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工程电磁场原理（电子教案素材）高等教育出版社、高等教育电子音像出版社,一、“电磁场”课程的地位、作用与任务 二、引言 三、学习方法 四、本课程学时分配建议第1章 电磁场的数学物理基础 1.1 电磁场的物理模型及其分析 1.2 关于源量的注释 1.3 矢量分析教学中的若干讨论点 1.4 关于亥姆霍兹定理的注释 1.5 电磁感应定律的推广 1.6 电流概念的扩充 全电流定律,绪论,第2章 静态电磁场：静电场 2.1 基本内容与要求 2.2 教学重点解析 一、电介质的极化 极化电场 二、静电场边值问题的构造 三、分离变量法及其应用 四、镜像法及其应用 五、关于部分电容概念的讨论 六、虚位移法 七、基于法拉第观点分析电场力 八、场图示例,第3章 静态电磁场：恒定电流的电场和磁场 3.1 基本内容与要求 一、恒定电场 二、恒定磁场 3.2 教学重点解析 一、关于导电媒质中建立恒定电流场的讨论 二、静电比拟原理 三、基于场矢量积分关系式的分析方法 四、基于矢量磁位A的应用分析 五、磁偶极子在外磁场中的受力分析 六、作用于磁场中两种媒质分界面上的磁压力 七、场图示例,第4章 准静态电磁场 4.1 基本内容与要求 4.2 教学体系框架 4.3 教学重点解析 一、准静态场的判别条件似稳条件 二、基本方程及其导出关系式 三、时谐电磁场的复数表示,第5章 动态电磁场与电磁波 5.1 基本内容与要求 5.2 教学体系框架 5.3 教学重点解析 一、坡印廷定理与坡印廷矢量 二、复介电常数、复磁导率和等效复介电常数 三、电磁位及其积分解 四、电磁辐射 五、均匀平面电磁波 六、导引电磁波,绪 论,一、“电磁场”课程的地位、作用与任务 二、引言 三、学习方法 四、本课程学时分配建议,一、“电磁场”课程的地位、作用与任务,“电磁场”是高等学校电气信息类专业的一门技术基础课，其主要任务是：(1)在“大学物理”电磁学的基础上，进一步阐述宏观电磁场的基本规律，并根据电气信息类各专业工程实际的需要，介绍有关电磁技术应用的基本知识；(2)应用场的观点，培养学生对电气信息工程中的电磁现象和电磁过程进行定性分析与判断的初步能力，并进而掌握定量分析的基本技能；(3)通过电磁场理论的逻辑推理，培养学生正确的思维方法和严谨的科学态度。,“电磁场”课程的地位与作用：“电磁场”课程内容是电气信息类专业本科生所应具备知识结构的必要组成部分电气信息类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特定范围、条件下的体现，因此，分析电磁现象的定性过程和定量方法是电气信息类各专业学生掌握专业知识和技能的基础；近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点和新兴边缘学科发展的基础；教学实践证明，本课程不仅将为电气信息类学生专业课的学习提供必须的知识基础，而且将增强学生面向工程实际的适应能力和创造能力，关系到学生基本素质培养的终极目标。,二、引言1.什么是场？物理概念上的描述：“在遍及一个被界定的或无限扩展的空间内，存在着某种必须予以重视、研究的效应”。例如，温度场T(x,y,z,t)、重力场F(x,y,z,t)，以及电场E(x,y,z,t)、磁场B(x,y,z,t)等对应于相应物理效应客观存在的物理场；数学意义上的描述：“给定区域内各点数值的集合，并由此规定了该区域内某一特定量的特性”。,2.本课程的理论体系宏观电磁理论 1865年英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)建立的著名的麦克斯韦电磁场方程组是宏观电磁理论体系的基础。宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是：场域(即场空间)中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速；场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。本课程所讨论的任一场点，即意味着大量分子的集合 场域中的媒质被看作为“连续媒质”该场点处的电磁性能归结为对应的宏观统计平均效应的表征，即通过宏观等效的物性连续参数(如电导率、磁导率和介电常数)予以描述。因而，宏观电磁理论也被称为“连续媒质电动力学”，但决不等同于“量子电动力学”或“相对论电动力学”，后者已分别延拓到微观粒子或高速运动体系中电磁现象和过程的研究领域。,3.