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流体力学总复习,第一章 流体及其物理性质,重点内容：流体的易流动性、压缩性、粘滞性；牛顿内摩擦定律；连续介质概念,重点公式：,流体的压缩性,流体的膨胀性,气体的压缩系数和膨胀系数,第一章 流体及其物理性质,重点公式：,流体的粘性,重要概念或结论：,定义：流体是能流动的物质。力学特征：施与微小剪切力就能使流体发生连续变形。易流动性是流体的特性之一。分子结构特点及分子间作用力小决定了它的这一特性。,流体的易流动性,流体在一定温度下，体积随压强增大而缩小的特性称为流体的压缩性。一定温度下,压强越高，气体体积压缩系数越小；随着压强的增大，气体的可压缩性减弱。流体体积模量值小，表明流体的可压缩性越大。液体压缩性很小；气体压缩性很大。,流体的压缩性,流体在一定压强下，体积随温度升高而增大的特性称为流体的膨胀性。一定压强下,温度越高，气体的膨胀系数越小，随着温度的增大，气体的膨胀性减弱。,流体的膨胀性,流体层间发生相对运动时会产生切向阻力的特性是流体粘性的表现。温度上升，气体粘度增大而液体粘度则下降。动力粘度与密度之比称为运动粘度。,流体的粘滞性,理想流体没有粘性。实际流体不管处于静止还是流动态，其粘性都存在。粘性使流体具有抗拒剪切变形，阻碍流体流动的能力。克服粘性阻力维持流动必然导致能量的消耗。,流体的粘滞性,作用在流层上的切向应力与相邻两层间的速度梯度成正比。凡遵循牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。流体流动时任意相邻两层流体间是相互抵抗的，相互抵抗的作用力是剪切力，也称之为内摩擦力、粘滞力、粘性摩擦力。,牛顿粘性定律,流体的连续介质假设,体积无穷小的微量流体称为“流体质点”。流体质点的尺寸远大于分子间距离，质点间的距离不大于分子间距离，即认为质点间没间隙。流体是由无数连续分布的流体质点所组成的连续介质。,练习题,1、下列命题中正确的有（）。A、易流动的物质称为流体B、液体和气体均为流体C、液体与气体的主要区别是气体易于压缩，而液体不能压缩D、在低温、低压、低速条件下的运动流体，一般可视为不可压缩流体,练习题,2、下列命题中正确的有（）。A、粘性是流体的故有属性B、粘性是运动流体抵抗剪切变形的能力C、液体的粘性随温度的升高而减小D、气体的粘性随温度的升高而增大,练习题,3、流体的动力粘度与（）有关。4、理想流体的特征为（）。5、已知某液体的体积变化率，则其密度变化率6、已知某液体的粘性切应力,动力粘度，则其剪切变形速率为：（）。,第二章 流体静力学,重点内容：作用在流体上的力与静压强 流体平衡微分方程流体静力学基本方程式,基本概念或结论：表面力作用在流体体积表面上的力（包括法向力和切向力）质量力（体积力）作用在流体内部质点上的力，大小与流体质量成正比。静压力为流体所受的法向应力。两特性：1)方向总是垂直指向压力的作用面（即为内法向线方向）。2)流体内任意点处的压强只与该点空间位置有关，而与作用面方位无关。,基本概念或结论：绝对压 以绝对零压（绝对真空）为起点所计算的压强。相对压强（表压）以大气压为起点所计算的压强。真空度 大气压与绝对压之差。,基本概念或结论：静止态不可压缩流体内部任一处流体的“位势能”与“压强势能”可以相互转换，但“总势能”不变。压强随深度作线性增加。压强可传递，内部压强随自由表面上压强的变化作等额增加。等压面为水平面。,第二章 流体静力学,重要公式：1、流体平衡微分方程,欧拉平衡微分方程,压差公式,第二章 流体静力学,重要公式：2、势函数,重力场的势函数,第二章 流体静力学,重要公式：3、流体静力学基本方程式,练习题,1、1.0kgf/cm2为（）。A、98kPaB、10mH2OC、101.33kPaD、760mmHg,练习题,2、下列命题中正确的有（）。A、绝对压强不能为负数B、相对压强可正可负C、真空度可正可负D、真空度不能为负数,练习题,3、静止流场中的压强分布规律（）。A、仅适合于不可压缩流体B、仅适合于理想流体C、仅适合于粘性流体D、既适合于理想流体也适合于粘性流体,练习题,4、流体静压强p的作用方向为（）。5、重力作用下的流体静压强微分方程为：6、相对压强的起量点为：7、静止流体的等压面方程为：8、绝对压强的起量点为：9、在平衡流体中，质量力恒与等压面（）,第三章 流体流动特性,重点内容：流场研究的两种方法：拉格朗日法和欧拉法 欧拉法分析速度场，将流体质点物理量随时间的变化率表示为由不稳定性引起的当地变化率和由不均匀性引起的迁移变化率两部分。,第三章 流体流动特性,重点内容：流体质点运动的加速度流线与迹线流线微分方程流管与流束粘性流体的流动形态雷诺准则,第三章 流体流动特性,重点公式：流体质点运动的加速度流线微分方程,基本概念或结论：,流场中各点流速的大小与方向是变化的；流线上任一点的切线方向代表流经该处流体质点的速度方向，即垂直于流线的速度分量为零；流线互不相交；流体质点流动时不可能穿越流线；恒定流中，流线与迹线在几何上重合。