策问题的最优化原理.先引入,令k表示由某点至终点之间的阶段数.例如从A,到E可以分为4个阶段，从B1到E是5个阶段；第k,个阶段时所选择的一个决策；在各个阶段上选择,令xk(sk)为决策变量，它表示当处于状态时还有,态全体可用状态集合来描述.例如：S2=B1,B2；,称为状态变量或状态.某个阶段的所有可能状,的决策组成的总体称为一个策略.,由 至终点的最短距离；令 表示 点到,有定义，表示由D1至E的最短距离，故,，同理.当 时，若从C1,点的距离.现在我们采用逆序递推法从最后一个阶段开,始计算并逐步推移至A点(也可采用顺序递推法).,令 表示现在处在状态 还有k个阶段时，,最短路线是，.,依次递推，我们能够得到，,，因此最优路,线是，这种方法就是动态规划方法.,这说明由C1出发至终点E的最短距离是4，其,动态规划的递推关系是依据最优化原理推导出来,的：一个过程的最优策略应具有这样的性质，即无,论其初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策对,以第一个决策所形成的状态作为初始状态而言，必,由上例我们可得到动态规划原理的一般模型：,所给最优策略的前i阶段的策略构成这前i步问题的,一个最优策略.,上原有的约束条件)来形成一个前 i 步问题，那么,须构成最优策略，同时，对于多阶段决策问题的,最优策略，如果用它的前i步策略产生的情况(加,下面我们利用最优化原理解决一个生产与库存,的四个季度的订货量分别为600件、700件、500件,了使费用最小，每一季度应生产多少最好？,例11 某厂计划今年全年生产某种产品A，已收到,管理问题.,和1200件.产品A的生产费用与产品数量的平方成正,比，比例系数为0.005，存在仓库里的产品要花费一,定的储存费用，每件产品储存费用为每季度1元，为,用Ak 表示每个季度的订货量，由已知可得,由题目已知，两个阶段之间的产品数量关系，,解 将每个季度视为一个阶段.,可得状态转移方程：,取第k季度初具有的产品数为状态变量sk，,第 k 季度需要生产的产品数xk为决策变量，,的订单，所以有约束条件：,用 表示从状态 出发，采用最优策,阶段效益即是费用，所以：,略到第四季度结束时的最小费用，可得到,动态规划模型：,由于订货量的限制，每季度至少要完成相应,从最后一阶段 开始，此时：,当 时，得极小值，即：,第三阶段 时：,下面用逆序递推方法求解：,对 求导后并令其为零得：,第二阶段 时，用同样的方法可得：,第一阶段 时，注意到，,可得到驻点：,即在此点可取极小值，所以：,同样用第三阶段时的方法得：,所以各季度的库存量和最优策略分别为：,最小费用为11800元.,则总费用为12700元，多用了900元.,若每季度都按订货量生产，即,再见,