材料力学第八章组合变形.ppt

材料力学,中南大学土木工程学院,1,第八章 组合变形及连接件的计算,8.1 概 述,材料力学,中南大学土木工程学院,2,当几种变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。,事实上，简单变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。,材料力学,中南大学土木工程学院,3,压+弯,一、组合变形,同时发生两种或两种以上的简单变形。,材料力学,中南大学土木工程学院,4,立柱内力：轴力，弯矩。拉伸+弯曲,材料力学,中南大学土木工程学院,5,拉伸+扭转,材料力学,中南大学土木工程学院,6,弯+弯+扭,计算简图,材料力学,中南大学土木工程学院,7,拉+弯+弯+扭,材料力学,中南大学土木工程学院,8,组合变形的形式有多种，本章只学习四种典型形式。1、斜弯曲；2、弯扭组合；3、拉（压）弯组合；4、偏心拉压。应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会计算一般组合变形强度的原理和方法。,材料力学,中南大学土木工程学院,9,二、组合变形强度计算方法,方 法：叠加法前提条件：1、材料服从虎克定律；2、小变形。基本步骤：1、分解：目标几种简单变形；2、内力和应力计算:内力计算（画内力图 确定危险截面）应力计算 确定危险点 3、叠加：危险点应力叠加；4、强度计算：选择适当的强度理论。,材料力学,中南大学土木工程学院,10,三、连接件,铆钉、键、螺栓、销钉等起到连接作用的构件。,铆钉连接,销轴连接,材料力学,中南大学土木工程学院,11,螺栓构件,材料力学,中南大学土木工程学院,12,材料力学,中南大学土木工程学院,13,材料力学,中南大学土木工程学院,14,材料力学,中南大学土木工程学院,15,材料力学,中南大学土木工程学院,16,外力：作用线不与形心主惯性轴重合；内力：弯矩矢量不与形心主惯性轴重合（可分解成两个形心主惯性轴方向的分量）；变形：挠曲线不与荷载共面。,8.2 相互垂直平面内的弯曲斜弯曲,一、概 念,材料力学,中南大学土木工程学院,17,材料力学,中南大学土木工程学院,18,二、斜弯曲的正应力强度条件,分析图示简支梁在各种横向荷载作用下斜弯曲的应力计算方法。其中x轴为梁的轴线，y、z轴为横截面的形心主惯性轴。,1、外力分解 将梁上所有横向外力向梁的形心主惯性平面分解，得计算简图。,2、内力计算,形心主惯性平面内所有y向的外力按内力计算方法计算弯矩Mz，所有z向的外力按内力计算方法计算计算My，两向弯矩均按绝对值计算(即按正视图和俯视图分两个平面计算)。,材料力学,中南大学土木工程学院,19,将弯矩合成得合成弯矩M,所有y向的外力按内力计算方法计算弯矩Mz,所有z向的外力按内力计算方法计算弯矩My,材料力学,中南大学土木工程学院,20,3、应力计算,横截面上的正应力由两部分叠加,可见横截面上的正应力是坐标的线性函数。,叠加得,注意：式中的弯矩均取正值，y、z是代数值。若y、z为正时引起的应力为压应力，则式子前面加一个负号。,材料力学,中南大学土木工程学院,21,4、中性轴的位置,横截面上正应力等于零的点连成的线称为中性轴。设中性轴上一点的坐标为（y0、z0）,中性轴方程,由以上方程可知y0、z0正负相反或为零。即中性轴过形心，且位于2、4象限内。,中性轴与y轴的夹角,按右手螺旋法则可确定合成弯矩矢量M的作用面。,材料力学,中南大学土木工程学院,22,5、截面上的最大正应力,离中性轴最远的点正应力最大。作与中性轴平行并与截面边界相切的两条直线，切点分别为最大拉应力点和最大压应力点。,矩形及矩形组合截面（有棱角）最大正应力在离形心最远的棱角上。,6、常见截面形式,stmax,scmax,材料力学,中南大学土木工程学院,23,危险点处于单向应力状态，因此,或,或,材料力学,中南大学土木工程学院,24,中性轴与合成弯矩矢量重合，所以合成弯矩作用面与中性轴垂直，合成弯矩作用面与圆截面的两个交点即为最大正应力点。