,流线属性,基本概念或结论：,流管特性,流体不可能从流管侧面流入或流出；对于稳定流动，流管的形状与位置不随时间而变。,润湿周长流体流动所润湿的固体壁面的周边长度，,水力半径有效流通截面积与润湿周长之比。,当量直径四倍的水力半径。,基本概念或结论：,平均流速单位时间内单位流通截面所通过的流体体积量。,雷诺数是惯性力与粘滞力之比,层流与湍流的本质区别 湍流时，流体质点除了有主运动还存在随机的脉动。层流时，流体在管内的速度分布呈抛物状。,基本概念或结论：,练习题,1、当流体为恒定流动时必有（）为零。A、当地加速度B、迁移加速度C、向心加速度D、合加速度,练习题,2、已知不可压缩流体的流速场为则流动为（）。A、一维流动B、二维流动C、三维流动D、均匀流动,练习题,3、当流体为恒定流动时，流线与流迹在几何上（）。A、相交B、正交C、平行D、重合,练习题,4、已知不可压缩流体作平面流动的流速分布为则常数（）A、B、C、D、,第四章 流体动力学分析基础,流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、柏努利方程、动量方程和能量方程等，这些方程是分析流体流动问题的基础。,控制体流场中某个确定的空间区域，其界面为控制面，其大小形状可任意选定。控制体一经选定，其位置就相对固定了下来。控制体分析着眼有限体积内流体的总体运动。由此建立的守恒方程更具有实用价值。,4.1系统与控制体,第四章 流体动力学分析基础,第四章 流体动力学分析基础,系统一定质量的流体质点的集合。在流动过程中，系统表面通常在不断变形，而其中的流体质量是确定的。流体系统位置随运动而改变。,4.1系统与控制体,雷诺运输方程揭示系统内流体参数变化与控制体内流体参数变化之间关系。,4.2雷诺运输定理,第四章 流体动力学分析基础,系统与控制体的对比与关联,系统,控制体,系统,系统,系,统,系统位置随运动而改变，,可能与控制位置重叠,雷诺运输方程揭示系统内流体参数变化与控制体内流体参数变化之间关系。,4.2雷诺运输定理,第四章 流体动力学分析基础,系统与控制体的对比与关联,系统,控制体,系统,系统,系,统,第四章 流体动力学分析基础,系统内与控制体内物理量随时间变化率之关系的推导,I,II,III,4.2雷诺运输定理,设B为物理量，B的质量变化率为,(4-1),I,系统,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,设 时刻，系统处于右图状态,时刻，系统处于上图状态,则有：,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,则系统内物理量随时间变化率为：,定义式,关联控制体,（4-2）、（4-3）、（4-4),第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,逐项分析下式各项：,控制体内B的 时间变化率,B的流出率,B的流入率,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,逐项分析下式各项：,控制体位置不变,（4-5）、（4-6）,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,逐项分析下式各项：,B通过控制面的流出率与流入率之差,由（4-1）式知，B是体积量的函数,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,B通过控制面的流出量：,B通过控制面的流入量：,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,B通过控制面的流出率：,B通过控制面的流入率：,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,B通过控制面的净流出率：,（4-7）,第四章 流体动力学分析基础,I,II,III,4.2雷诺运输定理,综上所述，得：,（4-8）,上式表明：系统内B随时间的变化率，等于控制体内B随时间的变化率加上B通过控制面的净流率。,第四章 流体动力学分析基础,4.2雷诺运输定理,雷诺运输方程的意义,（4-8）,上式等号右边第一项相当于当地导数，第二项相当于迁移导数。雷诺运输方程着眼有限体积内流体的总体运动，适用于控制体分析。而流体质点随体导数适用于微分分析。,第四章 流体动力学分析基础,4.2雷诺运输定理,定常态下：,（4-9）,结论：在定常态下，系统内B随时间的变化率，仅与B通过控制面的流率有关，与内部流动过程无关。,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。流体是连续介质，它在流动时充满整个流场。当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，在某一定时间内，如果流出的流体质量和流入的流体质量不相等，则表明封闭曲面内流体密度是变化的；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成方程，称为连续性方程。