高等数学之多元函数积分学.ppt

第六节,一、格林公式,二、平面曲线积分与路径无关的条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式、平面曲线积分与 路径无关的条件,第九章,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,1.单连通域与复连通域,定理1,2、格林公式,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.,例1.,计算,解:令,故,L 为以,和 为边的三角形的正向闭曲线.,例2.计算,其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,(注意格林公式的条件),计算平面面积,例如,椭圆,所围面积,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,1、曲线积分与路径无关的定义,二、平面曲线积分与路径无关的条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例4.计算,其中,解:由于,因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知,为圆周 在第一,象限内的弧段.,因为在 上，,因为在 上，,例5.计算,其中L 为上半,从 O(0,0)到 A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D,则,例6.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,作业P156：2；3；5（1）.,