《高等流体力学》习题集与基本知识8.docx

高等流体力学复习题一、基本概念1 .什么是志向流体？正压流体，不行压缩流体？答:教材P57当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽视不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为志向流体。内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。流体的体积或密度的相对变更量很小时，一般可以看成是不行压缩的，这种流体就被称为不行压缩流体，2 .什么是定常场；匀称场；并用数学形式表达。I答：假如一个场不随时间的变更而变更，则这个场就被称为定常场。其数学表达式为：=（r）假如一个场不随空间的变更而变更，即场中不显含空间坐标变量；，则这个场就被称为匀称场。其数学表达式为：=（t）3 .志向流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？答志向流体运动时无切应力。粘性流体静止时无切应力。但是，静止时无切应力，而有粘性。因为，粘性是流体的固有特性。4 .流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？图:教材PUSM23假如流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。对于无旋流淌来说，其速度场？总可以由某个速度标量函数（场）的速度梯度来表示，即q=N,则这个标量函数（场）火;"）称为速度场比的速度势函数。无旋运动与有势运动的关系：势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。5 .什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？）答卜6 .平面流淌中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？图:教材P126/27志向不行压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。7 .什么是第一粘性系数和其次粘性系数？在什么条件下可以不考虑其次粘性系数？Stokes假设的基本领实依据是什么？图:教材P89第一粘性系数:反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数；其次粘性系数':反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。对于不行压缩流体，可不考虑其次粘性系数。Stokes假设的基本领实依据：平均法向正应力就是压力函数的负值，即体变形粘性系数2,=/+=Oo8 .从运动学观点看流体与固体比较有什么不同？图:教材P55若物质分子的平均动能远小于其结合能，即JmJ<<AE,这时物质分子间所形成的对偶结构非常2稳定，分子间的运动被严格地限定在很小的范围内，物质的分子只能在自己的平衡位置四周振动。这时物质表现为固态。若物质分子的平均动能与其结合能大致相等，即工加FHbE,其分子间的对偶结构不断地遭到破坏,2又不断地形成新的对偶结构。这时，物质分子间不能形成固定的稳定对偶结构，而表现出没有固定明确形态的液态。若物质分子的平均动能远大于其结合能，即1加y>>AE,物质几乎不能形成任何对偶结构。这时,2物质表现为气态。9 .试述流体运动的HeImholtS速度分解定律。图:教材P65可变形流体微团的速度分解：流体微团一点的速度可分解为平动速度重量与转动运动重量和变形运动重量之和，这称为流体微团的HelmhOItS速度分解定理V=V0-×r+Sr10 .流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式是什么？答卜V=i+×r+5>r1）平动运动：v=i2）转动运动：×r=-rotV23）变形运动：SJr11 .描述流体运动的基本方法有哪两种？分别写出其描述流体运动的速度、加速度的表达式。答:教材P58-60描述流体运动的基本方法：D拉格朗日方法：对流体介质的每一质点进行跟踪，着眼于流体介质中的每个质点，须要对流体介质中的每个质点进行区分。各质点速度表达式：“也=空管也各质点加速度表达式:三/八©2r(a,b,c,Dy(。,b,c91)=不2）欧拉方法：定点视察描述流场的运动，着眼于空间的定点，而不是流体质点。