微积分学PPt标准课件05-第5讲常数项级数的概念.ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五讲 常数项级数的概念和性质,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第二章 数列的极限与常数项级数,本章学习要求：,第二章 数列的极限与常数项级数,第四节 常数项级数的概念和性质,一.无穷级数的概念,二.级数收敛的必要条件,三.无穷级数的基本性质,一.无穷级数的概念,1.无穷级数的定义,设有数列 un:u1,u2,un,为一个无穷级数,简称为级数.,称 un 为级数的一般项或通项.,则称表达式,下列各式均为常数项级数,下列各式均为函数项级数,2.级数的敛散性定义,称为级数的部分和.,S 称为级数的和：,若,不存在(包括为),发散.,则称级数,等比级数的部分和为：,此时等比级数收敛,其和为：,解,a,n为奇数,0,n为偶数,当公比|r|1 时,等比级数收敛；,当公比|r|1 时,等比级数发散.,综上所述,讨论级数,的敛散性.,解,而,故,即该级数收敛,其和为,二.级数收敛的必要条件,定理,证,设,由于,故该级数发散.,解,证明调和级数是发散的:,调和级数的部分和有：,证,由数学归纳法,得,k=0,1,2,而,三.无穷级数的基本性质,有相同的敛散性,且,1.性质 1,证,的部分和为,的部分和为,故,且有,2.性质 2,证,的部分和为：,故,因为等比级数,所以级数,问 题,是发散的,问 题,不一定,但对收敛级数来说,它的和将改变.,在一个级数的前面加上或者去掉,有限项后,所得到的新的级数与原级,数的敛散性相同.,3.性质 3,证,级数仍然收敛,且其和不变.,对收敛的级数加括号后所得到的新,在级数运算中,不能随意加上或去掉括 号,因为这样做可能改变级数的敛散性.,4.性质 4,问 题,不一定,问 题,不一定,问 题,原级数也发散,