结构分析与设计原理(第1-4章).ppt

结构分析与设计原理,本课程的教学内容,本课程的教学内容分为三大部分：结构力学的基本理论与计算方法；金属结构的设计与计算；现代结构分析方法及其应用。,本课程的教学目标,掌握结构力学的基本概念和分析计算 方法；掌握金属结构设计的基本验算方法；掌握结构分析与优化设计的有限元方法。,教学进度安排,结构力学的基本理论与计算方法 1-4周金属结构的设计与计算 4-6周现代结构分析方法的工程应用 7-9周,本课程的成绩考评方法,平时成绩（上课+作业）20%期末考试成绩 60%现代结构分析方法及其应用 20%,第一篇 结构力学的基本理论与计算方法,第一章 绪论,1-1 结构力学的研究对象和任务 结构力学是研究结构的合理形式以及结构在受力状态下内力、变形、动力响应和稳定性等问题的规律性的学科。对象：（1）杆件结构（2）板壳结构（3）实体结构 任务：（1）研究结构的组成规律及合理的结构形式；（2）结构的内力分析（结构强度分析）；（3）结构变形与位移计算（结构刚度分析）；（4）结构的稳定性计算和动力学分析。,1-2 结构的计算简图及其分类 在结构分析时,常需要进行以下简化:1）结构的简化；2）结点的简化（刚结点、铰结点）；3）支座的简化；4）载荷的简化。,结构的计算简图,1.结构体系的简化,2.杆件的简化,(1)铰结点,(2)刚结点,3.结点的简化,(3)定向结点,4.支座的简化,(1)铰支座,(2)滚轴支座,(3)固定支座,Y,X,Y,Y,X,M,5.材料性质的简化,将结构材料视为连续、均匀、各向同性、理想弹性或理想弹塑性。,（4）定向支座,1-3 结构上的载荷分类,、根据荷载作用时间长短：恒载、活载。,、按荷载作用的性质：静力荷载、动力荷载。,-9-,3、按荷载作用的部位：集中荷载、分布荷载。,1-4 结构力学分析计算的基石 结构力学的各种计算方法都必须满足以下三方面的条件：（1）结构力系的平衡条件；（2）变形连续条件；（3）结构应力应变关系的物理方程。,第二章 平面体系的几何组成分析,2-1 概述 几何组成分析的目的是:（1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它是否作为结构；（2）研究几何不变体系的组成规律，以保证结构是几何不变的。几何不变体系 几何可变体系 瞬变体系,几何不变体系和几何可变体系,几何不变体系：,不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。,几何可变体系：,不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。,几何可变体系,几何不变体系,瞬变体系及常变体系,C,N1,N2,N3,0,0,r,P,六、瞬铰,.,C,O,D,A,B,2-2 关于刚片、自由度和约束的概念刚片：指在平面体系中不考虑材料本身变形的几何不变 部分。例如，可称为刚片的有：一根梁或由若干 个构件组成的几何不变体系也可视为一个刚片。自由度：指体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐 标数。约束：用于限制体系运动自由度的装置称为约束。,如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种：,链杆个约束,单铰个约束,刚结点个约束,分清必要约束和非必要约束。,(2)多余约束,(1)约束,约束的类型主要有以下几种：链杆：指两端有铰的直杆或只以两个铰与外界相联的刚 片（等效链杆），其作用相当于一个约束。单铰：指连接两个刚片的铰，一个单铰相当于两个约束。复铰：用一个铰连接两个以上的刚片，这种铰为复铰。连接n个刚片的复铰，相当于（n-1）个单铰的作 用。,平面体系自由度的计算 平面体系的计算自由度为各刚片不受约束时的自由度总数与因约束作用而减少的自由度数之差，即：W=3m-(2h+r)(2-1)式中：W-平面体系的计算自由度；m-刚片总数；h-单铰数（如有复铰，应先折算成单铰）；r-支座链杆数。,3,62（1）=4,92（2）=5,W=3（),（）,m,h,r,m7,h9,r,=1,刚片本身不 应包含多余约束,如果平面体系中全部杆件均为链杆，可用下式计算该平面体系的自由度：W=2j-(b+r)(2-2)式中：j-为铰接节点数；b-为杆件数；r-为支座链杆数。,j=4,b=4,j=8,b=12,81240,r=3,r=4,单链杆：连接两个铰结点的链杆。,复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。,平面体系自由度计算可得到以下三种结果：,W0,表明缺少足够的约束，体系一定是几何可变的。2.W=0,表明体系具有保证几何不变所需的最少约束数，但不一定就是几何不变体系，如约束不当，仍有可能是几何可变的，或瞬变的。3.W0,表明体系内有多余约束存在。因此，W0是保证体系几何不变的必要条件。但不是充分条件。,2-3 组成几何不变体系的基本规则 1.两刚片规则 两个刚片之间用不交于一点也不相互平行的三根链杆相联，或用一铰和不过该铰的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。2.三刚片规则 三个刚片之间用三个不在同一直线上的单铰两两相联，组成无多余约束的几何不变体系。3.二元片规则 两根不在同一直线上的链杆通过一个结点（单铰）联接的结构称为二元体。在一个刚片上增加一个二元体仍为几何不变体系，且无多余约束。,没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。,1.一个点与一个刚片之间的组成方式,I,I,一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。,2.两个刚片之间的组成方式,两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变 体系.或两个刚片之间用三根链杆相连,且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的几何不变体系。,3.三个刚片之间的组成方式,三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。,利用组成规律可用两种方式构造一般的结构：,（1）从基础出发构造,（2）从内部刚片出发构造,例1,.,.,.,.,1,2,2,3,1,3,1,2,1,3,2,3,例2,例3,无多余约束的几何不变体系,几何瞬变体系,几何瞬变体系,F,例 4,例 5,.,m9,h12,b,(2,3),(1,3),(1,2),按平面刚片体系计算自由度,(2,3),(2,3),.,(1,3),(1,2),例 6,(1,2),(2,3),(1,2),(2,3),(2,3),(1,2),几何瞬变体系,(1,2),2-4 体系的几何组成与静定性的关系几何不变且无多余约束的体系才是静定的；几何不变但存在多余约束的体系是超静定的；,第三章 静定结构的内力计算,1.