,最大拉应力作用点坐标：,圆截面 Iy=Iz=I 且 Mz=Msinj,My=Mcosj,中性轴与y轴的夹角,其中,材料力学,中南大学土木工程学院,25,圆截面梁,解：矩形截面梁,材料力学,中南大学土木工程学院,26,解：作计算简图,将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为,危险截面：由弯矩图可确定A截面或D截面为危险截面。,材料力学,中南大学土木工程学院,27,横截面在xoz、xoy平面的弯曲截面系数，可查表得,最大弯曲正应力在A截面或D截面的棱角上，按叠加法叠加求得,所以梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单向应力状态，强度条件为,解得,截面A,截面D,计算发现,材料力学,中南大学土木工程学院,28,查附录可得 Wz=309cm3，Wy=40.9 cm3,解：作内力图如图,对A截面，由强度条件有,B截面，由强度条件有,取梁的许用荷载F=6KN,材料力学,中南大学土木工程学院,29,解：图中所有外荷载虽在同一平面但并不位于梁的形心主惯性平面内，所以是斜弯曲。将均布荷载q向形心主惯性轴分解为 qy=qcosj，qz=qsinj,在檩条跨中处弯矩最大，其值为,图所示由工字钢制造的檩条倾斜地安装在屋架上，檩条受有从屋面传来的铅直荷载作用。已知j=300，檩条跨度l=5m，均布荷载q=4kN/m，檩条的许用应力s=160MPa。试选择工字钢的型号。,由于所有外荷载在同一平面内，各截面的合成弯矩矢量M均与外荷载垂直，且与z轴的夹角亦为j，于是Mz=Mcosj，My=Msinj。其中M为合成弯矩，Mmax=ql2/8。,材料力学,中南大学土木工程学院,30,由于工字钢的型号未知，所以Wz和Wy均是未知的，但对于工字钢，Wz/Wy 之值通常在615之间。故解此题时，可暂设Wz/Wy=8。所以，将强度条件改写为,檩条的强度条件为,由型钢表试选25a工字钢，25a工字钢的Wz=401.88cm3，Wy=48.283 cm3，自重q1=0.37 KN/m。考虑原荷载和自重共同引起的最大弯矩为 Mmax=(q+q1)l2/8，于是，强度条件为,材料力学,中南大学土木工程学院,31,檩条可以选用型号为25b的工字钢。,可见选25a工字钢不能满足强度条件，于是再改选大一号的25b工字钢。由附录查得查得25b工字钢的Wz=422.72cm3，Wy=52.423 cm3，自重q1=0.41KN/m。所以，强度条件为,材料力学,中南大学土木工程学院,32,8.3 弯曲与扭转弯扭组合,材料力学,中南大学土木工程学院,33,一、外力向轴线简化并分解,将所有外力在圆轴横截面的形心主惯性轴y、z方向分解，并用力线平移定理向圆轴的轴线进行简化，得到轴的计算简图。,解得 F2z=400N,材料力学,中南大学土木工程学院,34,二、内力计算,作每种外力分量对应的内力图T、Mz、My。,由My、Mz 作出仅表示各截面弯矩大小的合成弯矩M图,合成弯矩图抛物线段一定是内凹的抛物线，所以通过顶点可确定弯矩最大的截面。,其中：,材料力学,中南大学土木工程学院,35,三、危险点应力分析,四、强度条件,图示二向应力状态,第三强度理论,第四强度理论,强度理论中的相当应力表达式为单元体的应力表达式，对于圆截面杆弯扭组合变形，其相当应力可表示为内力的函数。,材料力学,中南大学土木工程学院,36,对圆截面，其抗扭截面系数WP和抗弯截面系数W有如下关系,本题中Mmax=68.7Nm，T=120Nm,安 全,材料力学,中南大学土木工程学院,37,解：(1)外力的分析和简化,电机通过带轮C传给轴的扭矩为,将作用在皮带轮上的外力向传动轴简化，得到作用于轴上的一对外力偶和水平与铅垂方向的力，见图所示。外力偶矩和力的大小分别为,同样，对带轮D有,材料力学,中南大学土木工程学院,38,(2)作内力图,计算相当应力,该轴满足强度条件。