《微分几何》课程教学大纲.docx

微分几何课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何DifferentialGeometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1. 了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、72 .掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求3、43 .掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。对曲面的几何有一定的认识，具有一定的计算能力和分析问题、解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点课程目标13 .学科素养4 .教学能力7.学会反思3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。课程目标23 .学科素养4 .教学能力3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。课程目标33 .学科素养4 .教学能力3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、7.学会反思合理的认识。3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。43【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排第一章曲线论课堂讲授、翻转课堂课程目标1、218第二章曲而论课堂讲授、翻转课堂课程目标1、327合计45学时（二）具体内容第一章曲线论（18学时）【教学目标与要求】1、教学目标：1）引入向量函数的定义，并使学生掌握向量分析的有关概念，为曲线论和曲面论的展开打下基础。2）引入参数曲线，切向量，切线，正则参数曲线，参数变换的有关概念，使学生掌握正则曲线能选取弧长作为参数，体会参数是弧长参数的便利。3）具体了解刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量，以及找出决定空间曲线在一点邻近形状的的条件。4）使学生了解相关的数学史和应用价值，激发学生的求知欲和探索精神，提高学生的专业素养。2、教学要求：1）正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。理解向量函数、向量函数的极限、连续、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。2）理解曲线、光滑曲线、曲线的正则点、切线和法平面、弧长、自然参数的概念，熟练掌握曲线的切线和法平面、曲线的弧长、曲线的自然参数的运算。3）正确理解空间曲线的密切平面、基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的概念，熟练掌握空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲率、挠率的运算，熟记伏雷内公式并能灵活运用。了解空间曲线在一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。了解一般螺线的概念和运算。【教学重点与难点】1、教学重点：1）向量函数的运算。2）曲线的切线、法平面、弧长的计算。3）空间曲线的基本三棱形、曲率、挠率的计算，伏雷内（Frenet）公式及其应用。2、教学难点：D向量函数的运算与相应数学分析内容的区别与联系。2）曲线的参数方程，自然参数概念的理解。3）曲线的局部结构及曲线论的基本定理。【教学内容】1.1 向量函数1. 1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.L3向量函数的微商4向量函数的泰勒（Taylor）公式1.L5向量函数的积分1.1. 线的概念1.2. 1曲线的概念1.3. 2光滑曲线曲线的正常点1.4. 3曲线的切线和法面1.2.4曲线的弧长自然参数1.5. 间曲线1.6. I空间曲线的密切平面2空间曲线的基本三棱形1.3.3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式1.3.4空间曲线在一点邻近的结构1.3.5空间曲线论的基本定理1. 3.6一般螺线【思政元素融入点】结合几何学发展史教育学生要有探索精神和科学态度，使学生更好地体会数学思想方法的产生过程。通过介绍相关数学家的背景材料，提高学生的数学专业素养，使学生树立正确的数学价值观。第二章曲面论（27学时）【教学目标与要求】1、教学目标：1）理解正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。2）理解曲面各种不同的描述形式，充分体会曲面的第一基本形式是刻画曲面的内蕴性质的。3）使学生具体理解第二基本形式的在研究曲面在空间中的弯曲性时所发挥的作用。4） 了解曲面论的基本定理，理解测地线在曲面研究中的重要意义。5）使学生了解相关内容的发展背景，增加专业素养，培养学生的探索精神以及分析问题和解决问题的能力。2、教学要求：I）理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。2）理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题。3）理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。4）理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。5） 了解决定曲面的几个要素及曲面论的基本定理。6）理解测地线的概念及其短程性，了解半测地坐标网及高斯-波涅公式，了解曲面上向量的平行移动的概念。【教学重点与难点】1、教学重点：1）曲面的切平面和法线的计算。2）简单曲面第一基本形式及相关量的计算。3）曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。4）曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐近（线）方向、共加方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义与计算。5）直纹面和可展曲面的基本特征。6）曲面上的测地曲率，测地线的概念及性质。2、教学难点：1）简单曲面第一基本形式及相关量的计算。