微积分基础参考资料.ppt

2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,1,微 积 分 基 础,使用教材：高等数学(经管类)上册,21世纪高职高专规划教材,主讲教师：王培康,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,2,第一章 函数的极限与连续,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,3,经济数学是以微积分作为核心内容。微积分是人类二千多年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础。,微积分的起源主要来自两方面的问题：一是物理学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度及已知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一些相当老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积等问题。这些在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿(Newton，英)和莱布尼兹(Leibniz，德)。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,4,牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们能够站在更高的角度，对于以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法微分和积分，并且确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的、也是最关键的一步，在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。,微积分是以变量与变量之间的关系(即函数)为研究对象，所用的主要工具是极限。,本章先对以前学过的有关函数的内容作些复习和小结，为以后各章的学习作些必要的准备。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,5,1.1 函 数,一、集合,把一定的并且彼此可以明确识别的事物（这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象）放在一起，称为一个集合。,乔治 康托,（德国数学家、集合论创始人）,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,6,两种常用的实数集合：区间与邻域,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,7,.,。,区间用不等式表示：,x,-1,1,0,区间用集合表示：,x,0,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,8,此区间称为点 a 的 邻域,称为点 a 的 去心邻域,称为邻域半径。,a 称为邻域中心,若此邻域中不包含点 a,即,记为,记为,。,。,x,a,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,9,二、绝对值,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,10,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,11,x-自变量,y-因变量,定义,D-定义域,三、函数的概念,-值域。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,12,例:,x,y,函数的图象:,由,定的平面点集.(一般为平面曲线),所确,o,x,y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,13,函数的定义域就是使得函数表达式有意义的,构成函数的基本要素：定义域及对应法则.,自变量的一切可能的取值组成的集合.,只要定义域及对应法则确定,则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,14,函数相等：,例1：判断下列函数是否为相等函数：,必须定义域及对应法则都相同。,(1),(常值函数),(2),(3),定义域不同,对应关系不同,三组函数均为不同函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,15,例2：求下列函数的定义域：,(2),(1),2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,16,函数的表示法:,公式法,图示法,表格法.,公式法中,当自变量在定义域内的不同范围取值,时用不同的式子所表示的函数,称为分段函数.,如：,1,2,又如:某商店对某商品的售价规定如下:购买量不超过5千克时,每千克0.8元,购买量大于5千克时,超出5千克的部分优惠价每千克0.6元.,若以 x 表示购买量,y 表示购买 x 千克的费用,则,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,17,解:,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,18,1.有界性,否则称无界。,设 f(x)的定义域为D,使对任一,则称 f(x)在 D 上有界,如：,=M,为 D 上的有界函数。,无界。,有界。,o,x,y,1,2,若存在正数 M,四、函数的几种特性,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,19,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,20,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,21,2.单调性,两者统称为严格单调函数,I 为严格单调区间。,设 f(x)的定义域为D,区间,对 I 上任二点 x1,x2,当 x1 x2 时,则称 f(x)在 I 上严格单调增加,则称 f(x)在 I 上严格单调减少,若都有,若都有,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,22,例：,则称 f(x)在 I 上单调增加;,同理可定义 f(x)在 I 上单调减少.,两者也统称为单调函数,I 为单调区间。,严格单调函数必然是单调函数;但反之不然.,o,x,y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,23,严格单调增加,严格单调减少,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,24,3.奇偶性,设 f(x)的定义域 D 关于原点对称,都有,则称 f(x)为偶函数；,都有,则称 f(x)为奇函数。,若对任一,若对任一,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,25,例1:判断下列函数的奇偶性,所以为偶函数;,所以为奇函数;,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,26,定义域关于原点不对称,所以为非奇非偶函数;,所以为非奇非偶函数.,例1:判断下列函数的奇偶性,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,27,偶函数的图形关于 y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,28,五、反函数与复合函数,1.反函数,一般地,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,29,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,30,2.复合函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,31,复合函数,简称复合函数,记作,其中 u 称为中间变量。,即 u=g(x)的值域 g(D)与 y=f(u)的定义域 D(f),的交集非空时,为复合函数。,设 y 是 u 的函数：y=f(u),而 u 又是 x 的函数：u=g(x),若 g(x)的值域全部或部分包含在 f(u)的定义域内,则 y 通过 u 成为 x 的函数：,它是由 y=f(u),u=g(x)复合而成。