工程电磁场问题的观察点“电磁场的有效控制和利用”无论从理解近代科学技术成果或者从发展并实现新的科学技术成果评价，电磁场理论及其应用不仅是日趋发展的电工、电子和信息科学技术的重要基础，而且也是旁及军事、生态、医疗、地质等众多领域新科学技术的生长点。这一切都可聚焦于“电磁场的有效控制和利用”的基本观察点上，例如：浦东国际机场磁悬浮线（EMS型磁浮列车）和日本山梨磁悬浮试验线（EDS型磁浮列车）；电磁探测（应用于油、气、矿藏、地层结构探测和气象预测等遥感、遥测技术）；电子束曝光、离子束注入技术（大规模集成电路芯片制造）；现代战争中的电磁技术（导弹防御系统、隐身飞机、巡航导弹、GPS系统、信息干扰等）；广播、电视、移动电话、微波通信和光纤通信等；电磁热加工技术（感应加热、微波加热和微波炉等)；生物医学工程中的电磁技术（核磁共振CT、X线透视和肿瘤热疗法等）；超导储能技术；高能量密度的百万kW级汽轮、水轮发电机设计、制造（优化）技术；1000kV超高电压电力系统及其装置的设计、制造（优化）技术；磁流体发电技术；纳米微晶磁性材料的应用；卫星太阳能发电站；,4.知识就是力量“电磁理论及其应用技术”是当代 高层次电气信息类科学工作者和工程师必须具备的基础 知识和能力,电磁物理概念和有关数学分析工具应用的最佳结合当代大学生 知识、能力和素质培养的现实需要；走向生活和工作岗位后再学习、再创造的知识和能力的基础；面向终身学习需求必要的知识和能力基础。,三、学习方法 电磁场理论体系完整、简练，内涵丰富、概念性强，且较抽象。同时，应用数学知识与工具较多，涉及知识面宽，故更需要注意科学的学习方法1.深入理解，建立正确的物理概念，并熟练运用必须的数学 知识和工具 实践证明，正确理解物理概念是学习中困难的主要方面，故需抓住此主要矛盾，通过深入钻研，使之得以缓解。本课程学习将遵循数学建模、分析的主线索展开，因此，除微积分基础知识外，矢量分析与场论、数理方程(偏微分方程)与特殊函数等数学知识和工具都应成为定性乃至定量分析电磁场问题所必备的知识基础。2.掌握常用分析、计算的方法 通过例题、习题等环节不断提高逻辑思维、分析与解题能力，这也是理论联系实际、通过实践能动地理解和深化概念的过程。,3.逐步建立工程分析的观点 本课程终极目的在于培养学生分析和解决工程电磁场问题的基本能力。4.正确的学习态度和方法 刻苦钻研，独立思考；科学的方法论：运用演绎法(由一般到特殊)、类比法和归纳法等，以努力提高学习效率和改善学习效果；科学地安排、计划学习时间；及时做好课程的预、复习。,四、本课程学时分配建议,本课程参考学时：60学时。以电气工程类专业为例，学时分配比例建议如下：1.绪论(含可视化教材的演示)2学时 2.电磁场的数学物理基础 6学时 3.静态电磁场I：静电场 16学时 4.静态电磁场II:恒定电流的电场和磁场 14学时 5.准静态电磁场 6学时 6.动态电磁场与电磁波 12学时 7.实验 4学时 若在信息工程类专业授课，则宜将“动态电磁场与电磁波”学时数增至 20学时，而将“静态电磁场I:静电场”与“静态电磁场II：恒定电流的电场 和磁场”学时数分别减为12学时和10学时。,第1章 电磁场的数学物理基础,1.1 电磁场的物理模型及其分析问题 1.2 关于源量的注释 1.3 矢量分析教学中的若干讨论点 1.4 关于亥姆霍兹定理的注释 1.5 电磁感应定律的推广 1.6 电流概念的扩充 全电流定律,1.1 电磁场的物理模型及其分析,根据电磁现象和过程分析的物理模型构造的本质，可建立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。,电路分析：,电磁场分析：,以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1)给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2)运用相应的分析计算方法；(3)解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。,电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。源量q(r,t)和i(t)分别用来描述产生电磁场效应的两类场源。,1.源量(电荷)q(r,t)电荷是物质基本属性之一。1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。