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线性变换,第七章 线性变换,线性变换,1 线性变换的定义,1 线性变换的定义,一、线性变换的定义,定义1 设V与W是数域P上的线性空间，A 是V到W的一个映射，,如果下列两个条件满足，则称 A 是V到W的一个线性映射：,特别：当W=V时，A 称为线性空间V的一个线性变换。,(1),(2),线性变换,1 线性变换的定义,例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。,(1)在线性空间V中，A x=x+a，a为V中一固定向量；,(2)在线性空间V中，A x=a，a为V中一固定向量；,(3)在P x中，A f(x)=f(x+1)；,(4)在P x中，A f(x)=f(x0)，x0为P中一固定数；,例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。,(1),(2),(3),(4),线性变换,1 线性变换的定义,二、线性变换的性质,性质1 设 A 是V的线性变换，则,性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。,性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。,注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。,性变换。证明：,线性变换,2 线性变换的运算,2 线性变换的运算,一、线性变换的加法和数量乘法,定义1 设A，BL(V)，对A 与B 的和 A+B 定义为：,结论1 对A，B L(V)，有 A+B L(V)。,线性变换的加法满足以下运算规律：,(1)A+(B+C)=(A+B)+C,(2)A+B=B+A,线性变换,2 线性变换的运算,定义2 设 AL(V)，kP，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：,结论2 对A L(V)，kP 有 kAL(V)。,线性变换的数量乘法满足以下运算规律：,(1)(kl)A=k(lA),(2)(k+l)A=kA+lA,(3)k(A+B)=kA+kB,(4)1A=A,结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和,数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。,线性变换,2 线性变换的运算,定义3 设 A,BL(V)，对A 与 B 的乘积 AB 定义为：,结论4 对A,B L(V)，有 AB L(V)。,线性变换的乘法满足以下运算规律：,(1)A(B+C)=AB+AC,(2)(B+C)A=BA+CA,(3)A(BC)=(A B)C,(4)k(AB)=(kA)B=A(kB),注意：线性变换的乘积不满足交换律。,例1 在R 2中，设A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，则A,B是R2中的,线性变换，求A+B，AB，BA，3A-2B。,二、线性变换乘法,线性变换,2 线性变换的运算,三、可逆的线性变换,定义4 设 AL(V)，若存在BL(V)，使得 AB=BA=E，则称,A 是可逆的，且B 是 A 的逆变换，记为：B=A-1。,结论5 若AL(V)，且 A 是可逆的，则A-1唯一，且 A-1L(V)。,简单性质：,(1)(A-1)-1=A,(2)(AB)-1=B-1A-1,例3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空,线性变换,2 线性变换的运算,四、线性变换的多项式,线性变换的幂 设 AL(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，,线性变换，记为:An。,若A是可逆的，定义A-n=(A-1)n。对任意的AL(V)，定义A0=E。,根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：,若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。,注意：由于线性变换的乘法不满足交换律，故(AB)n AnBn。,因此对任意取定的正整数n，n个A 的乘积AAA是一个确定的,线性变换,2 线性变换的运算,定义5 设,则对AL(V)，,称为线性变换 A 的多项式。,结论6 设f(x),g(x)Px,A L(V),若h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)，,则h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(A)。特别地,f(A)g(A)=g(A)f(A)，,即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。,例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换,A3=2E,B=A2-2A+2E，,证明：A，B都是可逆变换。