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,32,y=f(u),u=g(x),u=g(x)的值域 g(D)与 y=f(u)的定义域 D(f),的交集非空时,为复合函数。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,33,(1),例1.讨论下列函数的复合情况：,(2),(3),条件不满足，不能复合.,定义域,定义域,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,34,例2.把下列复合函数分解成简单函数：,(2),(3),(1),2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,35,例3.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,36,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,37,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,38,六、初等函数,熟练掌握它们的定义域、图象、性质等性态,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,常数函数,1.基本初等函数,(见教材第158页附录A),2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,39,有界函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,40,(2)幂函数,它们的图形:,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,41,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,42,它们的图形:,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,43,(3)指数函数,定义域为,由于，故值域为,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,44,本课程中常用的指数函数,如,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,45,(4)对数函数,定义域为,值域为,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,46,本课程中常用的对数函数,自然对数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,47,(5)三角函数,正弦函数,定义域为,值域为,周期为 的有界奇函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,48,余弦函数,定义域为,值域为,周期为 的有界偶函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,49,正切函数,定义域为:,周期为 的无界奇函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,50,余切函数,定义域为:,周期为 的无界奇函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,51,(6)反三角函数,反正弦函数,定义域为,值域为,有界奇函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,52,反余弦函数,定义域为,值域为,有界函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,53,反正切函数,定义域为,值域为,有界奇函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,54,反余切函数,定义域为,值域为,有界函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,55,2.初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限,如：,分段函数一般不是初等函数,但也有例外.,次复合运算而构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,56,我国魏晋时期的数学家刘徽用圆内接正,多边形来推算圆面积,即为割圆术。,圆内接正三角形面积 A1,圆内接正六边形面积 A2,圆内接正十二边形面积 A3,圆内接正 m 边形面积 An,刘徽发现圆面积正是 A1,A2,An,当 n 无限变大时的趋近值。,1.2 函数的极限,一、数列的极限,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,57,1.数列的定义,按照某一法则,依次排列着的无穷多个数:,称为无穷数列,简称数列,记作 xn.,其中每一个数称为数列的项,xn 称为一般项或通项.,也可看作自变量取正整数的函数:,xn=f(n),D:n=1,2,称为整变量函数.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,58,例：,1,2,3,n,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,59,2.数列的性质,(1)单调性,对数列 xn,若都有,则称为单调增加数列；,则称为单调减少数列。,两者统称单调数列。,单调增加数列,单调减少数列,不是单调数列,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,60,(2)有界性,对数列 xn,xn 满足,则称数列 xn 有界；,若这样的 M 不存在,则称数列 xn 无界。,有界数列,无界数列,若存在 M 0,使对一切,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,61,3.数列的极限,考察数列,.1,.0,.,.,.,.,.,.,.,.,当 n 无限增大时,xn 与 0(原点)的距离,无限变小,要多小就能多小!,数 0 称为数列,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,62,定义:,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,63,例：考察下列数列收敛与否;若收敛,求其极限.,1,2,3,n,发散,收敛,发散,收敛,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,64,4.收敛数列的性质,定理1.,若数列 xn 收敛,则其极限值唯一。,（数列极限的唯一性）,定理2.,若数列 xn 收敛,则数列 xn 有界。,（收敛数列的有界性）,注 意,此定理逆定理不成立,即,有界数列不一定收敛。,如：,xn=(1)n+1,发散,但,有界。,定理3.,单调有界数列必收敛。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,65,？,？,(1),(2),二、函数的极限,(1),(2),(1),(2),2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,66,考察函数,o,x,y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,67,定义,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,68,对反正切函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,69,指数函数,o,x,y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,70,正弦函数,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,71,重要的结论,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,72,0,x,y,-1,1,2,4,当 x 无限趋近 1 时,f(x)无限趋近于 4,即 x 与 1 的距离,无限缩小时,f(x)与 4 的距离,也无限缩小。,。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,73,定义,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,74,显然 f(x)在 x=x0 处有无定义与 f(x)当 xx0 时有无极限无关.