19071913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e=1.602 177 3310-19(单位：C)确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任 何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。,1.2 关于源量的注释,宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的方式来给定带电体的电荷量。理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式：（1）点电荷 q(r,t)：（2）电荷体密度(r,t)：（3）电荷面密度(r,t)：（4）电荷线密度(r,t)：,2.源量(电流)i(t)源于电荷定向运动的电流 i 定义为 可见，电流i为一积分量，不是点函数。鉴于电磁场空间中各点电磁现象和过程变化规律性分析的需要，必须引入对应于源量i(t)分布的点函数形式的描述 体电流密度(简称电流密度)J(r,t),其量值为(单位:A/m2)(1.2)其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。,(单位:C/s或A)(1.1),1.点函数在不同坐标系下的数学描述,例1.1 设标量点函数(r)在直角坐标系下的表示式为(x，y，z)x2y2z，试写出该点函数在圆柱坐标系下的表示式，并以给定点的函数值验证该点函数与坐标系的选择无关。,解 由附录一可知x cos，y sin，zz。代入之，即得在圆柱坐标系下，该点函数应记为(x，y，z)(，z)(cos)2(sin)2z 2z,1.3 矢量分析教学中的若干讨论点,设给定点P(x，y，z)，其直角坐标为x1，y1和z1；同样由附录一可知该点P对应的圆柱坐标为，和z1。因此可得标量点函数(r)在直角与圆柱坐标系中对应于P点处的函数值分别为:P(x，y，z)P(1,1,1)=12+12-1=1和 P(，z)P(,1)()2-1=1两者结果相同。同理可继续逐点验证，其结论是：点函数值与所采用的坐标系无关。,2.标量场梯度的物理概念及其数学描述,可通过上山、爬坡，乃至山地区域中公路、铁路线建设的实践，深化关于梯度的物理概念。并通过讨论以下例题，进一步结合数学描述，深化对梯度物理概念的理解。,例1.2 设一标量点函数(r)(x，y，z)x2y2z描述了空间标量场。试求：(1)该点函数 在点P(1，1，1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求该点函数 沿单位矢量 el=cos60excos45eycos60ez方向的方向导数，并以点P(1，1，1)处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,解(1)由梯度定义式(1-26),可解出待求P点的梯度为,表征其方向的单位矢量,(2)由方向导数与梯度之间的关联式(1-25)可知，沿单位矢量el方向的方向导数为,对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,而该点的梯度值按式(1-27)可得,为,显然，梯度 描述了P点处标量点函数 的最大变化率，即系最大方向导数，故，恒成立。,设场量仅为空间坐标的函数；不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图1.1 所示。图1.1 divD 表达式的推导用图,3.直角坐标系下散度（）的表达式,由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为,同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为而，故据定义式，在直角坐标系下散度 div D 表达式为应用纳布拉算子，则div D 可记作,4.直角坐标系下旋度(H)的表达式 H=推导(H)z ez 的示意图如图1.2所示。图1.2 H 表达式的推导用图,而,代入之，即得,由此，根据定义可知将指标序 轮换，即可得(curlH)x 和(curlH)y,然后合成之，得引用纳布拉算子，考虑到矢积关系式，H的旋度可记为,5.强调指出以下几个常用的矢量分析的恒等式：l(任意标量函数梯度(V)的旋度恒等于零)；l(任意矢量函数旋度(A)的散度恒等于零)；l l l,本书采用演绎法(由一般到特殊)，在麦克斯韦方程组的基础上，展开描述宏观电磁场基本规律的基本方程体系。