速度表达式：V=V(r)=V(x1,x2,x3)=w1(x1,x2,x3)e1+w2(x1,x2,x3>2+w3(x1,x2,x3)e3加速度表达式:dV V V dr V - V ui=1 - =F V =1- U -dt t Qr t tdr 初- = -+ VVV = (-+ VV)Vxj tt12 .什么是随体导数（加速度）、局部导数（加速度）及位变导数（加速度）？分别说明半=O,=0dtt及（/.%=（）的物理意义?答:教材P60随体导数：流体质点在其运动过程中的加速度所对应的微商，叫做随体导数;局部导数：流体位置不变时的加速度所对应的微商，叫做局部导数；位变导数：质点位移所造成的加速度所对应的微商，叫做位变导数。物理意义:随体导数为0,流体质点在其运动过程中的加速度为0;局部导数为0,流体位置不变时的加速度为0,流体是定常流淌;（vV>=0:位变导数为0,流体质点位移所造成的加速度为0,流体速度分布匀称。13 .什么是流体的速度梯度张量？试述其对称和反对称张量的物理意义。答卜教材P65-67对流体微团M,其中工处的速度为i,那么；处的速度可以表示为V=+-r或者OXjyj"»*3-吃=%i+L位1即V=%+S-（X7V）o这里.，一二W为二阶张量，是速度的梯度，因此称之xjOXj为速度梯度张量。-ui速度梯度张量分解为对称和反对称部分：VV=A+Sxi反对称张量的物理意义:反对称张量表征了流体微团旋转运动，所对应的矢量行为流体微团的角速度矢量。<§&加& 也小更O (X z(v 1-2 1-2 第-S) 黑O C 1T2 12O 加碗- 1-2 1-2- - =Ag O f1一=ex+2ey+ie.=-rotV反对称部分对称张量的物理意义:对称张量表征了流体微团的变形运动。其中,对角线上的元素（与，？，/）表示了流体单元微团在3个坐标轴上的体变形重量，而三角元素（g仇表示了流体单元微团在3个坐标平面上的角变形重量的一半。、 e 3 1-21-2 C 4 2 4 1 - 2 £ 1 一 2 与a 2 W 1-21-2 / L%花骂÷÷加在/(X z(x1-2 1-2史av-z5viax一需¥+/( z(x1 - 2 1 - 2和f+<÷1-2 1-214 .流体应力张量的物理意义是什么？它有什么性质？答：教材P71流体应力张量的物理意义：应力张量表示了坐标面的三个面力密度矢量瓦，py,pz的九个重量p“组成的一二阶张量，即为面力密度张量。应力张量的性质：应力张量是对称张量，具有对称性应力张量具有二阶对称张量的性质(1)应力张量的几何表示为应力椭球面，即二次型rPr)=PxxX1+pyyy2+PzzZ1+2pxyxy+2pyzyz+2pzxzx=(2)应力张量有三个相互垂直的主轴方向，即是应力椭球的三个对称的直径的方向。在主轴坐标系下，应力张量具有标准形式：RJOO、P=OP22,OOOP33。(3)应力张量的三个不变量为：A=P1I÷P22÷P33'=P22P33+P33P+PP22P13P31-P2r222=P11P22P33÷P2P23P3+P13P21P32-P22P31-P33P2+PiiP2315 .某平面上的应力与应力张量有什么关系？n,=p.的物理含义是什么？答1：教材P71应力百与应力张量P的关系：R=7.Pjj=7.p,即：空间某点处随意平面上的应力等于这点处的应力张量与该平面法向单位矢量的左向内积。Pn,n=Pn,的物理意义：方方Pm4PnPnm=5P）而=瓦加=nipijmj=nipjimj=mjpjini/=（沅P）万=pnn=pmn应力张量的对称性，使得在以方为法线的平面上的应力力在m方向上的投影等于（=）在以应为法线的平面上的应力Dm在万方向上的投影。16 .流体微团上受力形式有哪两种？它们各自用什么形式的物理量来表达？答1：教材P68-71（1）质量力，也称体力，这种力作用在物质中每个质点上，其大小与每个质点的质量成正比。作用于某物质体上质量力的合力将通过该物质体的质心。f=pF（r）,7=pF（r）r万（；）为质量力密度，与位置有关。（2）面力，作用于流体微团表面S上的力。p=pnS,P=JSP超P”为面力分布密度，pn=npij=nP17 .什么是广义的牛顿流体和非牛顿流体？图:教材P8687牛顿内摩擦定律：流体微团的运动变形的的大小与其上所受的应力存在线性关系。遵从或近似遵从牛顿内摩擦定律的一类流体称为牛顿流体，不遵从牛顿内摩擦定律的流体称为非牛帧流体。广义牛顿内摩擦定律：偏应力张量的各重量与速度梯度张量的各重量间存在线性关系。