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,75,左极限与右极限统称为单侧极限。,重要的结论,可以证明,还可证明,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,76,例：,解：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,77,例：,0,x,y,1,。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,78,三、函数极限的性质,1.唯一性,2.(局部)有界性,3.(局部)保号性,且 A 0,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,79,4.迫敛性,如果,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,80,1、无穷小,四、无穷小与无穷大,定义：,若函数 f(x)在自变量 x 的某个变化过程,中以零为极限,则称在该变化过程中,f(x)为,简称无穷小。,无穷小量。,如,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,81,说明：,(1),无穷小不是一个数(或一个很小的数),在自变量的某一变化过程中,以零为极限的,如：,(2),0 是无穷小中唯一的数。,(3),讲到无穷小一定要和自变量的变化过程联系,在一起。否则会发生错误。,而是,变量。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,82,推论1.有限个无穷小的乘积是无穷小.,无穷小的性质:,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,注意:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2.无穷小与有极限的变量的乘积是无穷小.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,83,例,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,84,无穷小与函数极限的关系,定理.,反之亦成立.,注：,实际上在,时上述结论也成立.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,85,无穷小的比较,x,x2,sin x 当 x 0 时都为无穷小,两个无穷小之比的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度的不同.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,86,定义：,高阶的无穷小；,同阶无穷小；,等价无穷小。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,87,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,88,定理.(等价无穷小代换定理）,同理,有,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,89,一些重要的等价无穷小：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,90,求下列函数的极限：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,91,2、无穷大,无穷大(量).,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,92,(2),在,如 f(x)为无穷大,则,是不存在的,但为了方便,起见,称其极限为无穷大,记为,(3),说明：,(1),无穷大不是一个数,也是一个变量,是表,示变量的一种越来越大的趋势.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,93,(4),当说 f(x)是无穷大时,必须同时指出自变,量 x 的变化过程.,例如,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,94,无穷大与无穷小的关系,定理2.,在自变量的同一变化过程中,若 f(x)为无穷大,若 f(x)不为零且为无穷小,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,95,1.3 极限的四则运算法则与两个重要极限,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,96,定理1,若 lim f(x)=A,lim g(x)=B 存在,则(1)lim f(x)g(x),=lim f(x)lim g(x)=A B.,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB.,(C:常数),一、极限的四则运算法则,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,97,例1.,解,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,98,一般地,设多项式,同理,设有理分式函数,P(x),Q(x)均为多项式,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,99,例2.,当 Q(x0)=0 时,则需具体问题具体讨论.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,100,例3.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,101,例4.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,102,用此性质可证明两个重要极限之一,2、两个重要极限,函数极限的迫敛性,如果,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,103,重要极限(1),证,作单位圆如图,AOD=x,x,显然：,O,A,B,C,D,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,104,重要极限(1),x,O,A,B,C,D,证毕,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,105,重要极限（1）,注意：,2.重要极限(1)的一般形式,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,106,求下列极限：,=1.,=5.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,107,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,108,数列极限的性质,单调有界数列必有极限.,用此性质可以证明如下的重要极限：,重要极限(2),更一般的,有如下的重要极限 2：,几种变形：,1.,2.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,109,求下列极限：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,110,1.4 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,增量概念：,设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2,则 u2u1 叫做变量 u 的增量.记作 u.,即 u=u2u1,注意：增量 u 可正可负也可为零。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,111,设 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果当自变量 x 在 x0 处获得增量 x 变为,f(x0+x),则对应的函数值从 f(x0)变为,x0+x 时,称 f(x0+x)f(x0)为相应的,即 y=f(x0+x)f(x0).,函数的增量,记为 y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,112,设 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义,定义,如果当自变量 x 在 x0 的增量 x 趋于零时,对应的函数的增量 y=f(x0+x)f(x0),也趋于零,那么就称 y=f(x)在 x0 点连续.,点 x0 称为 y=f(x)连续点.,即若,则 y=f(x)在 x0 点连续.