展述中，本书同时突出了论述矢量场散度和旋度特性的亥姆霍兹定理，从而以电磁场的散度和旋度构成电磁场的分析基础，逐一阐述各种类型的电磁场，并给出相应的基本场量的计算关系式。亥姆霍兹定理的内涵在于：按定理所述，无限空间中的电磁场作为矢量场F(r),其特性取决于它的散度和旋度特性。该定理表明，任一矢量场F(r)可表示为,(1.3）,1.4 关于亥姆霍兹定理的注释,式中，标量函数为(1.4)矢量函数为(1.5)由此可见，无限空间中的电磁场F(r)惟一地取决于其散度及旋度的分布。同时，根据散度和旋度的物理意义，由式(1.4)和式(1.5)可见，定理也给出了电磁场中场量(r)和A(r)当然，也包含由式(1.3)定义的场量F(r)与场源 散度源F(r)和旋度源F(r)之间的定量关系。,基于亥姆霍兹定理，可对各种类型的电磁场给出如下规律性的描述：(1)无旋场：若场中旋度处处为零，即F(r)0，但其散度F(r)0，则该矢量场F(r)被称为无旋场。由亥姆霍兹定理可知，此时F(r)(r)，由此可见，无旋场F(r)也可通过一个标量函数(r)的引入，等价于该标量梯度场的描述。例如，静电场满足无旋性，E(r)=0，即可借助于标量电位函数(r)的引入，使无旋的矢量场E(r)的描述等价于标量电位梯度场(r)的描述。(2)无散场(无源场或称管量场)：若场中散度处处为零，即F(r)0，但其旋度F(r)0，则该矢量场F(r)被称为无散场。例如，恒定电流的磁场即为一例，满足基本方程B(r)=0和B(r)Jc。(3)一般的矢量场：若场中散度和旋度均不为零，即F(r)0，F(r)0，这类场属一般的矢量场。此时，矢量场F(r)的解答即由式(1.3)给出。,法拉第(M.Faraday)在1831年发现电磁感应现象时，是在特定的导电回路中由实验而总结得出的规律。此后，麦克斯韦把导电回路的概念推广到场域空间的任一假想闭合回路的情况，提出了“涡旋电场”的假设，即只要与该回路相交链的磁通发生变化，即使没有感应电流产生，但在该回路中的任一点总有感应电场Ei存在，因而沿任一闭合回路都会产生感应电动势。这一关于电磁感应定律的推广，其数学描述即归结为麦克斯韦第二方程：(1.6)方程表明，源于感应电场Ei的有旋性，即合成电场E为涡旋场。,1.5 电磁感应定律的推广,例1.3 电子回旋加速器(加速器)可作为麦克斯韦第二方程(1.6)物理含义的实验例证 电子回旋加速器(图1.3)中电磁铁由正弦电流激励，在两磁极中间放置一扁平环形真空室。该加速器内运动电子的加速过程就是在该真空室内由变动的磁场所产生的感应电场来实现的。设电子在真空室中运动是沿着半径为r0的圆周轨道进行的(这一假设的实现将在下面阐述)。在正弦激磁电流由零到最大值的增长过程中(1/4周期)，磁场也将由零单调地增加到某一终值。在这一段时间内，圆周轨道上呈现感应电动势(1.7)式中，是穿过圆周轨道所限定面积的磁通；Ei是由随时间变化的磁场所激励的感应电场。,图1.3 电子回旋加速器的构造原理图,当磁场对圆周轨道中心呈对称分布时，由式(1.7)可知，轨道上任一场点处的感应电场强度值此时，由电子枪射入的电子e(e 0)在Ei作用下受到沿圆周轨道切向的电场力与此同时，电子还受到沿圆周轨道内法向的磁场力式中，B是轨道上电子所在点的磁感应强度。,此时，电子即由时变磁场产生的感应电场加速，并在向心的磁场力作用下，沿逆时针方向在圆周轨道上加速环行。因切向电场力Fe的作用等于切线方向上动量的变化率，即 设电子射入真空室时，00，且初速度v0远小于末速度。在这样的初始条件下，上式积分得 而向心的磁场力Fm则被离心力所平衡，即以初始时刻分析，应有 由式(1.8)和式(1.9)，便得,(1.8),(1.9),(1.10),由此可知，为保证持续加速、能量不断累积的电子始终沿着圆周轨道运动，工程设计要求轨道上各场点处的磁感应强度必须符合式（1.10）。也就是说，该磁感应强度值必须等于轨道所限定面上平均磁感应强度的一半。这一条件可由加强该面中心部分的磁场来实现。,当设定激磁在,当设定激磁在1/4周期的时间内，加速的电子能量可达几亿电子伏特(1eV1.6021910-19J)。这时，移出高能电子，使之去轰击一个“靶”时，即可产生X射线等。这一生动体现了麦克斯韦第二方程物理含义的装置，被用作核物理研究、工业探伤和治疗癌症等。,1.6 电流概念的扩充 全电流定律,麦克斯韦在1861年提出了“位移电流”的假设。据此，磁场不仅可由传导电流产生，而且也可由随时间变化的电场所产生。以下引入如图1.4所示的电容器放电的电路实例，以说明位移电流假设的科学性。,如图所示，当开关S合上后，电容器放电，在含电阻R的由导线连接的电路中，流通的传导电流。