,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,连续性方程,在流动系统应用质量守恒定律,由雷诺运输方程推导出连续性方程。,在流动系统应用质量守恒定律,此时的流体参数B是质量，即：,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,连续性方程,系统内质量不变，即：,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,连续性方程,上式就是积分形式的连续性方程，可见：通过控制面的质量净流率，等于控制体内质量的减少率。,（4-11）,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,定常态下不可压缩流体的连续性方程,（4-12）,（4-11）,上式为积分形式的连续性方程,定常态：,不可压缩流体：,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,定常态下不可压缩流体的连续性方程,考虑微元流管内的流动，流体流入截面1，从截面2流出，侧面无流体通过。故：,（4-13）,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,定常态下不可压缩流体的连续性方程,对任意有限截面流管,（4-14）,式（4-14）为不可压缩流体在定常态下作一维流动的连续性方程。,第四章 流体动力学分析基础,4.3流体流动的连续性方程,定常态下不可压缩流体的连续性方程,（4-14）,式（4-14）说明一维流动在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比。,第四章 流体动力学分析基础,4.4理想流体的能量方程,在流动系统应用能量守恒定律,由雷诺运输方程推导出能量方程。,在流动系统应用能量守恒定律,此时的流体参数B是能量，即：,第四章 流体动力学分析基础,结合热力学第一定律：,4.4理想流体的能量方程,（4-16）,（4-15）,第四章 流体动力学分析基础,4.4理想流体的能量方程,（4-17）,式（4-17）表示：控制体内能量随时间的变化率与通过控制面的能量净流率之和，等于输入系统的热量与环境对系统所做功之和。,第四章 流体动力学分析基础,4.4理想流体的能量方程,（4-17）,在重力场，系统单位质量的能量包括内能、势能和动能：,（4-18）,第四章 流体动力学分析基础,4.4理想流体的能量方程,环境对系统所做的功，为单位时间作用在控制体的表面应力所作的功：,（4-19）,理想流体只有法向应力，且指向作用面，故：,（4-21）,第四章 流体动力学分析基础,4.4理想流体的能量方程,（4-17）,（4-22）,第四章 流体动力学分析基础,4.4理想流体的能量方程,重力场理想流体在绝热定常态下的能量方程,（4-22）,（4-23）,（4-24）,上节要点,（4-8）,雷诺运输方程,（4-9）,定常态下雷诺运输方程,上节要点,（4-11）,积分形式的连续性方程,（4-14）,不可压缩流体在定常态下作一维流动的连续性方程,上节要点,（4-17）,理想流体的能量方程（通式）,（4-24）,重力场理想流体在绝热定常态下的能量方程,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利（Bernouli）方程,绝热，定常态，在一微元流管上应用式（4-24）,（4-25）,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程,（4-25）,微元面积A1、A2上的能量 视为常数，得：,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程,由连续性方程：得：,（4-27）,（4-26）,与外界没有热交换，内能不变；又密度不变，故有：,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程,（4-27）,（4-28）,上两式为伯努利方程。式中三项分别表示单位质量流体所具有的位势能、动能和压强势能，单位为J/kg。位势能、压强势能和动能均为机械能。,或写成：,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的意义,方程表明：不可压缩的理想流体在重力场作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位质量流体所具有的位势能、动能和压强势能之和保持不变（即机械能是一常数），但位势能、动能和压强势能三种能量之间可以相互转换。,伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的表现形式。