分析05-插值法下.ppt

第章,5-1,第五章,插值法（下）,第章,5-2,3 Hermite插值,不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称为Hermite插值多项式记为H(x)，本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的情形。,第章,5-3,3.1 Hermite插值,设已知函数y=f(x)在n+1个互异节点x0,x1,xn上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)和导数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)，要求一个不超过2n+1次的多项式H(x)，使其满足：,这样的H(x)称为Hermite插值多项式。,第章,5-4,引例（续1）,第章,5-5,引例（续2）,第章,5-6,引例的误差估计：,注意到x1是H(x)的二阶零点，x0,x2为其一阶零点，所以：,为确定(x)，作辅助函数：,当t=x时，可选择(x)，使(x)=0t=x,x0,x2为(t)的一阶零点，t=x1为二重零点。因此(t)共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即：,由于H(t)是t 的三次多项式，H(4)(x)=0,第章,5-7,推广至n+1个点,推广至n+1个点的 yi,yi时，利用构造插值基函数的方法，照上述引例，可设：,其中hi(x)和Hi(x)(i=0,1,2,n)满足：（1）hi(x),Hi(x)(i=0,1,2,n)都是不超过2n+1次的多项式；,下面分别确定hi(x)和Hi(x)：,第章,5-8,下面分别确定hi(x)和Hi(x)：,对hi(x)：x=xj(ji)为其二重零点，故应含有因式(xxj)2(ji)，因此可以设为,请注意：直观上应设hi(x)为：,这样来确定a,b较麻烦，上述引入li(x)后，较简单。hi(x)还应满足：,第章,5-9,对Hi(x):,对Hi(x):由于x=xj(ji)为其二重零点，xi为一重零点，故可设:,这样，代回去得:,特别地，当n=1时，有:,第章,5-10,两个节点的三次Hermite插值多项式,因此n=1的三次Hermite插值多项式可用标准化的基函数表示为：,更便于上机使用，上式中h=x1-x0。,通常称之为“标准化”的基函数，而上述三次Hermite插值基函数可由其表示出：,第章,5-11,3.2 误差估计,和引例类似，可导出Hermite插值的误差估计。,定理5.2,设x0,x1,xn为区间a,b上的互异节点，H(x)为f(x)的过这组节点的2n+1次Hermite插值多项式。若f(x)在a,b上2n+2连续可导，则对xa,b插值余项为：,特别地，n=1的三次Hermite插值余项为：,注意与引例的误差估计式，与Lagrange插值的误差 估计式相比较。,第章,5-12,定理5.3,设x0,x1,xn为区间a,b上互异节点，f(x)C(1)a,b，则上述Hermite插值多项式是唯一的。,定理5.3,推论1：不超过2n+1次的多项式在任意n+1个互异节点上的Hermite插值多项式就是其自身。,对于推论2，事实上，可令f(x)=1，f(xi)=0，(i=0,1,n)，显然满足这组插值条件，即得结论。,H(x)为不超过2n+1次多项式，H(2n+2)(x)0于是H(x)H(x)0这表明Hermite插值多项式是唯一的。,第章,5-13,Hermite插值举例,例6,按下表求Hermite插值：,第章,5-14,Hermite插值举例（续）,例7,设：已知函数f(x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f(0)=0，求不超过3次的Hermite插值多项式H(x),第章,5-15,3.3 Hermite插值的一般形式,求一个不超过n+m+1次的多项式H(x)使得:,与前面的讨论类似，可以证明这样的Hermite插值多项式是唯一存在的，其余项为:,这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全部给出，与前面引例相似，举例说明方法。