,线性变换,3 线性变换的矩阵,3 线性变换的矩阵,在这组基下的作用完全相同，即,则有A=B。,存在唯一的线性变换 AL(V)使得,一定存在一个线性变换 AL(V)使得,任何元素都可以是基的像，只要选取适当的线性变换,一个线性变换完全被它的一组基上的作用所决定,线性变换,3 线性变换的矩阵,V中的一个线性变换，则,用矩阵表示为：,其中矩阵,注意与过渡矩阵的异同,线性变换,3 线性变换的矩阵,例1 在P3中，设线性变换 A 为：,例2 六个函数：,的所有实系数线性组合构成实数域上的一个六维线性空间，,例3 在P22中定义线性变换,线性变换,3 线性变换的矩阵,A,BL(V),且 A,B 在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该,(1)A+B 的矩阵是 A+B；,(2)AB 的矩阵是 AB；,(3)kA 的矩阵是 kA；,(4)若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。,例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P nn同构。,例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明：,A2VA1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A。,组基下：,A可逆的充要条件是它在一组基下的矩阵A可逆,线性变换,3 线性变换的矩阵,给定线性变换下，像与原像的坐标关系：,像的坐标,原像坐标,线性变换的矩阵,注意与坐标变换公式的区别,线性变换,3 线性变换的矩阵,的过渡矩阵为X，于是,定义2 设A，B为数域P上的两个n阶矩阵，如果可以找到数域P,上的n阶可逆矩阵X使得B=X-1AX，则称A相似于B，记为 AB。,线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：,B=X-1AX。,线性变换,3 线性变换的矩阵,(1)反身性：A A；,矩阵相似的运算性质：,(1)如果B1=X-1A1X，B2=X-1A2X，则 A1+A2B1+B2，A1A2B1B2。,相似是同阶矩阵之间的一种关系，具有如下三个性质：,(2)对称性：如果 A B，则有 A B；,(3)传递性：如果 A B，且 B C，则有 A C；,相似是同阶矩阵之间的等价关系,(2)如果 AB，且 f(x)是数域P上的多项式，那么 f(A)f(B)。,线性变换,3 线性变换的矩阵,由定理4知，线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如,果两个矩阵相似，则它们可以看作同一线性变换在不同基下,的矩阵。,为 A，且,A,A,A,B,B=X 1AX.,矩阵的相似性是由线性变换所决定的,线性变换,3 线性变换的矩阵,线性变换,4 特征值与特征向量,4 特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的定义,定义1 设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于,注意：,(1)属于同一特征值的特征向量不是唯一的；,(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征,(3)特征值是由特征向量唯一确定的。,值的特征向量；,线性变换,4 特征值与特征向量,二、求特征值与特征向量的方法,的行列式,式。,线性变换,4 特征值与特征向量,步骤：,这就是A在数域P中的所有特征值。,的基础解系，这就是关于该特征值的几个线性无关的特征,的矩阵A；,是所有属于该特征值的特征向量。,线性变换,4 特征值与特征向量,注意：,矩阵A的特征多项式的根也称为矩阵A的特征值，而相应的齐,值的特征向量。,线性变换,4 特征值与特征向量,求 A 的特征值与特征向量。,例2 在线性空间Pxn中，定义线性变换,求微商变换的特征值与特征向量。,(3)若A2=E，证明：A的特征值为-1和1。,线性变换,4 特征值与特征向量,上式中的不等式是否严格成立？,特征值，,征值，证明：,特征值的代数重数,特征值的几何重数,线性变换,4 特征值与特征向量,三、特征多项式的性质,设A=(aij)nn是数域P上的n阶矩阵，其特征多项式可展开为：,由根与系数的关系知：,线性变换,4 特征值与特征向量,例5 设n阶方阵A=(aij)nn的特征多项式为：,证明：系数bk为A的一切k阶主子式的和乘以(-1)k，即,例6 求n阶方阵,的特征值。,线性变换,4 特征值与特征向量,定理1 相似的矩阵具有相同的特征多项式。,注意：具有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,定理2(Hamilton-Caylay定理)设A是数域P上的n阶矩阵，,是矩阵A的特征多项式，则,多项式，那么,线性变换,4 特征值与特征向量,例7 设,证明：当n 3时有An=An-2+A2-E，并求A100。