,Me=0.6kN.m FCz=3F1=9.09kNFCy=W1=0.4kN，FDy=W2+3F2=6.96kN,(3)强度校核,材料力学,中南大学土木工程学院,39,解：拉扭组合,危险点应力状态如图,本题中外荷载若还有弯矩，其应力状态和强度理论均不变。不过单元体上的正应力s由下式计算：,F如为压力，取绝对值。,材料力学,中南大学土木工程学院,40,8.4 拉伸(压缩)与弯曲拉弯组合,材料力学,中南大学土木工程学院,41,外力：形心主惯性平面内不位于轴向也不位于横向的外力；内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）；当构件承受轴向力作用的同时，还作用着位于形心主惯性平面内的横向力；这时便产生拉伸或压缩与平面弯曲的组合变形。,一、概 念,二、强度计算,1、外力分解 将外力分解为横向力和轴向力。,材料力学,中南大学土木工程学院,42,危险截面：A:FN=Fcosj，M=Flsinj危险点：A 截面上缘，单向应力状态,2、内力计算：作内力图,3、强度条件,材料力学,中南大学土木工程学院,43,材料力学,中南大学土木工程学院,44,解：内力分析,最大拉应力为零的条件,解得 h=240mm,材料力学,中南大学土木工程学院,45,解：两柱均为压应力,材料力学,中南大学土木工程学院,46,缺口截面偏心距为e，其值为：,由平衡方程可求得截面mn的轴力FN和弯矩M分别为 FN=F=120kN，M=Fe=720Nm,解：由于截面mn处有缺口，因而外力F对该截面形成偏心拉伸作用，如图所示。,mn截面的下边缘将产生最大拉应力。,材料力学,中南大学土木工程学院,47,mn截面的下边缘的最大拉应力为：,由此可见，钢板强度不足。,若在钢板上与再切一缺口并使两缺口对称，如图所示。这时对截面mn而言，只有轴向拉伸没有偏心荷载作用，于是最大拉应力为：,避免偏心荷载是提高构件承载能力的一项有效措施。,材料力学,中南大学土木工程学院,48,因为折杆受力对称，只需分析一半，考虑杆AC，将FA分解，可求得杆的轴力FN和弯矩M(x)。,解：由平衡条件 FA=FB=5kN,FN=FAx=3kNM(x)=FAy x=4x(kNm),Mmax=FAy 2=8kNm,按叠加原理，最大拉应力st和最大压应力sc分别在杆下边缘的D点和上边缘的E点处，其值分别为,材料力学,中南大学土木工程学院,49,根据已知的截面尺寸,代入应力表达式得,材料力学,中南大学土木工程学院,50,解：横梁处于压缩和平面弯曲的组合变 形，梁跨中截面为危险截面，其轴 力和弯矩值分别为 FN=Fcos300=26kN,对工字钢，在梁中间截面的上边缘的绝对值最大，并且为单向应力状态。所以强度条件为,悬臂式吊车架由工字型横梁BC和拉杆DC组成，最大起重量F=30kN，跨度l=3.6m。已知工字钢的许用应力s=100MPa，试从强度方面选择横梁工字钢的型号。,材料力学,中南大学土木工程学院,51,由于梁是主要承受弯曲的构件，所以先不考虑轴力FN的影响，只根据弯曲强度初选工字钢型号，然后再按拉压与弯曲组合的强度条件进行强度校核。由弯曲正应力强度条件得,查附录型钢表，选取22a工字钢，W=309cm3，A=42cm2。,将以上数据代入拉压与弯曲组合的强度条件得,所以，选取22a工字钢满足强度条件。,材料力学,中南大学土木工程学院,52,一般情况：荷载F 设为正；作用点：(yF，zF)也设为正。,图示立柱y、z为横截面的形心主惯性轴，荷载平行于轴线但不位于形心主惯性平面内。,1、应力计算,三、立柱的偏心压缩,截面内力FN=F，My=FzF，Mz=FyF,内力正负号：FN、My、Mz 均设为正，引起某点的应力为压应力时前面加负号。,材料力学,中南大学土木工程学院,53,分别计算应力,材料力学,中南大学土木工程学院,54,作变换,得,应力叠加 D点处为单向应力状态,中性轴,材料力学,中南大学土木工程学院,55,（1）中性轴是不过形心的直线，它将横截面分为两个区域；,中性轴的特性：,在两个形心主惯性轴上的截距为,（2）中性轴与偏心荷载作用点位于形心两侧；,（3）中性轴位置与荷载大小无关；,（4）偏心荷载离形心远时，中性轴离形心近。