,第章,5-16,Hermite插值一般形式（举例）,例8,按下表求Hermite插值多项式：,解法一：这里有5个条件，所以插值多项式不超过4次，用构造插值基函数hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法，它们分别应满足：,第章,5-17,例8（解法2）,解法2：x=0为二阶零点，故可设插值多项式为,代入条件：,所求四次Hermite插值多项式为：,第章,5-18,4 多项式插值的缺陷与分段插值,4.1 多项式插值的缺陷,在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼近程度也越来越好呢？一般总认为Ln(x)的次数n越高，逼近f(x)的程度越好，实际上并非如此。因为：（1）节点的增多固然使插值函数Ln(x)在更多的地方与f(x)相等，但另一方面在两个插值节点之间Ln(x)不一定能很好地逼近f(x)，有时差异还很大，即高次插值收敛性得不到保证。（2）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积累，即稳定性得不到保证。下面分别举例说明。,第章,5-19,多项式插值的缺陷举例,例如，在区间-1,1上给定函数f(x)=1/(1+25x2)，并将区间-1,1分为n等分，以Pn(x)表n+1个节点的n次插值多项式，图5-4给出了f(x)及P10(x)的图象，从中可以看出，P10(x)在端点附近，误差很大，如f(0.95)=0.24244，而P10(0.95)=1.92363，并且还可画出P4(x)相比较，P10(x)在区间中间能较好地逼近f(x)，比P4(x)好得多，但在端点附近P10(x)的波动很大，可以证明：Pn(x)只在|x|0.726内收敛于f(x)。在0.726|x|1内Pn(x)与f(x)偏离很大，不收敛于f(x)。高次多项式插值产生的这种不收敛现象称为龙格（Runge）现象。,第章,5-20,多项式插值的缺陷举例（续1）,再以Lagrange插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据yi误差yi，假定计算过程中不再产生误差，此时，Lagrange插值多项式为：,故插值的实际误差为：,上式中右端第一项即为插值余项，而第二项为：,这就是节点数据的误差yi所引起的插值误差。可见，yi通过插值基函数li(x)而全面扩散，而插值基函数li(x)在基本插值区间x0,xn内是上下波动的，在区间外，则按距离的n次幂放大，如图5-5所示。当变大时，其波动频率与振幅也随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。,（紧接下屏）,第章,5-21,多项式插值的缺陷举例（续2）,实际上在以Ln(x)近似f(x)时，由误差估计式：,第章,5-22,几点启示,（3）因为高次插值不能用，而实际情况需要将给定的节点全部都用上(区间长度所需要），此时常采用分段低次多项式插值。,以上分析给我们几点启示：,（1）增加节点并不一定能保证在两节点之间插值函 数 Ln(x)能很好地逼近f(x)，即高次插值（如7，8次上）在 实际应用中很少被采用。,（2）插值多项式逼近f(x)时，当f(x)为多项式 时效果非常好，误差为零，而上述Runge现象中f(x)为有理函数，能否寻求用有理分式（而不用多项式）作插值函数。,第章,5-23,启示（4）,（4）由于高次插值可能不收敛，若要精度高，能否考虑寻找一新的逼近函数P(x)，它不是插值函数（不满足插值条件），但却仍然是一简单函数，比如仍为多项式，但P(x)在xi处不一定等于f(x)，而是要求 在整个区间上每一点处P(x)都能在误差允许范围内逼近f(x)，比如 要求其在节点xi处的偏差ri=P(xi)yi(i=0,1,2,n)按某种标准最小以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响。,由于高次插值不能用而引出了上面几点讨论，对出现的 问题进行分析而导致新的方法，新理论的产生，这也正我们在后面学习中的新起点。,第章,5-24,4.2 分段多项式插值,在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段插值多项式，如样条插值。