定义 在任意载荷作用下，全部反力均可由静力平衡条件唯一确定的结构，称为静定结构。静定结构是无多余约束的几何不变体系。静定结构分类 静定梁、静定刚架、静定拱、静定桁架和静定组合结构等五类。,主要任务：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。,3.静定结构的分析方法 按截面法选取隔离体，运用平衡条件计算约束反力和内力。,3-1 静定梁 a)叠加原理：结构中一组载荷产生的效果（内力或位移）等于每一载荷单独作用产生的效果总和。b)内力计算法则：轴力的数值等于截面一侧所有外力沿截面法向的投影 代数和；剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面（平行）方向的投影代数和；弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。,c)截面上内力符号的规定：,轴力(N)截面上应力沿杆轴线方向的合力，画轴力图要注明正负号；拉力为正，压力为负；,剪力(Q)截面上应力沿杆轴法线方向的合力,使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；,弯矩(M)截面上应力对截面形心的力矩之和,不规定正负号。弯矩图画在杆件纵向纤维受拉一侧，不注符号。,d)单跨静定梁的内力图 绘制梁的内力图时，以横坐标表示梁截面位置，纵坐标表示该截面内力。,荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）,q(x),（1）微分关系,（2）增量关系,（3）积分关系,由 d Q=qd x,由 d M=Qd x,几种典型弯矩图和剪力图,1、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；Q 图有一突变，荷载向下突变亦向下。,2、集中力矩作用点M图有一突变，力矩为顺时针向下突变；Q 图没有变化。,3、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；Q 图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜,3.无何载区段,4.均布荷载区段,5.集中力作用处,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图 平行于轴线,Q图,M图,备注,二次抛物线凸向即q指向,Q=0处，M达到极值,发生突变,P,出现尖点尖点指向即P的指向,集中力作用截面剪力无定义,6.集中力偶作用处,无变化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作用面弯矩无定义,内力图形状特征,1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作 用，截面弯矩等于集中力偶的值。,2、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用，该端弯矩为零。,分段叠加法作弯矩图,+,MA,MB,分段叠加法的理论依据：,假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。,图中：OA段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,分段叠加法作弯矩图的方法：,（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；,（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上再叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。,例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。,分析,该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值,解：,（1）先计算支座反力,（2）求控制截面弯矩值,取AC部分为隔离体，可计算得：,取GB部分为隔离体，可计算得：,kN,kN,26,7,8,30,M图（kN.m）,Q图（kN）,单跨静定梁计算实例,e)多跨静定梁的受力分析方法 分清多跨梁的基本部分和附属部分，画出分层作用简图，就可用单跨静定梁的计算方法对多跨梁的各段分别进行计算。计算基本部分时，要考虑附属部分对它的作用；而计算附属部分时，不考虑基本部分的载荷。,如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为附属部分。,（a）,（b）,分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。,注意：,从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形。,因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。,(1),(2),40,40,20,50,10,20,40,50,构造关系图,M 图（k Nm）,25,15,20,35,45,40,Q 图（k N）,3-2 静定平面刚架 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。结构特征：全部或部分用刚性结点联接的直杆结构。在刚性结点处各 杆件间的夹角始终不变。常见形式：简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架。计算方法：确定静定平面刚架的支座反力，然后用截面法计算杆件的 内力。内力图绘制：可将刚架的杆件看作梁，作内力图。轴力图和剪力图必 须标明正负。弯矩图画在杆件受拉侧。,静定平面刚架的组成特点及类型,(a),(b),(c),(d),(e),下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。,刚架结构优点：,（1）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。,例1.试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。