,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的意义,对单位重量的流体而言，伯努利方程中各项分别称为位置水头、速度水头和压强水头，三项和为总水头。,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的意义,此时的伯努利方程可表述为：不可压缩的理想流体在重力场作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有位置水头、速度水头和压强水头之和保持不变。,图 4-5理想流体沿流线的总水头和静水头,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的应用条件,1)不可压缩的理想流体；2)在重力场作定常流动；3)沿流线作一维流动。,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的应用,1)确定有自由水面的薄壁容器侧壁小孔出水速度与水面高度的关系,（自由水面高度维持不变，忽略流动时粘滞力造成的摩擦损失。）,在1、c两截面间应用伯努利方程。,图4-6,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的应用,1)确定有自由水面的薄壁容器侧壁小孔出水速度与水面高度的关系,代入图示数据：,整理得：,（4-30c）,上式表明：小孔出流的速度，等于流体质点从自由水面处无摩擦自由下落到小孔处的速度。,图4-6,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的应用,1)皮托（Pitot）管,工程上测量管道中流体的流速，可采用皮托管来进行。,皮托管主要结构如上图。使用时，常与压差管连接使用（见右图）。,皮托管结构示意图,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的应用,1)皮托（Pitot）管,工程上测量管道中流体的流速，可采用皮托管来进行。,皮托管使用时，常与压差管连接使用。,皮托管结构示意图,V,B,A,Z,Z,A、B点很接近，流体在B点流速为VB，流至A点受阻流速将为0，速度水头转为压强水头h。,皮托管测量原理,V,B,A,Z,Z,在A、B点间应用伯努利方程,皮托管测量原理,V,B,A,Z,Z,整理得：,皮托管测量原理,（4-31b）,内管：测速内管口正对流过来的流体，流体流至该处受阻，速度降为零，动能转化为静压能，即内管测得管口处流体的动能和静压能。,外管：外管壁沿周边所开的孔很靠近内管口，用以测该处的静压能。,皮托管测量原理,实际应用上皮托管常与压差管连接使用。,内、外管所测的压差，可由静力学方程求得：,皮托管测量原理,称压强水头和速度水头之和称为冲压水头。,测速管测的是点速度。,测速管应置于稳定段。,几点说明,第四章 流体动力学分析基础,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用,伯努利方程的应用,3)文丘里（Venturi）管,文丘里管主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，主要用于管道中流体流量的测量，。,文丘里管利用收缩段造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，应用伯努利方程求出管道中流体的体积流量。,文丘里管测量原理,由一维流动连续性方程,以文丘里管的水平轴线作为基准面。在截面1-1，2-2间列伯努利方程（忽略阻力损失）,整理得：,流量为：,（4-32e）,（4-32d）,为流量系数，通过实验测定。当文丘里管的压差用U形差压计测量时，则有：,考虑到1-2截面间实际存在阻力损失的情况,（4-32）,第四章 流体动力学分析基础,4.6动量定理,定常流动的动量方程,许多工程问题，只需求解流体与固体的相互作用，不必考虑流体内部的详细流动过程，这时应用动量定理直接求解十分方便。例如求弯管中流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。,第四章 流体动力学分析基础,4.6动量定理,定常流动的动量方程,根据动量定理，流动系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即:,动量方程是动量守恒定律在流动系统的应用,（4-33）,第四章 流体动力学分析基础,4.6动量定理,定常流动的动量方程,运用雷诺运输方程，此时：,对定常流动：,（4-34）,（4-33）,故得：,（4-35）,第四章 流体动力学分析基础,4.6动量定理,定常流动的动量方程,是作用在控制体质量上的质量力和作用在被控制体切割的流体和固体上的表面力。,为单位质量的质量力。