下面介绍几种简单分段插值：,以下几种分段插值都设为：,第章,5-25,1、分段线性插值,已知yi=f(xi)(i=0,1,n)，在每个子区间xi,xi+1上分别作线性插值(i=0,1,n1)。,P1(x)在a,b上为分段一次多项式，它满足插值条件：P1(xi)=yi(i=0,1,n)，在节点处连续，P1(x)的图形为一折线，如图5-6，其几何意义就是用折线去逼近曲线f(x)。,第章,5-26,2、分段抛物插值,P2(x)为a,b上的分段二次多项式，它满足插值条件P2(xi)=yi(i=0,1,n)，在节点x2k处连续。,第章,5-27,3、分段三次Hermite插值,已知 yi=f(xi)，yi=f(xi)(i=0,1,2,n)，在每个子区间xi,xi+1上作Hermite插值，由3中式(5-21)可得：,其中hi=xi+1 xi，0(x)=(1+2x)(1x)2,1(x)=x(1x)2,显然分段三次Hermite插值多项式H(x)满足插值条件H(xi)=yi,H(xi)=yi(i=0 1,2,n)，在节点处一阶导数连续，因此密合程度较好并且为分段光滑函数。,第章,5-28,4.分段插值的余项及收敛性和稳定性,（1）插值余项 利用插值余项结果可得分段线性插值多项式P1(x)在子区间xi,xi+1上的余项估计式。,而在整个插值区间a,b上：,同理可得对分段三次Hermite插值多项式H(x)在xi,xi+1上：,在a,b区间上：,第章,5-29,例9,构造函数y=ln x在x1,10上的等距数表，应如何选取步长h，才能在利用该数表进行分段线性插值时，使误差不超过10-6/2。,例9,第章,5-30,分段插值的余项及收敛性和稳定性（续）,（2）收敛性 设f(x)在a,b上连续，则可以证明，当h0时，上述分段插值多项式P1(x)，P2(x)，H(x)等都一致收敛于f(x)。（3）稳定性 简单分段插值具有突出的局部性质，其每个节点至多只影响到直接衔接的两 个子区间而不远及，因而，节点的数据 误差基本上不扩散，不放大。所以，简 单分段插值具有高度的数值稳定性。,第章,5-31,5 样条插值,分段插值具有良好的稳定性和收敛性，有效地避免了龙格现象的发生，且算法简单，因此在实际应用中占有重要地位，但是，其光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续，满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性有较高要求的计算问题。,例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二阶导数连续。对于分段插值，要增加光滑度，就要采用更高阶的导数值，而这一点实际应用中往往是很难提供的。为解决这一类问题，导致产生了样条插值。,第章,5-32,5.1 样条函数的概念,所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。由此抽象出数学模型称为样条函数。,给定区间a,b的一个划分a=x0 x1xn=b，如果函数S(x)满足（1）在每个小区间xi,xi+1(i=0,1,n-1)上S(x)是m次多项式；（2）S(x)在a,b上具有m1阶连续导数。则称S(x)为关于上述划分的m次样条函数。,第章,5-33,样条函数的概念(续1）,显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用“样条”绘出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述样条函数定义（1）中知，S(x)在每个小区间xi,xi+1上是一个三次多项式，因此需要确定4个待定常数，一共有n个小区间，故应确定4n个参数。由定义中条件（2），S(x)应在n1个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：,共有3(n1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另增加4n3(n1)=n+3 个条件。,第章,5-34,利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。