,(1)支座反力,(a),(b),(c),解,。,(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。,40,160,(d)M图,160,40,80,20,60,Q图（kN),M图(kNm）,M图,80,20,N图（kN),理想桁架：,（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；,（2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；,（3）荷载和支座反力都作用在结点上,上弦杆,腹杆,下弦杆,3-3 静定平面桁架 定义：桁架由直杆组成，所有结点均为完全铰，桁架杆件主要产生 轴力。,桁架的分类（按几何构造）,1、简单桁架,2、联合桁架,3、复杂桁架,分析时的注意事项：,1、尽量建立独立方程：,W=2j-b=0,方程式数,未知内力数,2、避免使用三角函数,l,lx,ly,X,Y,N,l,=,X,lx,=,Y,ly,3、假设拉力为正,+,P,结点平面汇交力系中，下列几种情形杆件的内力可直接根据静力平衡条件求出:,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,A,B,C,D,例题,平面桁架的内力计算方法 1）结点法：取桁架结点为隔离体，用平面汇交力系平 衡方程 和 计算杆件的内力。2）截面法：用截面把所求内力的杆件截断，取其中一 部分为隔离体，根据被隔离体上外力与内力 平衡条件计算杆件内力。,截面法求解平面一般力系,O,截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点时，则此杆件称为该截面的截面单杆。截面单杆的内力可直接根据隔离体力矩平衡条件求出。,N1,D,N2,关于 寻找合适的 矩心,RB,。,k,P,。,k,P,特殊截面,简单桁架一般采用结点法计算；联合桁架一般采用截面法计算。,a,b,c,d,e,(1),例题:求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。,(2),4,k,(3),第三章,三铰拱的特点,VA,VB,三铰拱的类型、基本参数,曲线形状：抛物线、园、悬链线.,3-4 三铰拱,P1,D,y,三铰拱内力计算,以截面D为例,截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。,三铰拱受力特点,（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;,（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;,（3）拱内有较大的轴向压力N.,3-4 静定结构的特性,静定结构的约束是必需的，缺少任何一个约束，结构 就变为几何可变体系而丧失承载能力；没有载荷，静定结构就没有反力和内力；静定结构的某一几何不变部分在平衡力系作用下，结构的其它部分不引起内力；对静定结构某一几何不变部分载荷作等效变换，只影响该部分结构的内力，其它部分内力不变；静定结构某一几何不变部分作组成变换（仍保持几何不变），其余部分内力不变。,第四章 静定结构的位移计算,4-1 概述 1）位移的定义 杆系结构在载荷或其它外在因素的影响下，发生形状的改变以及结构各截面的位置移动和转动，称为结构的位移。2）位移计算的目的 a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的计算打基础；c）施工方面的需要。,3）应用虚功原理求刚体体系的位移,产生位移的原因：（1）荷载；（2）温度变化、材料胀缩；（3）支座沉降、制造误差。,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,广义位移,位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便,4-2 变形体虚功原理 1）功的定义 功是指力在其作用点位移方向的投影与该点的位 移乘积。功可用广义力与相应广义位移的乘积表示：W=P 式中：用广义位移表示线位移与角度位移；用广义力P表示集中力、集中力偶。,2）实功与虚功 实功：当力与所对应的位移相关时，则力在其本身 引起的位移上所做的功为实功。虚功：当力与所对应的位移彼此独立无关时，此力 在该位移方向上所做的功为虚功。,1、实功与虚功,实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。,P1,P2,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。,同理，P2在自身引起的位移22上作的功为：,在12过程中，P1的值不变，,12与P1无关,位移发生的位置,产生位移的原因,3）刚体虚功原理及其应用 刚体虚功原理：在具有理想约束的刚体上，如果力系满足平衡条件，虚位移是约束容许的可能位移，则外力的虚功总和等于零。根据刚体虚功原理可用虚位移法在给定力系与虚设位移之间建立虚功方程，求解未知力或位移。,例题：给定支座位移时静定结构的位移计算,（1）C点的竖向位移,（2）杆CD的转角,所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。,求解步骤,（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；,（3）解方程得,定出方向。,（2）建立虚功方程,4）变形体系虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段截面上内力所作的变形虚功总和。即：W外=W变（4-1）,微段两端相对位移：,三种变形：,由材料力学:,位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。,外虚功：,内虚功：,变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：,4-3 平面杆系结构的虚功方程 在平面杆系拟求位移的方向上加一个虚拟的力（设为单位荷载 P=1）。由于单位虚荷载P的作用，引起结构中所取任意微段截面上的内力分量为：、。在支座处产生的反力为R。根据虚功方程（4-1）可得：（4-2）,当在所求位移方向虚拟了单位荷载，并求出虚拟力产生的反力和结构内力，根据实际支座位移和结构微段的变形，可由式（4-2）计算出所求位移。该方法称为单位荷载法。适用于静定和超静定平面结构。,结构位移计算的一般公式,一根杆件各个微段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,适用范围与特点：,2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。