在重力场为：,（4-35）,（4-37）,（4-37a）,第四章 流体动力学分析基础,4.6动量定理,定常流动的动量方程,表面力 包括两部分：控制面外固体对控制面内流体的力周围流体的压强力和粘性应力所产生的力,其中压强力：,（4-37）,（4-37b）,第四章 流体动力学分析基础,4.6动量定理,定常流动的动量方程,上式等号右边项为净动量流率，若控制面上流速和密度均匀，则有：,其中：,（4-38a）,（4-35）,动量方程应用举例【例4-1】水平放置的变直径弯管，弯管断面1-1上压力表读数p1=17.6104Pa，管中流量Q=0.1m3/s，直径d1=300，d2=200，转角=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小,解：水流经弯管动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。1.根据流量公式可求得：,2.列管道进、出口的伯努利方程,则得：,3.对所取控制体受力分析，得进、出口控制面上总压力：,壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图所示。,4.写出动量方程 选定坐标系后，作用力与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。沿x轴方向,沿y轴方向:,水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。,管壁对水的反作用力:,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,前述连续性方程、能量方程和动量方程是基于控制体分析，应用雷诺运输方程和相应的守恒定律推导得到的。,控制体分析法不深究流体内流动细节，当需对流动细节细究时，应运用微分形式的守恒方程。,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,由控制体分析法已导出了积分形式的连续性方程，式（4-11）：,前已述，连续性方程是质量守恒定律在流动系统的应用结果。即连续性方程讨论的物理量是质量。,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,由控制体分析法已导出了积分形式的连续性方程，式（4-11）：,是单位面积质量通过控制面的面积积分，根据高斯定理，该积分等于单位面积质量的散度在控制体内的体积分。即：,（4-52）,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,又：,所以：,（4-53）,即：,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,反映控制体内流体密度的变化,反映控制体内流体质量的总变化,（4-53）,由于流体是由连续介质组成的，所以控制体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为控制体内流体密度的变化而引起的。,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,所以：,（4-54）,上式即为微分形式的连续性方程,方程表明：若控制体内流体质量发生了变化，必然引起控制体内流体密度的变化。或者说，如果控制体内流体的密度有变化，则意味着控制体内流体质量发生了变化。,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,（4-55）,微分式连续性方程在直角坐标系上的表达形式,将上式在直角坐标上表示，则有:,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,展开上式并归项，得:,（4-55）,微分式连续性方程在直角坐标系上的表达形式,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,上式的矢量形式:,（4-56）,（4-57）,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,其中:,（4-57）,微分式连续性方程的矢量表达形式,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,（4-58）,定常流动下的微分式连续性方程,矢量表达形式,对不可压缩流体,（4-60）,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,微分形式的连续性方程,（4-59）,定常流动下的微分式连续性方程,直角坐标表达形式,（4-61）,对不可压缩流体,【例4-2】假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：,问该流动是否连续？,解：,故此流动不连续,若流动连续，应满足（4-61）式,【例4-3】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为,问该流动是否连续？