偏心荷载靠 近形心时，中性轴远离形心。,画出中性轴方程描绘的直线如图所示。,材料力学,中南大学土木工程学院,56,危险点D1(y1,z1)：最大压应力D2(y2,z2)：最大拉应力,强度条件,材料力学,中南大学土木工程学院,57,截面形心附近的一个区域，偏心荷载作用在此区域边界上时，中性轴与截面相切。截面内正应力同号，这个区域称为截面核心。,2、截面核心,偏心荷载F作用在截面核心内时，中性轴移出截面之外，整个截面上只产生压应力。,研究：工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截意义 面上不出现拉应力；地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。,材料力学,中南大学土木工程学院,58,确定截面核心步骤作截面的形心主惯性轴；作截面外凸点的直线代替内凹轮廓线；确定边界上切线的截距ay、az；由公式确定偏心压力作用点的位置；连接偏心压力作用点得到的封闭曲线就是截面核心。,切线作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为1点（yF1，zF1）。,切线作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为3点（yF3，zF3）。,中性轴绕B点转到的过程中的任一位置，其对应的偏心压力作用点(yF2，zF2)的位置必在1与3点的直线上。,材料力学,中南大学土木工程学院,59,中性轴方程,式中偏心力作用点的坐标（yF，zF）已知时，可确定中性轴的位置。反之，若一零应力点的坐标（y0，z0）已知且固定不动时，方程,力作用点的直线方程,与B点(应力为零)对应的偏心力作用点的直线方程,中性轴绕B点转到的过程中的任一位置，其对应的偏心压力作用点（yF2，zF2）的位置必在1与3点的直线上。,材料力学,中南大学土木工程学院,60,偏心力作用于dc与ab的交点A时，中性轴既过B点，又过D点，因此中性轴过BD连线。,矩形截面的截面核心,材料力学,中南大学土木工程学院,61,圆形截面的截面核心,材料力学,中南大学土木工程学院,62,一、连接件的失效形式,失效形式：螺栓在两侧与钢板接触面的压力F作用下，将沿剪切面被剪断。,8.5 连接件的实用计算,1、剪 断,材料力学,中南大学土木工程学院,63,2、挤 压,3、拉 断,失效形式：螺栓与钢板在相互接触面上因挤压而使连接松动。,失效形式：钢板在受螺栓孔削弱的截面处被拉断。,材料力学,中南大学土木工程学院,64,1、假定破坏面上应力均匀分布;2、模拟实验结果按假定的应力分布确定许用应力。,二、实用强度计算原理,材料力学,中南大学土木工程学院,65,3、内力：剪力FS（可用平衡条件求出）,2、变形特点：剪切面两侧相对错动。,三、剪切强度实用计算,1、受力特点：外力等值、反向、作用线相距很近；,4、强度条件,剪切名义切应力,式中 FS 剪力;t 切应力，方向同FS;A 剪切面面积。,材料力学,中南大学土木工程学院,66,单 剪,关于剪力的计算,双 剪,FS=F,FS=F/2,材料力学,中南大学土木工程学院,67,材料力学,中南大学土木工程学院,68,由平衡方程,剪力为,剪切面积为,解：取构件B和安全销为研究对象，其受力如图所示。,当安全销横截面上的切应力达到其极限值时，销钉被剪断，即剪断条件为,解得,可取d=15mm,材料力学,中南大学土木工程学院,69,四、挤压的实用计算,bs bearing stress,在螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压。在接触面上的压力，称为挤压力Fbs。挤压力过大，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动而失效。,材料力学,中南大学土木工程学院,70,1、计算挤压面,计算挤压面为实际挤压面在垂直于挤压力平面上的投影。