由此可见，尽管电容器的两极之,间是相互绝缘的，或从电路观点而言，电路是开断的，但仍有随时间变动的电容器放电电流在电路的导电部分流通。因此，在放电过程中，穿过包围正极板的闭合面S1的电流,这表明基于电荷守恒定律的静态场中传导电流的连续性方程(3-1)已不再满足，显然，需要扩充电流的概念。,另一方面，安培环路定律(1-69)也在分析此实例时遇到了困难。设在图1.4中取由闭合路径l所限定的与导线割切的任意曲面S2，则按安培环路定律有。但是，若取由闭合路径l所限定，而不与导线割切的曲面S3，则因S3面中没有传导电流穿过，应有。这同样表明，安培,综上所述，应可看出，如果电流连续性原理得到扩展，则上述两方面问题将随之化解。,环路定律的应用需要扩展概念。,麦克斯韦根据电荷守恒定律，令流出闭合面S1的传导电流ic等于该面内电荷q的减少率，即,从而，按高斯定理(1-84d),上式可以写成,(1.11),麦克斯韦将穿过S1面的电位移通量的变化率称为位移电流iD，即,(1.12),于是，可定义位移电流密度为,(1.13),应指出，位移电流密度JD 的方向与dD 的方向一致。,在引入位移电流iD，扩充了电流概念的基础上，则式(1.11)的物理意义显然是：在包围电容器正极板的闭合面S1上流出的传导电流ic等于流入其的位移电流iD，从而保持了电流的连续性。同时，安培环路定律也由此扩展为全电流定律(1-79)。,第2章 静态电磁场：静电场,2.1 基本内容与要求 2.2 教学重点解析 一、电介质的极化 极化电场 二、静电场边值问题的构造 三、分离变量法及其应用,四、镜像法及其应用 五、关于部分电容概念的讨论 六、虚位移法 七、基于法拉第观点分析电场力 八、场图示例,2.1 基本内容与要求,理解结合亥姆霍兹定理应用所给出的电场强度E 与电位 的定义及其物 理涵义。理解、掌握静电场的基本方程，并理解其物理意义。静电场的无旋性，即电场强度的线积分与路径无关的性质，以及电场强 度与电位之间的关系。掌握叠加定理。对自由空间中的静电场，会应用矢量积分公式计算简单 电荷分布产生的电场强度与电位；对于呈对称性分布特征的场，能熟 练运用高斯定理求解其电场强度与电位分布。了解媒质(电介质)的线性、均匀和各向同性的含义。了解电偶极子、电偶极距的概念及其电场分布的特点。了解极化电荷、极化强度P 的定义及击穿场强的概念。了解通过极化电荷求极化电场分布的积分公式。理解电位移矢量D 的定义，以及D、E 和P 三者之间的关系。对电介质中 的静电场，会求解具有相应对称性的场分布。,掌握电位所满足的微分方程(泊松方程和拉普拉斯方程)，以及E、D和 在不同媒质分界面上的衔接条件，能写出典型静电场问题所对应的数学 模型边值问题，并能求出一维边值问题的解，以及运用分离变量法能 求出在直角坐标系下二维边值问题的解。会定性绘制场分布图。理解边值问题解的惟一性定理。掌握镜像法。能应用镜像法求解与圆柱、平板、球形导体相关，或以平面 为界面的两种无限大介质中的静电场问题。掌握电容参数计算的原则与方法。了解多导体系统的部分电容、工作电容 的概念。理解静电屏蔽概念。理解电场能量及能量密度的概念，掌握具有对称性场分布特征的电场能量 及其能量密度的计算方法。掌握基于电场强度定义公式的电场力的求取方法。理解广义力和广义坐标 的概念、能量与力之间的功能平衡关系。会应用虚位移法求电场力。了 解法拉第计算力的观点，并能根据场图分析受力情况。,物质的原子结构模型可追溯到1911年卢瑟福“有核结构模型”；其后，基于普朗克和爱因斯坦的量子化概念，1913年丹麦物理学家N.玻尔将原子结构与光谱相联系，提出了玻尔模型；1924年德布罗意德的电子波粒二重性学说又进一步深化了微观粒子(原子)结构的科学观。物质的原子以一定的方式、通过化学键的连接构成了分子，由此组成了物质。因此，引入电场的电介质，其基本特征是它所含的自由带电粒子极其微少，实际上可以说，它的全部带电粒子是被原子内在力、分子内在力或分子间的力紧密束缚着，故这些粒子的电荷被称作束缚电荷。这样，电介质在静电场中的行为特征，可看作束缚电荷在真空中外电场作用下的响应，即所谓电介质的极化现象。,2.2 教学重点解析,一、电介质的极化 极化电场,取决于无极分子电介质(H2,N2,O2,CH4,CCl4等物质)或有极分子电介质(H2O,N2O,SO2和有机酸等物质)不同的物质内部结构，借助于电偶极子的物理模型，它们在真空中外电场E0作用下，呈现的位移极化现象或取向极化现象分别如图2.1和图2.2所示。无极分子电介质：在E00的情况下，其分子内所有正、负电荷作用中心是重合的，呈电中性。而在外电场E0作用下，由于正、负电荷受到相反方向的电场力，二者作用中心发生相对位移，形成一个感生的电偶极子，对外显现电性，即所谓位移极化现象。