已知函数y=f(x)在区间a,b上的n+1个节点a=x0 x1 xn=b上的值yj=f(xj)(j=0,1,n)，求插值函数S(x)使其满足：（1）S(xj)=yj(j=0,1,n)；（2）在每小区间xj,xj+1(j=0,1,n-1)上S(x)是三次多项式，记为Sj(x)；（3）S(x)在a,b上二阶连续可微。则S(x)称为f(x)的三次样条插值函数，它通过上述给定点，为二阶连续可导的分段三次多项式函数。,5.2 三次样条插值,第章,5-35,三次样条插值（续）,（1）给定两端点处的导数值S(a)=y 0，S(b)=y n，特别地，当y 0=y n=0时，样条曲线在端点处呈水平状态。（2）给定两端点处的二阶导数S(a)=y 0，S(b)=y n，特别地，当y 0=y n=0时，称为自然边界条件。（3）如果f(x)是以b a为周期的周期函数，则S(x)也是应具有同样周期 的周期函数，在端点处应满足S(a+0)=S(b0)，S(a+0)=S(b 0).,由定义，这里增加了n+1个插值条件，要确定S(x)还需要补充两个条件。通常会根据问题的具体情况。在区间的两个端点处给出条件，称为边界条件。常用的边界条件有以下三种：,可以证明，在上述三种边界条件下，三次样条插值问题的解是存在且唯一的。三种边界条件都有它们的实际背景和力学意义。,第章,5-36,三次样条插值举例,已知函数f(x)在三个点处的值为f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1，在区间1,1上，求f(x)在自然边界条件下的三次样条插值多项式。,例10,第章,5-37,三次样条插值举例（续）,这种解法称为待定系数法，当n较大时，由于要解4n阶的线性方程组，工作量太大，因此，一般不采用待定系数法，而考虑另外的较简单的方法，即取节点上的导数或二阶导数值为参数，来导出三次样条插值函数的表达式。,第章,5-38,1.以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数,其中积分常数c1,c2可由插值条件Sj(xj)=yj，Sj(xj+1)=yj+1确定：,（紧接下屏）,第章,5-39,这就是在每个小区间Sj(x)的表达式（M表达式）,建立M表达式,第章,5-40,建立关于M的关系式,下面建立关于M的关系式（等式，即方程组）确定Mj，插值条件已用，假定二阶导数已知，即二阶连续条件已用，因此要用一阶导数连续来建立等式。对Sj(x)求一次导得：,因为是在xj,xj+1上，所以可代入x=xj，x=xj+1,（紧接下屏）,第章,5-41,建立关于M的关系式（续1）,Sj-1是xj的左边区间xj1,xj上的函数，故有等式：,第章,5-42,建立关于M的关系式（续2）,整理得：,第章,5-43,建立关于M的关系式（续3）,式（5-22）称为M关系式，对于所有内点j=1,2,n1成立。式（5-22）展开后为,n 1个方程含有n+1个参数M0,M1,Mn,按其力学意义，称为三弯矩方程，系数 j,j,cj可预先求出来。,第章,5-44,M关系式的三种边界条件,要由上述M关系式确定所有参数，需要根据问题的具体情况，利用边界条件补充两个方程。下面就三种边界条件，分别进行讨论。,1）如果问题要求S(x)满足边界条件（1）由式（5-20）得,化简得：,第章,5-45,M关系式的三种边界条件（续1）,式（5-25）与（5-23）联立，即得到关于n+1个参数M0,M1,Mn的n+1阶线性方程组，其矩阵形式为：,（2）如果问题要求S(x)满足连界条件（2）即给出了：,此时方程组（5-23）实际上只有n 1个未知数，这仍是三对角方程组，可直接用追赶法求解。,第章,5-46,M关系式的三种边界条件（续2）,（3）如果问题要求S(x)满足周期边界条件（3），f(x)以b a为周期，则 S(x)也以b a为周期，即在端点处应满足：,可转化为两个方程，补充到（5-23）中。,以上式作为最后一个方程进行整理，注意到M0=Mn有：,（紧接下屏）,第章,5-47,M关系式的三种边界条件（续3）,并且因M0=Mn所以将（5-23）中第一个方程 1M0+2M1+2M2=c1 改写为,这样，将式（5-27）代回（5-23）中并与（5-26）联立，得到n阶方程组：,第章,5-48,M关系式的三种边界条件（续4）,在上述三种情况下的线性方程组是三对角或广义三对角的，其系数矩阵均为严格对角占优，因此方程组有 唯一的一组解M0,M1,Mn，求出后代入“M表达式”（5-19），即得三次样条函数，方程组中每个方程都连系三个Mi，参数Mi在力学上的意义为细梁在xi 截面处的 弯矩，因此上述方法又称为三弯矩插值法。