,Abs=d d,2、挤压强度条件,材料力学,中南大学土木工程学院,71,挤压应力计算面积 实际挤压面(半圆柱)在垂直挤压力方向上的投影。,在连接件中通常同时出现挤压应力和切应力，但二者有明显区别。,切应力 计算面积是剪力的真实作用区。名义切应力是真实的平均切应力。挤压应力 计算面积不一定是挤压力真实作用区。名义挤压应力不一定是平均挤压应力。,材料力学,中南大学土木工程学院,72,解:1、按冲头压缩强度,2、按钢板剪切强度,材料力学,中南大学土木工程学院,73,解：(1)角钢承受的总荷载 F=pbL,（2）每个螺栓的剪力,（3）螺栓所受的切应力,（4）单个螺栓与角钢间的挤压力,（5）螺栓与角钢间的挤压应力,外载集度p=2MPa，角钢厚 t=12mm，长 L=150mm，宽b=60mm，螺栓直径d=15mm。求螺栓切应力和螺栓与角钢间的挤压应力。（忽略角钢与工字钢之间的摩擦力）,材料力学,中南大学土木工程学院,74,解：键的受力分析如图,对于圆头平键，其圆头部分通常略去不计，按平头键计算。,剪切应力和挤压应力的强度条件,综 上,材料力学,中南大学土木工程学院,75,解,当工作应力t，s 分别达到材料的许用值t，s 时，材料的利用最合理。,得 d：h=2.4,材料力学,中南大学土木工程学院,76,解：铆钉受力分析,材料力学,中南大学土木工程学院,77,上，下两钢轨作为整体弯曲时，上面钢轨的横截面上全是压应力，下面钢轨的横截面上全是拉应力。取两横截面间距为s的上钢轨一段考虑，其受力如图。,考虑与上钢轨铆接的下钢轨如图,材料力学,中南大学土木工程学院,78,校核铆钉剪切强度,铆钉的切应力为,铆钉满足剪切强度条件。,材料力学,中南大学土木工程学院,79,五、铆钉组承受横向荷载,在铆钉组的计算中假设：（1）无论铆接的方式如何，均不考虑弯曲的影响；（2）若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且同一 组内各铆钉的直径相同，则每个铆钉的受力也相同。,每个铆钉的受力为：,材料力学,中南大学土木工程学院,80,解：选择螺栓个数的问题：先从剪切强度条件选择螺栓个数，然后用挤压强度条件来校核。,当各螺栓直径相同，且外力作用线过该组螺栓截面的形心时，可假定每个螺栓的受力相等，对每个螺栓(总数为n),材料力学,中南大学土木工程学院,81,由剪切强度条件,得 n2.68，取n=3,校核挤压强度,螺栓满足挤压强度条件,材料力学,中南大学土木工程学院,82,校核角钢的拉伸强度,对应最弱截面mm的轴力,角钢横截面mm上的拉应力,材料力学,中南大学土木工程学院,83,解：受力分析如图,铆钉剪切应力和挤压 应力的强度校核,材料力学,中南大学土木工程学院,84,钢板的强度校核,通过以上分析可知，接头安全。,钢板的22和33面为危险面,材料力学,中南大学土木工程学院,85,六、铆钉组承受扭转荷载,此时每个铆钉的受力不相同，每个铆钉上所受的力与到铆钉组横截面形心的距离成正比，方向垂直于该点与形心O点的连线。,其中：M为钢板所受的转矩；Fi为每个铆钉所受的力；ai为铆钉横截面中心至铆钉组横截面形心的距离。,材料力学,中南大学土木工程学院,86,于是每个铆钉上所受的力分为为由横向力引起的力和转矩引起的力两者的矢量和。,承受偏心荷载的铆钉组，可将偏心荷载F向形心简化为一个过O点的荷载和一个绕O点的转矩。,材料力学,中南大学土木工程学院,87,铆钉组对称于x轴，转动中心在铆钉2与5的连线与x轴的交点O处。,解：受力分析,将力F向O点简化得力和力偶矩分别为F=12kN，Me=1.44kNm,在过转动中心O的力F作用下，因每个铆钉的直径和材料均相同，故每个铆钉上受的力相等。,材料力学,中南大学土木工程学院,88,在力偶矩Me的作用下，它们所承受的力与其到转动中心的距离成正比。,根据方程,其中：r1=0.0566m，r2=0.06m，r3=0.0894m,解得,受力最大铆钉的切应力,铆钉1和6的受力最大，其值为F1=4.41kN,材料力学,中南大学土木工程学院,89,本章结束,