遵从或近似遵从广义牛顿内摩擦定律的一类流体称为广义牛顿流体，18 .试述广义牛顿内摩擦定律的物理意义及相应的数学表达式？图:教材P87广义牛顿内摩擦定律的物理意义：偏应力张量的各重量与速度梯度张量的各重量间存在线性关系。数学表达式：T-.=cijkl=CijkfSlk+cijklalk,其中，二阶张量S”和。伙市速度梯度张量的对称和反对称部分，而四阶张量。加称为动力粘性系数张量。19 .什么是层流运动、紊流（湍流）运动和临界雷诺数？圆管中层流和紊流运动的速度分布规律是什么？答h层流流淌是平稳有规律的流淌状态，流体介质各部分之间分层流淌，互不掺混，流体内部的微团具有连续而平滑的迹线，流场中各种有关物理量（参数）的变更较为缓慢，表现出明显的连续性和平稳性。湍流流淌是极不规则的流淌形态，流体介质各部分之间，各层之间有着猛烈的掺混，其流体内部微团的运动迹线很不规则，杂乱无章，表征流体运动状态的各种物理量也表现出不同程度的跃变和随机性。雷诺数：流体运动中，惯性力与粘性力的无量纲比值Re=史=心下临界雷诺数：从湍流状态到层流状态的转折点；上临界雷诺数：从层流状态到湍流状态的转折点。圆管中层流和紊流运动的速度分布规律：层流：u=p11'（R2-r2）（1）定常流淌的速度沿径向的分布规律，由式（1）可以看出，4/流淌截面上的速度分布是一抛物回转面。湍流：光滑圆管中的速度分布：=5.756lg（）+5.394U*V粗糙圆管中的速度分布与光滑圆管中的速度分布相同，只是变更方程的常数。20 .流体的阻力可分为哪几种？管路中的阻力通常分为哪几种？答1：粘性时产生阻力的根本缘由，依据阻力产生的不同机理，可分为：摩擦阻力和压差阻力。管路中的阻力通常分为：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。21 .试说明粘性流体流淌的三个基本性质。答:教材P170174（1）粘性运动的有旋性粘性流体运动时，有旋是肯定的，粘性流体的无旋运动是不存在的。（2）运动过程中有能量的损耗性在粘性流淌中恒久伴随着机械能的损耗。这部分能量转换成热能形式传递给流体介质及相邻的固壁，使其温度上升而耗散。（3）粘性涡旋运动的扩散性在粘性流体中，涡旋强的地方要向涡旋弱的地方传送涡量，直至涡量相等为止。22 .使流体涡量产生变更的因素有哪些？其中哪些是流体运动的内在因素，哪些是外在因素？答流体涡量产生变更的因素有：（1）质量力无势；（2）流体不正压；（3）粘性剪切应力；（4）流体微团的体积变更：（5）流体涡线微元的变形（涡线的拉伸、压缩、扭曲）。其中，流体运动的外在因素为：（1）质量力无势；（2）流体不正压；（3）粘性剪切应力。内在因素为：（4）流体微团的体积变更；（5）流体涡线微元的变形（涡线的拉伸、压缩、扭曲）。23 .试说明层流边界层和湍流边界层的速度分布特征。答1：层流边界层：层流边界层内的速度分布呈线性分布规律；湍流边界层：分为层流底层和湍流核心区。层流底层内的速度分布呈线性分布，湍流核心区速度分布呈对数分布规律。24 .试述雷诺应力的物理意义及其与分子粘性应力的异同。答:教材P230雷诺应力一夕函的物理意义：在湍流运动中，由脉动速度引起的应力，称之为雷诺应力。雷诺应力与分子粘性应力的异同：相同：都是由于分子动量传递产生的应力，都是剪切应力。不同：（1）引起动量传递的缘由不同（雷诺应力：分子脉动：分子粘性应力：分子热运动）；（2）分子粘性应力与粘性这一物质固有属性有关，而雷诺应力取决于流体的流淌特性，与流场性质有关，与所处位置和时均速度有关。25 .试述平板湍流边界层的结构及其速度分布特征。答卜教材P241242结构：沿壁面法向，在板面旁边有层流子层流区，其速度呈线性分布(与=<0.01),而后为很小的过渡区，接着为湍流核心区。结构：层流子层流区过渡区A湍流核心区；内层：粘性底层过渡区湍流核心区：外层：粘性顶层及边界层其余部分。速度分布特征：层流子层流区(O<W18):土=更，速度呈线性分布；VU4V过渡区：8三301湍流核心区(30<以)：土=5.61g(空)+4.9,速度呈对数分布。VV二、推导及证明2 .依据质量守恒定律推导连续性方程。证明教材P7879依据物理学中的质量守恒定律，由某封闭的物质面S所围成的体积T中的物质在运动过程中不歼灭也不创生，即使说，在运动过程中由物质面S所围成的体积1中的流体介质的质量保持不变，是守恒的。