,例8 设 A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：,(1)在Px中有一个次数n2的多项式f(x)，使得f(A)=0；,(2)若 f(A)=0，g(A)=0，则d(A)=0，其中d(x)是f(x)和g(x),(3)A可逆的充要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)使,的最大公因式；,得f(A)=0；,线性变换,5 对角矩阵,5 对角矩阵,一、线性变换可对角化的条件,定义1 设 A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，如果V,中存在一组基，使得它在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称,该线性变换 A 是可对角化的。,定义1 设A是数域P的一个n阶矩阵，若A与数域P上的一个对角,矩阵相似，即存在可逆矩阵T，使得T-1AT 为对角矩阵，则称,矩阵A在数域P上可对角化。,线性变换,5 对角矩阵,定理1 设 A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，则 A,可对角化的充要条件是 A 有n个线性无关的特征向量。,定理1 数域P上n阶矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有n个,线性无关的特征向量。,判断特征向量线性无关的一些充分条件。,定理2 属于不同特征值的特征向量必定线性无关。,推论1 n维线性空间V中的线性变换 A 有n个不同的特征值，则,A 是可对角化的。,推论2 在复数域C上的线性空间中，如果线性变换 A 的特征多,项式没有重根，那么 A 是可对角化的。,线性变换,5 对角矩阵,例1 判断复数域C上的矩阵,可否对角化？,线性变换,5 对角矩阵,线性无关。,定理4 设V是n维线性空间，线性变换 A 的全部特征值为,i=1，2，s，则向量组,于是 A 可对角化的充要条件是 A 的特征子空间,的维数之和等于线性空间V的维数n。,线性变换,5 对角矩阵,例2 设A是一个n阶下三角矩阵，证明：,1)若A的对角元素各不相同，则A与一个对角矩阵相似。,2)若A的对角元素均为a，而且至少有一个aij0(ij)，则A不,例3 设A是一个复数域上的n阶方阵，证明：,1)存在n阶可逆矩阵Q，使得,2)复数域上任意一个n阶方阵都相似于一个上三角矩阵。,可对角化。,线性变换,5 对角矩阵,二、矩阵对角化的方法,n阶矩阵A对角化的方法步骤：,1)求出A的全部特征值；,4)将线性无关的解向量为列作成一个n阶矩阵Q，则Q-1AQ为,对角矩阵，其对角线上的元素就是相应的特征值。,解系；,线性变换,5 对角矩阵,例4 设矩阵,已知A有3个线性无关的特征向量，2是A的一个二重特征值，,试求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。,例5 设,求 An(n为自然数)。,线性变换,6 线性变换的值域与核,6 线性变换的值域与核,一、值域与核的概念,定义1 设 A 是数域P上线性空间V的一个线性变换，V中全体,向量在 A 下的全体像组成的集合称为 A 的值域，记为 AV 或,V中所有被 A 变成零向量的原像组成的集合称为 A 的核，记,为 A-1(0)或 Ker A，即,AV 的维数称为A 的秩，A-1(0)的维数称为 A 的零度。,定理1 设 AV 与 A-1(0)都是V的子空间。,Im A，即,线性变换,6 线性变换的值域与核,二、值域与核的性质,的一组基，A 在这组基下的矩阵为A，则,2)A 的秩=A的秩,定理3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，则 AV的一组基,的原像与A-1(0)的一组基合起来就是V的一组基，由此有,A 的秩+A 的零度=n,注意：不一定有 AV+A-1(0)=V,推论：有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是,1),它也是满射。,线性变换,6 线性变换的值域与核,例1 证明：,是线性空间 V=P n 的一个线性变换，而且 An=0，求 A 的值,例2 设 A 是一个n阶矩阵，A2=A，证明 A 相似于一个对角矩阵,域和核的维数。,幂等矩阵,线性变换,6 线性变换的值域与核,例3 设V1，V2是n维线性空间V的任意两个子空间，维数之和,为n，证明：存在线性变换 A，使得 AV=V1，A-1(0)=V2。,间，证明：存在唯一的幂等变换 A 使得 AV=V1，A-1(0)=V2。,例5 设 A 是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，,例6 设 A，B 是n维线性空间V的两个线性变换，证明：,证明：,线性变换,7 不变子空间,7 不变子空间,一、不变子空间的概念,定义1 设 A 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，,如果W中的向量在 A 中的像仍在W 中，即,则称W是 A 的不变子空间，简称为 A 子空间。