,第章,5-49,2.以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数,同前面讨论类似，也可以假定xj,xj+1上的一阶导数S(xj)=mj(i=0,1,2,n)为已知，以mj作参数表示S(x)（得到m表达式），再由m关系式确定mj，求出S(x)。在xj,xj+1上；有对应的 yj，yj+1 和S(xj)=mj S(xj+1)=mj+1首先利用前面的分段三次Hermite插值 可构造：,这样构造的Sj(x)已满足插值条件，在内点的连续条件：,第章,5-50,以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数（续1）,为使Sj(x)为三次样条函数，即Sj(x)应连续，同时为确定参数mj，对Sj(x)在xi,xi+1求二次导数：,第章,5-51,以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数（续2）,第章,5-52,以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数（续3）,称（5-30）为三次样条的m关系式，按其力学意义，mj为细梁在xj截面处的转角，也称为三转角方程，方程组（5-30）含有n+1个未知数，n1个方程，与对M关系式的讨论类似，增加边界条件（1），（2）后，可得关于参数mj的三对角方程组，增加边界条件（3），得广义三对角方程组。这些方程组的系数矩阵同样为严格对角占优阵，故方程组有唯一解，求解出参数mj(j=0,1,n)后代入（5-28），即得三次样条插值函数。,第章,5-53,三次样条插值函数举例,例11,已知函数表：,求满足边界条y(0)=1,y(3)=0,的三次样条插值函数。,解如果用三弯矩方程求解，由已知hj=1(j=0,1,2,)，按式（5-21）和（5-25）计算方程组的系数及右端顶，结果如下：,将上述数据代入式（5-23）和（5-25）得方程组:,第章,5-54,例11(续),第章,5-55,例11(续)三转角方法求解,如果用三转角方程求解，由式（5-29）：,将上述数据及m0=1,m3=0代入式（5-30），得三转角方程：,将此解代入式（5-28），即得三次样条插值函数的分段表示式：,比较上面两种解法，对第一种边界条件，用三转角方程计算较简便。,第章,5-56,计算三次样条插值函数的步骤,（1）根据给定的点(xj,yj)及相应的边界条件 计算j,j,cj或dj。一般地，对第一种边 界条件用三转角方程，对第二种边界 条件用三弯矩方程较为简便；（2）解方程组（5-23）或（5-30），求出 参数Mj或mj；（3）将求得的参数代入式(5-19)或(5-28)，即得三次样条插值函数S(x)的分段表 示式。,小结计算三次样条插值函数的步骤为：,第章,5-57,三次样条插值函数的收敛性,设f(x)在a.,b上四次连续可微，S(x)为f(x)在a,b上的三次样条插值函数，则:,证明略。,定理5.4,第章,5-58,三次样条插值函数的收敛性（续）,定理5.4表明，当分划小区间的长度趋于零时，S(x)及其一至三阶导数分别一致收敛到f(x)及其一至三阶导数，因而，为提高精度只需加密分划节点，不需要提高样条函数的次数。由于样条插值有这样好的性质，因此它应用十分广泛，在外形设计及计算机辅助设计的许多领域中，都是十分有效的数学工具。三次样条插值有明确的力学背景：样条曲线可以看作是弹性细梁受集中载荷作用而生成的挠度曲线，在扰度不大的情况下，这种扰度曲线在数学上恰好表现为三次样条函数，集中载荷的作用点就是三次样条函数的节点。,第章,5-59,小 结,简单地比较前面所述的几种插值方法，它们各有优缺点。多项式插值宜用较低次多项式，例如：n 6，当次数较高时，收敛性与稳定性均较差。分段线性插值或分段低次插值具有较好的稳定性与收敛性，且计算简便，但光滑程度较差。样条插值克服了这一缺点，并具有良好的收敛性，但其计算复杂，稳定性不如分段插值。进一步的讨论可参看有关资料。,第章,5-60,例1求证：存在三次多项式满足下面函数表,证：由于表中给出了六个点的函数值，根据Newton插值公式，一般情况下可以构造出一个5次插值多项式，这个5次多项式必然满足上面函数表。