有极分子电介质：在E00的情况下，其分子内所有正、负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子，但因热运动所致，分子电矩P(=qd)取向杂乱无章而相互抵消，对外呈电中性。在外电场E0作用下，有极分子的电矩发生转向，这时，其等效电偶极子电矩的矢量和便不再为零，对外显现电性，即所谓取向极化现象。,图2.1 无极分子电介质的位移极化现象,图2.2 有极分子电介质的取向极化现象,图2.3 电介质中的电场,在宏观分析极化现象时，不必区分以上两类极化现象的不同内涵，而共同归结为真空中由正、负束缚电荷构成的电偶极子所呈现的极化电场效应。因此，有电介质存在的电场就是带电体上的自由电荷与极化形成的电矩共同在真空中产生的合成电场。,例2.1 分析理想平板电容器极板间电介质中的电场（图2.3）。分析 设该平板电容器两极板上分布的自由电荷面密度分别为 和-。当电极之间为真空时，电容器内的电场强度E0的量值，其方向与电极平面垂直，且均匀分布。当在电极间插入均匀且各向同性的电介质 时，则如图2.3所示，电介质中将产生极化效应，且仅在该电介质两表面处分别呈现面密度为P 的正、负极化电荷分布(其内部极化电荷体密度P=-P=0)。由此可见，极化电荷形成的极化电场E的量值，方向如图所示。因此，电介质中的电场（合成电场)为。这表明，在平板电容器极板上自由电荷面密度不变的情况下，有电介质时的电场强度，比真空时的电场强度减弱了由极化电荷所产生的场强。应当指出，如图2.3所示，P 线起始于负的束缚电荷而终止于正的束缚电荷；E 线起始于正的自由电荷或正的束缚电荷而终止于负的自由电荷或负的束缚电荷。,图2.4 双层电介质的极化效应,例2.2 以理想平板电容器中放置双层电介质为例，分析两种电介质交界面处的电场和电场强度E。,分析 设所分析的两种电介质1和2如图2.4所示，在均匀外电场作用下，产生极化效应。同上例，仅在该两种电介质的表面处分别呈现面密度为P1和P2的正、负极化电荷分布。根据两种不同介质分界面上的边界条件节)，由图可见，在交界面的法线方向上，D1=D2=D=，即因已知 P1P1enP1nP1 和 P2P2enP2nP2，代入上式，可得 今设 12(非同一电介质)，故 P1P2，即 P0。这表明，交界面上介质的不均匀性导致了交界面上净束缚电荷的出现。换句话说，交界面形成为电场线E 的源，表明交界面上电场强度E 发生突变。值得指出，如图2.4所示，D 线起始于正的自由电荷而终止于负的自由电荷。,二、静电场边值问题的构造,(1)静电场分析计算的一般方法边值问题(Boundary Value Problem，简称为 BVP)。在数学模型构造的立意上，边值问题也被称为偏微分方程的定解问题，或数学物理方程的定解问题。(2)静电场边值问题：通常选取电位函数r为待求场函数，其对应的边值问题(BVP)应构造如下：泛定方程基于r的场的规律性的描述；定解条件由给定工程物理问题所决定的场域边界上的边界条件(Boundary Condition,简记为 BC)。(3)泛定方程泊松方程或拉普拉斯方程,泛定方程的推导：D=E=Const.由散度方程D=E=E+E=E=(单一均匀介质)由旋度方程E=0 记拉普拉斯算子2 2=/（若场域内=0）(泊松方程)(E=)2=0(拉普拉斯方程)r/(r 场域V)(2.1)故泛定方程为 2 r=0(r 场域V)(2.2),（4）定解条件场域V 边界S 上的 BC，也称为该边界S 上的边值，可给定为以下三种类型：第一类 BC：即对应于已知各带电导体电位值的情况；第二类BC：即对应于已知各带电导体表面电荷分布的情况(因为带电导体表面S 处 Dn=,即)；第三类BC：,0(r 场域V)2.定解条件BC(边值)：,r/(r 场域V),1.泛定方程：2=,3 rd BVP,2 nd BVP,1 st BVP,注：第一类边值问题（1st BVP）也称为狄利克雷(Dirichlet)问题；第二类边值问题（2nd BVP）也称为诺伊曼(Neumann)问题；第三类边值问题（3rd BVP）也称为柯西(Cauchy)问题。,（5）边值问题的构造,且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的BC 为“衔接条件”，或称之为辅助的BC，即；,当场源分布在离坐标原点的有限距离内，而场域V 扩展至无限远处时，则应给定无限远处的 BC为,通常，当边界S=S1+S2+，且逐片分别给定为1st BC 与2nd BC时，则称之为由混合型 BC 构造的边值问题；在工程问题分析中，常选取 的齐次第二类 BC，这意味着在相应边界S 上给定E 线或场的对称面(线)为相应的 BC；当V 域中存在多种均匀介质时，务须分域定义：iri/i 2iri=(ri Vi,i=1,n)(V=V1+V2+Vn)0,（6）讨论：,三、分离变量法及其应用,（1）分离变量法：当待求边值问题(BVP)的场函数U(r)是两个或两个以上坐标变量的函数时，本方法是直接求解BVP的经典方法。