2）曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义与计算。3）直纹面和可展曲面的基本特征。4）曲面论的基本定理。5）测地线的概念及应用。【教学内容】2. 1曲面的概念2.1 .1简单曲面及其参数表示2.2 .2光滑曲面曲面的切平面和法线2.L3曲面上的曲线族和曲线网2.2曲面的第一基本形式2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长2.2.2曲面上两方向的交角2.2.3正交曲线族和正交轨线2.2.4曲面域的面积2.2.5等距变换2.2.6保角变换2.3曲面的第二基本形式2.3.1曲面的第二基本形式2.3.2曲面上曲线的曲率2.3.3杜邦（DUPin）指标线2.3.4曲面的渐近方向和共扼方向2.3.5曲面的主方向和曲率线2.3.6曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率2.3.7曲面在一点邻近的结构2.3.8高斯曲率的几何意义2.4直纹面和可展曲面2.4.1直纹面2.4.2可展曲面2.5曲面论的基本定理2.6曲面上的测地线2.6.1曲面上曲线的测地曲率2.6.2曲面上的测地线2.6.3曲面上的半测地坐标网2.6.4曲面上测地线的短程性2.6.5高斯-波涅公式2.6.6曲面上向量的平行移动（选讲）【思政元素融入点】了解几何学发展史，特别是曲面研究的历史。要充分认识到高斯发现内蕴几何的重要意义，教育学生要有探索精神和科学态度，使学生更好地体会数学思想方法的产生过程。通过介绍相关背景材料，提高学生的数学专业素养。四、教学方法本课程的教学主要采用课堂讲授与讨论、作业、辅导答疑等方式进行，并在教学过程中注重多媒体等现代教育技术手段的开发和使用，有效调动学生的学习积极性，促进学生积极思考，激发学生潜能。通过课后作业与习题讲解，增加学生对所学内容的理解，提高计算能力。五、实践教学安排选取章节习题安排学生进行讲解，加强知识理解和教学基本功；部分知识点采用翻转课堂授课。六、课程考核本课程考核采用平时考核与期末考试两部分进行，平时考核占40%（包括三项：课后作业、课堂考勤、课堂表现），期末考试成绩占60%o期末考核采用笔试方式进行，任课老师命题，流水阅卷。七、课程评价（一）课程目标评价标准课程目标评价标准90Too分80-89分70-79分60-69分0-59分优良中及格不及格课程目标1L很好地了解现代几何学的发展历史和背景。2 .很好地理解从欧氏空间到一般几何对象的思想，以及与中学几何课程的联系；3 .具有很好的分析问题和解决问题的能力。1 .较好地了解现代几何学的发展历史和背景。2 .较好地理解从欧氏空间到一般几何对象的思想，以及与中学几何课程的联系；3 .具有较好的分析问题和解决问题的能力。L对现代几何学的发展历史和背景有一定的了解。2 .能够理解从欧氏空间到一般几何对象的思想，以及与中学几何课程的联系；3 .具有一定的分析问题和解决问题的能力。1 .基本了解现代几何学的发展历史和背景。2 .基本理解从欧氏空间到一般几何对象的思想，以及与中学几何课程的联系；3 .基本具备分析问题和解决问题的能力。1 .不完全了解现代几何学的发展历史和背景。2 .不完全理解从欧氏空间到一般几何对象的思想，以及与中学几何课程的联系；3 .不完全具备分析问题和解决问题的能力。课程目标21.很好地掌握向量函数概念和曲线的参数表示方法；L较好地掌握向量函数概念和曲线的参数表示方法；1.能够掌握向量函数概念和曲线的参数表示方法；1.基本掌握向量函数概念和曲线的参数表示方法；1.不完全掌握向量函数概念和曲线的参数表示方法；2.很好地掌握2.较好地掌握2.能够掌握空2.基本掌握空2.不完全掌握空间曲线的相空间曲线的相间曲线的相关间曲线的相关空间曲线的相关概念及基本关概念及基本概念及基本理概念及基本理关概念及基本理论；理论；论；论；理论；3.具备很好的3.具备较好的3.具备一定的3.基本具备相3.不完全具备计算能力以及计算能力以及计算能力以及应的计算能力相应的计算能解决曲线相关解决曲线相关解决曲线相关以及解决曲线力以及解决曲问题的能力。问题的能力。问题的能力。相关问题的能线相关问题的力a能力。1.很好地理解1.较好地理解1.能够理解和1.基本理解和1.不完全理解和掌握曲面的和掌握曲面的掌握曲面的参掌握曲面的参和掌握曲面的参数表示方法；参数表示方数表示方法；数表示方法；参数表示方2.很好地理解法；2.能够理解和2.基本理解和法；和掌握曲面论2.较好地理解掌握曲面论中掌握曲面论中2.不完全理解中的相关概念；和掌握曲面论的相关概念；的相关概念；和掌握曲面论课程目标33.具备很好的计算能力，以及的相关概念；3.具备一定的计算能力，以3.基本具备相应的计算能中的相关概念；分析和解决曲3.具备较好的及分析和解决力，以及分析3.不完全具备面论中问题的计算能力，以曲面论中问题和解决曲面论相应的计算能能力。及分析和解决的能力。中问题的能力，以及分析曲面论中问题力。和解决曲面论的能力。中问题的能力。（二）课程目标评价方法课程评价主要是本门课程的课程目标达成度评价。课程目标达成度评价主要采用定性评价与定量评价相结合的方法，具体包括：课程调查问卷、平时成绩和期末考试成绩。相应课程目标评价方式见表3。表3课程目标评价方式课程目标调查问卷平时成绩期末考试成绩课程目标1课程目标2课程目标31 .定性评价定性评价采用调查问卷的方式来实现。调查问卷根据本门课程目标制作，主要反映被调查者（教师本人和学生）对课程目标达成的满意度，根据被调查者的满意程度赋分。表4教师、学生对课程目标达成情况评价课程目标教师评价50%学生评价50%课程目标达成评价方法课程目标1TlSl课程分目标Ai达成度=0.5XTi+0.5×Si,（i=l,2,3）;课程目标整体达成度=minAi课程目标2T2S2课程目标3T3S32 .定量评价定量评价包括平时成绩和期末考试。平时成绩包括考勤、作业、课堂表现，任课教师根据具体情况赋分；期末考试成绩根据学生得分赋分，最终按照表5所列分值为百分比权重进行转换。表5课程考核成绩对课程目标达成情况评价课程目标平时成绩40%期末考试成绩60%课程目标达成评价方法课程目标14020课程分目标达成度Bi=O.4×（分目标平时成绩平均分/分目标平时成绩总分）÷0.6×（分目标期末考试成绩平均分/分目标期末考试成绩总分）（i=l,2,3）;期末考试各分目标平均分、总分按试卷详情核算；课程目标整体达成度=IninBi。课程目标23040课程目标330403 .综合评价课程目标达成情况综合评价按照定性和定量所占权重进行综合计算，具体如表6所示。表6课程目标达成情况评价课程目标调查问卷20%课程考核成绩80%课程目标达成评价方法课程目标IAlBl课程分目标达成度=0.2XAi+0.8XBi课程目标整体达成度二课程分目标达成度的最小值。课程目标2A2B2课程目标3A3B3八、课程资源（*）建议选用教材微分几何（第五版）（二）主要参考书目微分几何