,解：,故此流动连续,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,纳维斯托克斯方程,若对流场中的微元流体运用牛顿第二定律，可得到微分形式的动量方程，称为纳维斯托克斯方程。,前面已导出定常流动的动量方程（4-38a）,dy,dz,设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，应用牛顿第二定律。,（4-63）,dy,dz,X方向的动量平衡，有,（4-64）,表面力（法向力和切向力）,质量力x分力,对粘性流体，表面力包括静压力和粘性力，分析它们在x、y、z的分量，可得到：,（4-67）,X方向,（4-65）,代入上式得X方向的净表面力：,整理得到X方向的运动微分方程,（4-68）,代入（4-64）,（4-67）,X方向的质量力：,得到：,上式表明：流体的加速运动是质量力、压强力和粘性力共同作用的结果。,（4-71）,同理可得到y、z方向的运动微分方程。,运动微分方程的矢量表达式：,或：,（4-71）,理想流体的欧拉运动微分方程,理想流体无粘性，故粘性应力张量等于零,（4-72）,（4-73）,斯托克斯提出了广义牛顿摩擦定律，即给出了应力与流体变形的关系式，代入上式整理出粘性流体的运动微分方程。,（4-71）,粘性流体的纳维斯托克斯微分方程,对于粘性流体,（4-71）,粘性流体的纳维斯托克斯微分方程,粘性流体运动微分方程的矢量表达式：,（4-80）,称为拉普拉斯算符,4-80式称为纳维斯托克斯微分方程。,（4-71）,粘性流体的纳维斯托克斯微分方程,粘性流体各方向的运动微分方程,第四章 流体动力学分析基础,4.8微分形式的守恒方程,基本微分方程组的定解条件,1)初始条件,2)边界条件固体壁面进口出口相界面,因某些研究问题过于复杂，以至不能建立数学表达式或难以用数学方法求解。转而用实验方法。,引入量纲分析方法可使实验变量减少、实验数据关联过程得以简化。,第五章 量纲分析与相似原理,量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号。如国际单位制中长度单位的量纲是,量纲分析的基础知识,流体力学中的基本单位是质量、长度、时间，它们的量纲分别为：,5.1量纲分析,第五章 量纲分析与相似原理,1)什么是量纲？,量纲分析的基础知识,非基本物理量的量纲，依物理量定义或物理方程，由基本物理量量纲推导出。如速度的量纲为：,5.1量纲分析,第五章 量纲分析与相似原理,1)什么是量纲？,量纲分析的基础知识,5.1量纲分析,第五章 量纲分析与相似原理,1)什么是量纲？,当a、b、c均为零时，称物理量B为无量纲的量,流体力学中任一物理量B的量纲公式可表示为：,依据一定的原则，将几个变量组合成一个无量纲数组。用无量纲数组代替原来若干变量进行实验，以得到可应用的公式。这一方法称为量纲分析方法。,2)什么是量纲分析方法？,量纲分析法是工程实验研究中常使用的方法之一,5.1量纲分析,第五章 量纲分析与相似原理,量纲分析的基础知识,量纲分析法的基础是：量纲齐次原理（也称因次一致性的原则）和定理。,量纲齐次原理：一个能合理反映物理现象的方程，其等号两边不仅数值相等，而且每一项都应具有相同的因次。,3)量纲分析方法的原理,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,量纲分析的基础知识,4)量纲分析方法的原理,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,白金汉（Buckingham）定理：任何因次一致的物理方程，都可以表示为一组无量纲数的幂函数。无量纲数的数目等于变量数n与基本量纲数m之差。,量纲分析的基础知识,设影响某现象的物理量为n 个，这些物理量的基本量纲为m个，则该物理现象可用（n-m）个独立的无量纲数组成的关系式表示，此即为定理。,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,定理,称为重复变量，每个无量纲数都是重复变量与剩余变量中的其中一个变量的组合,无量纲数的组成,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,定理,（n-m）个无量纲数的组成结构如下,以摩擦系数的无量纲数方程推导为例,摩擦系数的幂指数形表达式：,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,定理的具体应用,摩擦系数的一般表达式：,式中六个物理量的量纲分别为：,整理，得：,（1）,将上面六个式代入（1）式，得：,解方程组，得：,根据量纲齐次原则，得：,将方程解代入原方程（1）整理，得：,（1）,上式表明：在无量纲数组方程中，只与两个无量纲数组有关，做实验时只须确定b、e两个指数，实验工作量大为简少！,（1）,量纲分析法必须依靠实验才能得到确定无量纲数之间的定量关系。,漏了必要的物理量，则得到的无量纲数组方程无法通过实验建立确定的关系。