一般说来，当场域边界面(线)和某一正交曲线坐标系的坐标面(线)相吻合时，它往往是一种简便而有效的方法。对于泛定方程为拉普拉斯方程的BVP，分离变量法的具体求解步骤是：结合场域边界几何形状的特征，选用适当的坐标系，以给出问题的数学模型(BVP)；设待求场函数由两个或两个以上各自仅含一个坐标变量的函数的乘积所组成，并把这假设的函数(试探解)代入拉普拉斯方程，借助于“分离常数”，原来的偏微分方程就可相应地转换为两个或两个以上的常微分方程；解出所得常微分方程的通解，并按试探解结构得出待求偏微分方程的特解，再按线性偏微分方程的特征，由叠加原理构成偏微分方程的通解(一般解)；根据问题所给定的定解条件，逐一确定上述偏微分方程通解中各个待定的积分常数和本征值，最终可得待求场函数惟一确定的解答。,(2)直角坐标系中的平行平面场问题节)例如，接地金属槽，矩形波导内的电磁场，忽略曲率半径的电机定、转子间的气隙磁场，矩形截面的汇流排等均可归属为这类典型分析问题的应用背景。例2.3 一长直接地金属槽的横截面如图2.5所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位。求槽内的电位分布。解本问题理想化为平行平面场问题。根据边界面的形状，采用直角坐标系，如图2.5所示。槽内电位(x,y)满足拉普拉斯方程，构成如下的第一类边值问题：,本例电位函数(x,y)的一般解为教材式(2-76)。现由给定的边界条件确定该一般解中的各个待定常数。由式(2.4)可知：,由式(2.5)可知：,即,由式(2.6)可知,由此可见，与分离常数 相关的待定常数mn 取值应为,将式(2.7)代入上式，则得,于是，由比较系数法得,故本题所含本征值，对应的本征函数为 和。这样，最终的待求电位(x,y)的确定解为,(2.8),(2.9),所以,其相应的等位线分布如图2.5所示。,值得指出，鉴于场分布的对称性，本例分析也可压缩在 场域内进行，当然，这时定解条件需作相应变化(应引入对称线AA条件：)。尤其在数值求解法应用中，这样的处理方法将显著地提高计算效率及其经济性。,例2.4 一长直接地金属槽的横截面如图2.6所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位0。求槽内的电位分布。为确定待定的En，对于上式的处理方法，除书例2-13中的处理方法外，尚可按在区间l，l上展开 傅里叶正弦级数的系数bn 的计算关系式，即,解本例数学模型构造同前例，仅定解条件式(2.7)需改为如下形式的定解条件:,显然，分离变量法的求解过程也与前例类同，式(2.8)应改为,(2.11),(2.10),计算之。,为此，对于本例，可延拓 x 的区间为a，a，这样可得,从而，最终的待求电位(x,y)的确定解为,(2.12),其相应的等位线分布如图2.6所示。,(3)圆柱坐标系中的平行平面场问题节)(4)圆柱坐标系中的轴对称场问题 当场域结构如图2.7所示，对z 轴呈旋转对称分布特征时，则如图选择圆柱坐标系，待求场函数(，z)=(，z)，仅与圆柱坐标变量、z相关。此时，应用分离变量法，设试探解(，z)R()Z(z),代入拉普拉斯方程20，即可将给定的偏微分方程分离为两个常微分方程联立求解的问题。应指出，这时对应于函数R()的常微分方程的解答不能应用初等函数予以表达，而必须归结为一类特殊函数(贝塞尔函数)的表述式。,图2.7 圆柱对称的轴对称场结构,(5)球坐标系中的轴对称场问题 当场域结构如图2.8所示，对z 轴呈旋转对称分布特征时，则如图选择球坐标系，待求场函数(r，)=(r，)，仅与球坐标变量r、相关。此时，应用分离变量法，设试探解(r，)R(r)H(),代入拉普拉斯方程20，即可将给定的偏微分方程分离为两个常微分方程联立求解的问题。应指出，这时对应于函数H()的常微分方程的解答不能应用初等函数予以表达，而必须归结为一类特殊函数(勒让特函数)的表述式。