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,113,连续的等价定义,如果 y=f(x)满足,(1)在点 x0 的某个邻域内有定义,则 y=f(x)在 x0 点连续.,函数在一点连续的三要素,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,114,称 f(x)在点 x0 处左连续;,称 f(x)在点 x0 处右连续。,重要结论：,f(x)在 x0 点连续的充要条件是 f(x)在 x0 点,既是左连续又是右连续的.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,115,如 f(x)在(a,b)内每一点都连续,则称 f(x)为(a,b)内的连续函数,或称 f(x)在(a,b)内连续.,如 f(x)在(a,b)内连续,且在 a 点右连续,在 b 点左连续,则称 f(x)为a,b上的连续函数,或称f(x)在a,b上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续的.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,116,哥尼斯堡七桥问题,普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地灵，市民普遍爱好数学。1736年，该市一位市民向大数学家欧拉提出如下问题：从家里出发，七座桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,117,例1：,在 x=0 处,均为连续函数；,=f(0),证,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,118,讨论 在 x=1 处的,例2:,解,=f(1),所以 f(x)在 x=1 处不是右连续,而只在 x=1 处左连续。,。,使函数不连续的点称为间断点。,左右连续性。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,119,解,而,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,120,二、初等函数的连续性,定理2：,设 f(x),g(x)在点 x0 处连续，则,(1)f(x)g(x)在点 x0 处也连续；,(2)f(x)g(x)在点 x0 处也连续；,在点 x0 处也连续。,定理1：,基本初等函数在其定义域内是连续的。,定理3：,连续函数的复合函数是连续的。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,121,例：,解：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,122,初等函数在其定义区间内都是连续的。,定义区间：,指包含在定义域内的区间。,1.,初等函数在其定义区间内任何一点的极限值,2.,初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。,就是函数在该点的函数值。,定理4：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,123,例：,解,所以连续区间为：,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,124,三、函数的间断点及其分类,设 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义,(1)f(x)在点 x0 没有定义;,(2)f(x)在点 x0 有定义,但,(3)f(x)在点 x0 有定义,且,则称 f(x)在 x0 处不连续。,在此前提下,如 f(x)有下列三种情形之一：,而点 x0 称为 f(x)的不连续点或间断点。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,125,例1.,所以 x=0 为间断点。,=1,若令 f(0)=1,则,x=0 为 f(x)的连续点。,例2.,所以 x=0 为间断点。,若令 f(0)=1,则,x=0 为 f(x)的连续点。,上述两例中的间断点称为可去间断点。,因为 f(x)在 x=0 处无定义,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,126,例3.,所以 x=0 是其间断点。,由于间断点处左、右极限存在,则称间断点 x=0 为跳跃间断点。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,127,例4.,f(x)在 x=0 处无定义,间断点：x=0.,考察极限,则称间断点 x=0 为无穷间断点。,x,y,0,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,128,例5.,间断点：x=0.,不存在,且在 x=0 附近来回振荡,则称间断点 x=0 为振荡间断点。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,129,由以上的讨论,可将间断点分为两类:,1.,则称 x0 为第一类间断点；,2.,不是第一类间断点的称为第二类间断点。,如：可去、跳跃间断点。,如：无穷、振荡间断点。,设 x0 是 f(x)的间断点,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,130,解,间断点：x=1,x=2,所以 x=1 是第一类可去间断点,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,131,解,间断点：x=1,x=2,所以 x=2 是第二类间断点.,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,132,设 f(x)在区间 I 上有定义,最大值和最小值的概念,则称,是函数 f(x)在区间 I 上的最大值,(最小值)。,四、闭区间上连续函数的性质,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,133,（最大值最小值定理）,定理1：,在闭区间上连续的函数在该区间上至少能取到最大值和最小值各一次。,即:若 f(x)在 a,b 上连续,则必至少存在两点,m=,=M,(最小值),(最大值),a,b,x,y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,134,说明：,闭区间,连续函数,缺一不可。,若不是闭区间,如：y=x 在(0,1)内连续,0,1,。,。,无最小值,无最大值,若 f(x)不连续,如：,1,1,2,。,。,.,也无最大、最小值。,定理中两条件：,x,y,x,y,0,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,135,定理2：,(零点定理),且 f(a)与 f(b)异号,(即 f(a)f(b)0),则至少存在一点,设 f(x)在 a,b 上连续,a,b,f(a),f(b),结论又可表示为：,方程 f(x)=0 在(a,b)内至少有一个实根。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,136,定理3(介值定理),证,则其在 a,b 上连续,因为 C 在 A、B之间,所以(a)(b)0,由零点定理,至少存在一点,设 f(x)在 a,b 上连续,且 f(a)=A,f(b)=B,AB,则对于A、B 之间的任一数 C,至少存在,一点,使得,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,137,a,b,A,B,C.,推论：,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。,x,y,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,138,例:,证明方程,证,由零点定理,至少存在一点,得证。,2023年10月13日,上海交通大学继续教育学院,139,任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,趣味题,一刀剪为面积相等的两片.(沿直线剪),提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知,