,1)无量纲数组的形式 2)作用在流体上力惯性力粘性力,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,关于定理的几点说明,1)无量纲数组的形式 2)作用在流体上力压力重力 还有表面张力、弹性力,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,关于定理的几点说明,3)流体力学中常见的无量纲数组雷诺数 湍流时雷诺数大，表明是惯性力起主要作用；层流时雷诺数小，表明是粘滞力起主要作用。,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,关于定理的几点说明,3)流体力学中常见的无量纲数组欧拉数 与压力有关的现象由欧拉数反映。此外，常见的无量纲数组还有弗雷德（Froude）数、韦伯（Weber）数、马赫（Mach）数。,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,关于定理的几点说明,1)可使实验变量减少、实验数据关联过程得以简化。2)可用于物理量量纲的推导。3)通过核对由理论导出的数学方程的判断方程的正确性。4)确定模型实验的相似条件。,第五章 量纲分析与相似原理,5.1量纲分析,量纲分析的意义,1)几何相似 流动边界几何相似，即对应的线性尺寸成比例,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似概念,2)时间相似 对应的时间间隔成比例。,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似概念,3)运动相似 速度或加速度的方向一致，大小成比例。这称为速度或加速度几何相似。,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似概念,4)力相似 作用在流体上的各种力的方向对应一致，大小互成比例。这称为力场的几何相似。力相似中涉及到的比例常数有：力比例常数、密度比例常数、质量比例常数、力比例常数、压强比例常数、运动粘度比例常数和动力粘度比例常数等。,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似概念,相似原理要点：相似的现象遵循同一客观规律相似现象的单值条件相似由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似原理,单值条件指：几何条件、物性条件、边界条件、初始条件等。,判断所推导的相似准则中的主次准则设计实验确定实验需测物理量及数据整理实现将实验结果应用到实物系统的换算,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似原理的应用,相似理论从微分方程出发导出相似准则相似理论导出的无量纲数组是面向两对应系统的相似理论仅适用于物理现象相似的系统相似理论偏重于现象的物理方面,第五章 量纲分析与相似原理,5.2相似原理,相似原理与量纲分析的比较,由于粘性的影响，使流层之间出现切向应力，形成阻力；流动形成层流、湍流两种形态。,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,不可压缩粘性流体内部流动的特点：,对理想流体运动基本规律的讨论，得到了伯努利方程。研究实际流体在管道或渠道中的流动，需考虑粘性的影响，粘性导致流动过程产生摩擦阻力，维持流动需克服流动阻力，故流体中将有一部分机械能不可逆地损失掉。讨论粘性流体流动的重点就是讨论由于粘性在流动中所造成的阻力问题，即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,由无数微元流束（或流线）组成的有效截面为有限的流束称为总流。,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,不可压缩粘性流体总流的伯努利方程,6.1流动阻力,何为总流？,不可压缩粘性流体在管道或渠道中的流动属总流流动。,微元流束与总流的区别,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,不可压缩粘性流体总流的伯努利方程,6.1流动阻力,微元流束在同一截面上流体质点的位置高度、压强和流速可认为是相同的。而总流在同一有效截面上的流体质点的位置高度、压强和流速则是不同的。