,例1 线性空间 V 和零空间0是V上任意线性变换的不变子空间。,平凡不变子空间,例2 线性变换 A 的值域 AV 和核 A-1(0)都是 A 的不变子空间。,例3 线性变换 A 的特征子空间是 A 的不变子空间。,例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。,线性变换,7 不变子空间,二、不变子空间的性质,性质1 设 A，B 都是线性空间V的线性变换，若 AB=BA，则ImB,和 KerB 都是 A 的不变子空间。,性质2 设W1，W2 都是 A 的不变子空间，则子空间 W1+W2 和,W1W2 也是 A 的不变子空间。,例5 设 A 是有限维线性空间V的可逆线性变换，设W是V中 A,的不变子空间，则W也是线性变换 A-1的不变子空间。,线性变换,7 不变子空间,例6 在 R4 中，线性变换 A 在基 e1，e2，e3，e4下的矩阵为,证明由向量e1+2e2和e2+e3+2e4生成的子空间是 A 的不变子空间。,线性变换,7 不变子空间,三、不变子空间与矩阵的简化,设 A 是有限维线性空间V的线性变换，设W是V中 A 的不变子,空间，由于W中所有的向量在 A 下的像仍在W中，因此，我们,可以只在W中考虑 A 的作用，即把 A 看作是W上的一个线性变,换，这称为 A 在不变子空间 W上引起(诱导)的变换，或称为 A,定理1 设 A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，W 是 A,的一个非平凡不变子空间，则 A 在 V 的某组基下的矩阵是,其中 A1 是 A|W 在某组基下的矩阵。,在 W 上的限制，记作 A|W。,线性变换,7 不变子空间,例7 设V是数域P上的n维线性空间，A 是V上的线性变换，A,其中,设,(1)证明:V1是 A 的不变子空间。,(2)证明:V2是 A 的不变子空间的条件是什么？,线性变换,7 不变子空间,定理2 设 A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，如果 A,有k个非平凡不变子空间W1，W2，,Wk，则,的充要条件是在V中存在一组基，使得 A 在这组基下的矩阵为,其中 Ai(i=1,2,k)是 A|Wi 在 Wi 的某组基下的矩阵。,定理2表明矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的。,线性变换,7 不变子空间,则 V 可分解成不变子空间的直和,其中,式的乘积,线性变换,8 若当标准形介绍,8 若当标准形介绍,定义1 形式为,阶数。,线性变换,8 若当标准形介绍,由多个若当块组成的准对角矩阵称为若当矩阵，其一般形式为,其中,线性变换,8 若当标准形介绍,例如：,都是若当块，也是若当矩阵。,是由三个若当块组成的若当矩阵。,线性变换,8 若当标准形介绍,定理1 设 A 是复数域C上n维线性空间V的一个线性变换，在V,且这个若当形矩阵除去若当块的排列次序外，是由 A 唯一确,定的，因此这个矩阵称为 A 的若当标准形。,用矩阵语言叙述为：,定理2 每个n阶复矩阵A都与一个若当标准形相似，这个若当标,这个矩阵称为矩阵A的若当标准形。,中必存在一组基，使得 A 在这组基下的矩阵是若当形矩阵，,准形除去若当块的排列次序外，是由矩阵A唯一确定的，因此,线性变换,9 最小多项式,9 最小多项式,一、最小多项式的定义,定义1 设f(x)P x，AP nn，若f(A)=0，则称f(x)以A为根。,最小多项式。,注：矩阵A的最小多项式一定存在。,例1 求数量矩阵kE的最小多项式。,以A为根的多项式中次数最低且首项系数为1的多项式称为A的,线性变换,9 最小多项式,二、最小多项式的性质,性质1 矩阵A的最小多项式是唯一的。,性质2 设g(x)为矩阵A的最小多项式，则f(x)以A为根的充要条,件是g(x)整除 f(x)。,推论:矩阵A的最小多项式必定是A的特征多项式的一个因式。,例2 求矩阵,的最小多项式。,线性变换,9 最小多项式,性质3 相似矩阵有相同的最小多项式。,注意:具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。,性质4 k 阶若当块,的最小多项式为,线性变换,9 最小多项式,三、最小多项式与矩阵的对角化,定理1 设矩阵A是一个准对角矩阵,设A1，A2的最小多项式分别为g1(x)，g2(x)，则A的最小多项式,为g1(x)，g2(x)的最小公倍式g1(x)，g2(x)。,这个定理可以推广到一般的情形。,线性变换,9 最小多项式,当,且Ai的最小多项式为gi(x)，i=1，2，s，则A的最小多项式,为 g(x)=g1(x)，g2(x)，gs(x)。,特别地，若多项式gi(x)，i=1，2，s两两互素，则A的最小,多项式为 g(x)=g1(x)g2(x)gs(x)。,线性变换,9 最小多项式,定理2 数域P上n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的最,推论 复数域C上n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的最,小多项式是数域 P 上互素的一次因式的乘积。,小多项式没有重根。,