,图2.8 球形域的轴对称场结构,四、镜像法及其应用,(1)镜像法(Method of Images，简称IM)：,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,(2)镜像法应用的理论基础静电场解的惟一性定理 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理节)，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法,(3)镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定(镜像电荷的位置、个数及其电量大小“三要素”)；等效求解的“有效场域”。,(4)镜像法应用的示例 例2.5 点电荷与无限大接地导电平面系统电场镜像法的应用原理。分析 以大地上方输电线电场、雷电云形成的大气电场、电力线路对有线通信线路的干扰等工程问题为背景，典型化的基本问题可归结为无限大接地导板上方点电荷激发的电场问题，如图2.9所示。必须明确指出，对于这一典型问题，其场分布(r)既不可能在已知场源分布情况下求解，也不可能运用叠加原理或高斯定理等直接求解法得出其解析解。因此，基于场的惟一性定理，启示我们可否采用别的间接求解法来求得该典型问题的场分布(r)？为此，考察如图2.10(b)所示的一对相距2h，位于无限大单一介质0 空间中的正、负电荷q 所激发的电场。现分析其上半空间的电场是否等同于原问题图2.10(a)的点电荷接地导板系统的电场？,设：如图2.10所示，包围点电荷q 与平面(y=0)作一闭合面S1，并令S1趋向于无限大，即S1 S。同时，包围点电荷q作一微小的闭合面S2，并令S2 0，向点电荷q 收缩。这样，所论场域D 的边界面为(S1+S2)。令图2.10(a)、(b)两问题待求电位函数解分别为1和2，由此分析如下：1)在同样由S1、S2围成的场域D内(上半空间)，泛定方程均满足拉普拉斯方程：210 和 220；2)关于边界面上边界条件的分析：边界面S1上的 BC：已知；而由q 两电荷的叠加效应，显而易见，。边界面S2上的BC：在S2 0向点电荷q收缩的极限情况下，可将S2面看作导体表面，即S2为等 位面，且q 值可看作该等位面上自由电荷面密度 Dn 的通量值。因此 有,对原问题：,对被考察问题：,显然，对比两问题的分析结果可见，电位函数1和2满足同一泛定方程(拉普拉斯方程)，且在边界面(S1+S2)上，满足相同的第一类 BC()和相同的第二类 BC()，因此，根据场的惟一性定理，必有12 成立无疑。,基于以上分析结果，其结论是：点电荷接地导板系统的电场图2.9或图2.10(a)可由相应的如图2.10(b)所示的上半空间的电场予以等效替代。换句话说，原问题导板上未知的感应电荷的分布可用置于场域边界外虚设的点电荷(-q)来等效代替，该虚设的点电荷(-q)位于给定的点电荷q的对称位置(镜像位置)，故特称其为给定电荷q的镜像电荷。从而，这一以等效变换为内核构成的间接求解法即称之为镜像法。必须强调指出的是，在上述镜像法处理中，对应于原问题导板下方 E=0 的非指定的求解域，应等效地置换为导板上方同样的媒质。也就是说，镜像法处理的电场为一无限大单一均匀媒质空间中的电场问题，分析计算过程由此得以明显简化，但解答的有效区域仅为与原问题对应的上半空间，即如图2.10(a)、(b)所示对应的阴影区域。此外，对于本例，确定镜像电荷的“三要素”，其结果显而易见为 镜像位置；1个镜像电荷；与原电荷等电量、异号。,讨论 依例2.5同样的推理方法，不难逐一分析讨论以下各类镜像法的应用原理：l 电轴与无限大接地导电平面系统的电场节)；l 电轴法(2.6.3)节；l 点电荷与无限大介质平面系统的电场节)；l 点电荷与导体球系统的电场节)；对此，教材在“习题解析与解答”中还继续展开了相应的阐述。,例2.6 基于例2.5分析的镜像法应用原理，可推广应用镜像法于以下各类问题的求解：,e0,-,q,q,IM,IM,q,(a)点电荷接地的直角导板系统,e0,e0,(1)点电荷接地的直角导板系统 镜像法(IM)应用的图示如图2.11所示。(2)点电荷角形边界的接地导板系统 节)(3)点电荷两无限大平行接地导板系统 镜像法(IM)应用的图示如图2.12所示。根据应用原理，所得结果为一连续镜像电荷的序列，但因随着连续镜像电荷的生成，其位置越来越远离求解场域D，故问题是收敛的。换言之，可仅取对两导板34次连续镜像处理而生成的有限个镜像电荷与原电荷合成的电场，便能以足够的计算精度逼近于原问题的电场。,图2.11 镜像法推广应用之一,图2.12 镜像法推广应用之三,对于多导体系统，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，显然，这是因为周围导体上电荷的存在必然