,即：,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,不可压缩粘性流体总流的伯努利方程,6.1流动阻力,对不可压缩理想流体沿同一流线（或同一微元流束）流动有伯努利方程（式4-29）：,(6-2),或写成：,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,不可压缩粘性流体总流的伯努利方程,6.1流动阻力,对于粘性流体，由于克服粘性阻力要消耗机械能，故粘性流体微元流束的伯努利方程为：,(6-3),(6-4),粘性流体微元流束的伯努利方程,1)使用平均流速，并乘以动能修正系数,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,不可压缩粘性流体总流的伯努利方程,6.1流动阻力,由于微元流束与总流的区别，伯努利方程（6-4）不可直接应用于总流，须作以下调整：,粘性流体总流的伯努利方程,(6-6),2）方程只能在任意两缓变流有效截面上应用,急变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,急变流,急变流,急变流,急变流,图 6-1 缓变流和急变流示意图,关于缓变流和急变流,上式即粘性流体总流的伯努利方程。适用于重力作用下不可压缩粘性流体定常流动的任意两个缓变流的有效截面。为了克服流动阻力，总流的总机械能沿流线方向逐渐减少，以 表示总流从有效截面1至有效截面2之间的平均单位重量流体的能量损失。,(6-6),图6-2 总流总水头线,动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的；是个大于1的数，有效截面上的流速越均匀，值越趋近于1。在实际工业管道中，通常都近似地取对于圆管层流流动,关于动能修正系数,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,流动阻力损失,6.1流动阻力,由流动阻力引起的能量损失称为流动阻力损失，简称阻力损失，包括沿缓变流流动的总沿程阻力损失和在急变流处产生的总局部阻力两部分。,(6-8),第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,流动阻力损失,6.1流动阻力,1)沿程阻力损失(简称沿程阻力或沿程损失)。流体流动克服沿程阻力而损失的能量称为沿程损失，其大小与流过的管道长度成正比，还与流体的流动状态有密切关系。,单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 表示，单位体积流体的沿程损失，又称为沿程压强损失，以 表示。,在管道流动中的沿程损失可用下式求得,沿程阻力系数，是一个无量纲的系数，与雷诺数和管壁粗糙度有关。,式（6-9）称为达西-威斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。,(6-9a),(6-9),2)局部阻力损失,管道中通常装有阀门、弯管、变截面管等局部装置。流体流经这些局部装置时流速将重新分布，流体质点与质点及与局部装置之间发生碰撞、产生漩涡，使流体的流动受到阻碍，由于这种阻碍是发生在局部的急变流动区段，所以称为局部阻力。,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,6.1流动阻力,流体为克服局部阻力所损失的能量，称为局部损失。,单位重量流体的局部损失称为局部水头损失，以 表示，单位体积流体的局部损失，又称为局部压强损失，以 表示。,局部损失可用下式求得：,局部阻力系数 是一个无量纲的系数，由实验测定。,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,6.1流动阻力,2)局部阻力损失,(6-10),流动阻力损失,例6-1 输油管的直径d0.1m，长l6000m，出口端比入口端高h12m，输送油的流量G8000kg/h，油的密度860kg/m3,入口端的油压pi4.9105Pa,沿程阻力损失系数0.03，求出口端的油压p。,解：油的平均流速,=,0.329（m/s）,代入已知数据，解得：,例6-1 输油管的直径d0.1m，长l6000m，出口端比入口端高h12m，输送油的流量G8000kg/h，油的密度860kg/m3,入口端的油压pi4.9105Pa,沿程阻力损失系数0.03，求出口端的油压po,在入、出口截面附近建立总流的伯努利方程,管内任取一流体柱分析其受力,推动力：净压力,阻力：内摩擦力,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,6.2圆管内层流,圆管内层流流动的微分方程,得圆管内层流流动的微分方程：,合力为零，即：,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,6.2圆管内层流,圆管内层流流动的微分方程,(6-11),得管内层流流动的速度分布式：,积分上式：,上式表明：圆管内层流时任一点的速度在圆管的有效截面积上呈抛物面分布。,管内层流流动的速度分布和流量表达式,第六章 不可压缩粘性流体的内部流动,6.2圆管内层流,(6-12),在 的管轴上，流速达到最大值：,式（6-12）表明在有效截面上各点的流速 与点所在的半径 成二次抛物线关系。,代入上式得：,当 时，,上式反映圆管内任一点的速度与管中心最大点速度的关系。,(6-13),代入上式，有：,第六章 不可压缩粘性