构造差商表如下：,第章,5-61,例1（续）,一般情况下，给定n+1个节点，可构造一个n次插值多项式，若得到低于n次的插值多项式，称为“退化”情况，利用Newton插值，很容易检查出是否为“退化”情况，因为利用差商（差分）表，当某一阶差商（差分）为常数时，则下一阶差商（差商）必定为0，此时必会出现“退化”情况。,由上表知，由于四阶差商以上均为0，所以这个5次多项式实际上是3次多项式：,故存在三次多项式满足是所给的函数表。,第章,5-62,例2 Runge现象的发生和防止,对区间 作等距划分：，分别取 以 为节点，对函数：,按下述方案进行插值计算，并比较其结果。,方案I 拉格朗日插值；方案II 分段线性插值；方案III 三次样条插值。,解 这里只将求解后的部分数值结果列于表1中。由此可以看到，拉格朗日插值的效果并没有随n增大而变化，与此相反，在区间端点附近，反而发生了激烈的振荡，即出现了龙格现象。而分段线性插值、三次样条插值都能较好地逼近，且随着n的增大，逼近效果更好，反映了分段线性插值和三次样条插值的一致收敛性，防止了龙格现象的产生，从表中数据可以看到，三次样条插值的精度比分段线性插值更高。,第章,5-63,表1,第章,5-64,例3 反插值,给出函数 的函数表（表2），试利用此数表求使 的x值。,表2,解 插值是利用函数y=f(x)的已知数据求给定的自变量x所对应的函数y 的近似值。而本题则是求已知函数值y 所对应的自变量x之值。如果函数y=f(x)的反函数 存在，则可把所给数据值y视为自变量取值，而把x的值视为函数值，对反函数 进行插值，即可求得欲求的x，这样的问题称为反插值。,第章,5-65,表3,由于 为单增函数，所以其反函数存在，现用牛顿插值法求解该问题。首先构造反函数的差商表3。,例3 反插值(续1）,第章,5-66,根据差商表 可得 的牛顿插值多项式：,从而可得y=5所对应的值x为:,例3 反插值(续2）,反插值法还可用于方程f(x)=0的近似求根。对函数y=f(x)进行反插值，求y=0所对应的x值，即为方程f(x)=0的近似根。,第章,5-67,例4 插值法的事后误差估计,已知，试用线性插值求 的近似值，并估计插值误差。,解 要用线性插值f(x)求在点x=125的值，可取x0=121,x1=144 为插值节点，记线性插值式为p1(x)。经计算易得:,但是，由于不知道f(x)的解析式，故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。为此，下面用另外一种方法来估计误差。设以x0=121,x2=100为节点的线性插值式为，则有:,第章,5-68,例4 插值法的事后误差估计(续1）,其中 均属于由x0,x1,x2和x所决定的区间。假设 在该区间内变化不大，则将上面两个式子相除，消去近似相等的 和，结果有:,整理得:,（1）,由此可得p1(x)的误差估计:,这表明,p1(x)的插值误差f(x)-p1(x)大致等于：,按此估计式，只要再计算出：,第章,5-69,例4 插值法的事后误差估计(续2）,进一步还可以考虑用事后误差估计式（1）对p1(x)进行修正。因为式（1）给出了p1(x)的大致误差值，如果用这个误差值作为的p1(x)一种补偿，得到:,可以期望，p2(x)是f(x)的更好的插值结果。,在本题中，利用上述p2(x)可以算得:,事实上，被插值函数f(x)为，按上述方法得到的插值结果与抛物插值的结果相同，精度的确提高了。,值得说明的是，这并不只是简单的巧合。将式（2）展开即可证明，上述p2(x)就是抛物插值多项式。根据这种思想，人们还建立了逐步线性插值的埃特金插值法。,第章,5-70,插值上机实验题,龙格现象的发生、防止和插值效果的比较,对下列函数：,对区间5，5作等距划分：,上的值，并给出插值函数的图形。,分别按给定方案进行插值，计算其在点：,第章,5-71,插值上机实验题(续）,将计算结果按表1的形式排列。对照函数的准确值，观察同一方案、不同n的的计算结果的变化状态，不同方案结果的精度比较，有无龙格现象发生。,方案I 分别取n=10,20作拉格朗日插值;,方案II 分别取n=10,20作分段线性插值;,方案III 分别取n=10,20作I型三次样条插值.（利用上述函数计算端点处的一阶导数值）,第章,5-72,第五章,结 束,