,关于公式普遍性的讨论：,（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。,（2）变形原因：荷载与非荷载。,（3）结构类型：各种杆件结构。,（4）材料种类：各种变形固体材料。,1）适于小变形，可用叠加原理。,位移计算的一般步骤:,实际变形状态,虚力状态,(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；,(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。,4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 无支座移动时：（4-3）式中，微段变形是由实际荷载引起的。假设以MP、QP、NP 表示实际位移状态中的微段ds上由荷载产生的弯矩、剪力和轴力。在弹性范围内，MP、QP、NP 分别在微段ds上引起的变形为：，（4-4）式中：EI、GA、EA 分别为杆件截面的抗弯、抗剪、抗拉压强 度；k 为剪应力不均匀分布系数，它仅与截面的形状有关。,将式（4-4）代入（4-3）可得平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式：（4-5）式中、代表虚拟状态中由广义单位虚荷载产生的虚内力；、则代表原结构由于实际荷载所产生的内力。这两类内力均可通过静力平衡方程求得。,根据不同的结构形式和所考虑的主要变形，位移计算公式可作如下简化：梁和刚架：（弯曲为主）(4-5)桁架：（只考虑轴向变形）(4-6),桁架与梁的组合结构：（一些杆件弯曲为主，另一些杆件轴向变形为主）（4-7）,(a)实际状态,(b)虚设状态,AC段,CB段,例题1:求悬臂梁A点的竖向位移,1）列出两种状态的内力方程：,2)将上面各式代入位移公式分段积分计算,CB段,CB段,设为矩形截面 k=1.2,3）讨论,比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。,设材料的泊松比,由材料力学公式。,设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有,代入上式,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例题2 计算屋架顶点的竖向位移。,AD,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,4-5 图乘法 在求梁和刚架的位移时，如果杆件较多，荷载较复杂，则采用积分公式：进行积分计算比较麻烦。在满足以下条件时，可采用图乘法代替积分计算：1）EI=常数；2）杆轴为直线；3）图和Mp图中至少 有一个为直线图形。,图乘法计算位移,ds,Mi=xtg,注：,y0=x0tg,表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标y0在杆的同侧，y0 取正号，否则取负号。,几种常见图形的面积和形心的位置：,=hl/2,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,三次抛物线=hl/4,n次抛物线=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,例1：求梁B点竖向线位移。,ql2/2,当图乘法的适用条件不满足时的处理方法:,例2：求图示梁中点的挠度。,3a/4,例：求图示梁C点的挠度。,？,？,非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。,b)非标准抛物线乘直线形,E=3.3 1010 N/m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010=3.6465 104 N m2,解：q=2500010.025625 N/m,例1：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝 土容重为25000N/m3，求C 点的挠度。,折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,P=1,0.8,2,(),例2 求B点竖向位移,例3 求B,例求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,例试求等截面简支梁C截面的转角。,1,=,C,4-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算,1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。,t0,3）微段的变形,=t ds/h=0,该公式仅适用于静定结构,ds=t0ds,例题:求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,4-7 互等定理 常用的互等定理有：功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。,应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。,1）功的互等定理 状态 I 的外力在状态 II 的位移上所作的虚功总和，等于状态 II 的外力在状态 I 的位移上所作的虚功总和。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：W12=W21,例2：图示同一结构的两种状态，求=？,解：W12=W21=A+B,例1：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A的转动引起C点的挠度。,解：W12=W21W21=0W12=PC3Pl/160 C=3l/16,在第一个单位力的方向上由第二个单位力所引起的位移12，等于第二个单位力的方向上由第一个单位力所引起的位移21。注：无论是对线位移还是角位移，该位移互等关系都成立。位移互等定理是功的互等定理的特殊情形。,2)位移互等定理,注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。,支座1处由于支座2的单位位移所引起的反力r12，等于支座2处由于支座1的单位位移所引起的反力r21。,3）反力互等定理,位移计算的要点总结：1）建立正确的虚拟状态；2）正确理解位移公式；3）正确使用图乘公式。,