微积分下总结.ppt

使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,分离变量方程的解法:,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当 F(x)=f(x)0,时,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),说明由确定,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,(h,k 为待,二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出 h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,则,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,特征方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,特征方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为 m 次多项式.,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q(x)为 m 次待定系数多项式,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,内容小结,为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,P61 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P129 题 3;*4,思考与练习,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,*(4)f(P)必在D 上一致连续.,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,当函数可微时:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,定义,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,方向:f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,梯度的特点,内容小结,1.函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,8.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,内容小结,(1)二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,三重积分计算：方法1.投影法(“先一后二”),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法2.截面法(“先二后一”),为底,d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,投影法,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,小结:三重积分的计算方法,方法1.“先一后二”,方法2.“先二后一”,方法3.“三次积分”,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,*说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,一、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,定理1,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,其方向用法向量指向,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,令,向量形式,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,2.*通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G 内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,