高等数学课件-D42换元积分法.ppt
2023/10/20,同济高等数学课件,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第四章,2023/10/20,同济高等数学课件,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,2023/10/20,同济高等数学课件,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),2023/10/20,同济高等数学课件,例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,注意换回原变量,2023/10/20,同济高等数学课件,例2.求,解:,令,则,想到公式,2023/10/20,同济高等数学课件,例3.求,想到,解:,(直接配元),2023/10/20,同济高等数学课件,例4.求,解:,类似,2023/10/20,同济高等数学课件,例5.求,解:,原式=,2023/10/20,同济高等数学课件,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,2023/10/20,同济高等数学课件,例6.求,解:原式=,2023/10/20,同济高等数学课件,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,2023/10/20,同济高等数学课件,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,2023/10/20,同济高等数学课件,例10.求,解法1,2023/10/20,同济高等数学课件,解法 2,同样可证,或,(P199 例18),2023/10/20,同济高等数学课件,例11.求,解:原式=,2023/10/20,同济高等数学课件,例12.求,解:,2023/10/20,同济高等数学课件,例13.求,解:,原式=,2023/10/20,同济高等数学课件,例14.求,解:原式=,分析:,2023/10/20,同济高等数学课件,例15.求,解:原式,2023/10/20,同济高等数学课件,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,2023/10/20,同济高等数学课件,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,2023/10/20,同济高等数学课件,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业,2023/10/20,同济高等数学课件,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,2023/10/20,同济高等数学课件,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,则有换元公式,2023/10/20,同济高等数学课件,例16.求,解:令,则,原式,2023/10/20,同济高等数学课件,例17.求,解:令,则,原式,2023/10/20,同济高等数学课件,例18.求,解:,令,则,原式,2023/10/20,同济高等数学课件,令,于是,2023/10/20,同济高等数学课件,说明:,1.被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,(参考 P204 P205),或,代换外,还可利用公式,2.再补充两个常用双曲函数积分公式,2023/10/20,同济高等数学课件,原式,例19.求,解:令,则,原式,当 x 0 时,类似可得同样结果.,2023/10/20,同济高等数学课件,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2023/10/20,同济高等数学课件,2.常用基本积分公式的补充(P205 P206),7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,2023/10/20,同济高等数学课件,2023/10/20,同济高等数学课件,解:原式,(P206 公式(20),例20.求,例21.求,解:,(P206 公式(23),2023/10/20,同济高等数学课件,例22.求,解:原式=,(P206 公式(22),例23.求,解:原式,(P206 公式(22),2023/10/20,同济高等数学课件,例24.求,解:令,得,原式,2023/10/20,同济高等数学课件,例25.求,解:原式,令,例16,例16,2023/10/20,同济高等数学课件,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,2023/10/20,同济高等数学课件,2.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),2023/10/20,同济高等数学课件,P207 2(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44),作业,第三节,2023/10/20,同济高等数学课件,备用题 1.求下列积分:,2023/10/20,同济高等数学课件,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,2023/10/20,同济高等数学课件,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,
