6[1].1向量及其线性运算.ppt
2023年9月17日4时35分,(共31张),1,高等数学（下册）,主讲：陈银辉,注意：,1.课堂必须保持安静，有问题请 举手。2.上课严禁玩手机，睡觉。3.课堂练习必须认真对待。4.课后作业必须认真独立完成，严禁抄袭；作业书写须工整，不得把作业本当草稿本。5.上课有意见直接向老师提，不得私下发牢骚扰乱课堂。,2023年9月17日4时35分,(共31张),2,考试：总成绩=平时 0.3+期末0.7,平时满分30，根据作业完成情况和课堂表现给分。基点为20分，迟到5分钟以上一次 扣一分，点名一次不到扣2分，抄作业一次扣1分。作业得A一次加1分，课堂回答问题正确一次加1分，加到30分为止。,2023年9月17日4时35分,(共31张),3,第六章空间解析几何与向量代数,这一章，我们为学习多元函数微积分学作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时也是一种很重要的数学工具。,2023年9月17日4时35分,(共31张),6,数量关系,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点,线,面,坐标,方程（组）,向量代数与空间解析几何,本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类平面，直线，常用的曲面和曲线。,重点,向量及其坐标表示,向量的数量积，向量积,直线与平面方程,难点,空间图形的想象能力和描绘能力,基本要求,弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的 距离,掌握向量概念，会用坐标表示向量,掌握向量代数的基本知识,熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件 并能正确运用。,掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两平面是否平行、垂直，会求两平 面的夹角及点到平面的距离,掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面 平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和 平面的夹角,掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面 和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图,2023年9月17日4时35分,(共31张),10,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,2023年9月17日4时35分,(共31张),11,表示法:,向量的模:,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量.,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,一、向量的概念,2023年9月17日4时35分,(共31张),12,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k,个向量共面.,2023年9月17日4时35分,(共31张),13,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,二、向量的线性运算,2023年9月17日4时35分,(共31张),14,2023年9月17日4时35分,(共31张),15,2.向量的减法,三角不等式,2023年9月17日4时35分,(共31张),16,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,2023年9月17日4时35分,(共31张),17,定理1.,设 a 为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数 的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,2023年9月17日4时35分,(共31张),18,则,例1.设 M 为,解:,2023年9月17日4时35分,(共31张),19,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,三、空间直角坐标系,2023年9月17日4时35分,(共31张),20,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,2023年9月17日4时35分,(共31张),21,坐标轴:,坐标面:,2023年9月17日4时35分,(共31张),22,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,2023年9月17日4时35分,(共31张),23,设,则,平行向量对应坐标成比例:,四、利用坐标作向量的线性运算,2023年9月17日4时35分,(共31张),24,例2.已知两点,在AB直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,2023年9月17日4时35分,(共31张),25,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,2023年9月17日4时35分,(共31张),26,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,五、向量的模、方向角、投影,2023年9月17日4时35分,(共31张),27,例3.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,2023年9月17日4时35分,(共31张),28,例4.在 z 轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?,离的点.,2023年9月17日4时35分,(共31张),29,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,2023年9月17日4时35分,(共31张),30,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,2023年9月17日4时35分,(共31张),31,方向余弦的性质:,2023年9月17日4时35分,(共31张),32,例5.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,2023年9月17日4时35分,(共31张),33,例6.设点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,2023年9月17日4时35分,(共31张),34,空间一点在轴上的投影,3、向量在轴上的投影,2023年9月17日4时35分,(共31张),35,空间向量在轴上的投影,2023年9月17日4时35分,(共31张),36,空间一向量在轴上的投影,2023年9月17日4时35分,(共31张),37,关于向量的投影性质（1）,2023年9月17日4时35分,(共31张),38,关于向量的投影性质（2）,（可推广到有限多个）,2023年9月17日4时35分,(共31张),39,关于向量的投影性质（3）,2023年9月17日4时35分,(共31张),40,练习:已知两点,和,，试求向量,在,轴上的投影、在,轴上的分向量、,的模、,方向余弦及方向角,答案:,2023年9月17日4时35分,(共31张),41,P192 17,23,作 业,