在体元素b中，若流体介质的密度为夕，那么其质量就为5%=*小于是有限体积汇中的质量比为ah=p(1)依据质量守恒定律的物理含义：体积中的质量机在其运动过程中保持不变，这意味着，质量2的随体导数为零，即=(fr)=O(2)dtdtJ'由物质体元素的随体导数表达式=NV知却产=吟+R歹加(3)于是由式(2)有+pVV)Jr=0(3)即+V(pV)=0(4)考虑到奥高公式(£,“3=div)有+H,岔=净+,6咨=0(5)式(3)到式(5)都可称之为积分形式的连续方程。由式(3)和式(4)的被积函数为零可干脆得到微分形式的连续方程:+pVV=O(6)+V(pVO=0(7)3 .依据动量定律推导出微分形式的运动方程。证明:教材P8081封闭曲面S所围成的体积T中流体物质体的动量为体积分：pv其变更率就是体积分的随体导数：(pV),而该物质体汇上所受外力为其上的质量力：出和面力：1瓦=芯，由动量定理得：-pV=pFpnS=pFr+hPS,力rrsrs因为+ .pV(VV)r£(pW=(pV)+pV=(g+V+ pVV)r= P÷Jr Clt由连续性方程知，V(÷pVV)r=0,所以JP普加=JP户加+”d=J5z+yP况,又加=Ja与+vV)的=p-+jvllpVS得至叮登加+S''W=pF+pnS由奥-高公式Ps=JyP折所以，夕午吩=13户加+Jyp加dv-于是得到微分形式的动量方程p=PFRPdt4 .依据能量守恒定律推导出微分形式的能量方程。证明:教材P83855 .试推导出运动方程的Bernoulli积分和lagrange积分。证明:教材P1081096 .在不行压缩流体中，若流线是工=c;和人=G两曲面的交线。试证明：V=F(Jlj2Xvr1Xv2)，其中F是力和所确定的函数。证明：设力,力，/3构成曲线坐标系，于是九人,人满意：205(i,x2,x3)由题设：流线是f=G力=。2两曲面的交线，那么速度场V的方向将同时垂直于九人的梯度方向。因此：口/用XY于是速度场可以表示为：V=F(fiJ2J3)(Vfi×7f2)即要证明尸不显含/3:=0f3刀=困工/式)(W；xW；)=。.R=产(工,人,力)(Vj%)+jF(/)v(VI×V)而V(Vj×V)=V.(v×vi)-v;.(V×Vi)=0vv=VF(Z,)(Vf1×V)(Vf1×Y)=L4(/><叩=0x.x2 然 x2剽=3(工/)工08(司,电，七)F所以，W=O：V = 7(pXVi×V,2) 此题得证。筑也就是说F中不显含/3。于是，有6.证明不行压缩志向流体作二维定常流淌时，忽视质量力，其流函数”和涡旋。满意学叱?=0,若。为常数，则压力方程为K+1+C”=常数。3(,y)P2VH_证明：由：+V()÷×V=F+-VPt2pV?-1志向、定常、忽视质量力(-二-)+QxV=Vp2PV一一V(+-)+×V=O2PV2p-两边取旋度V×fV(-+-)+×V)=02PV×(×V)=(VV)-V(V)+(VV)-(V)V=O不行压(VV)=O蜗旋场无源V(V)=O二维流淌(CW=O(VV)=0VV=Oau+V=0xy_yxxya(Q")=Uy)由：(土+K)+CR=0(1)2P×V=e2×(ex+ve)=.(ue-vex)(-ev+ex)yx小工C+湍K<78(。”)-18(。川-me由于，Q为常数：×V=-ex+-ex=V(¾)yyxV2p代入(1),得：V(+乙+Q什)=02PV2n两端积分，得：+-l+v=c2P7.进行圆管中流体摩擦试验时，发觉圆管中沿轴向的压降p是流速、密度/、粘性系数,、管长/、管内径d及管壁粗糙度Z="的函数，而且与/成正比。试用因次分析方法证明即二%4lq,aa2其中l=lk,Re)为无因次系数。(1)证明：由题意可假设存在关系=/I(KRe)相应各量的量纲（因次）为：p三lLirn2da=Lx M=图/式对应量纲的协调条件为：=比严-3H7t/于是，对于M量纲，有：=T量纲，有：-/=-2/=21.量纲，有：1+二一3尸+/=-1a=-8.试从运动方程:dV 一p= PFRP dt和本构关系 P = -pI + 2(S-V V/)推导出：粘性不行压缩流体的运动方程为:dV - 1-= F-Vp + vV dt p假如体力有势即户=-VG则有:(y一(V)V = dt证明1： （1）将本构关系带入运动方程:dV1p= pF-Vp÷2V(5一一VV/) dt3-dV - 1考虑到不行压缩流体V V=O上式为： -=F一一Vp÷2vV 5dt p .S-，幽+啊)(且"+2)(吗+xi 2 xi xj 2 xi xi xi xj 2 郎2 uixj xi) = -V2dV - 1- = F-Vp÷vVdV1-(2)考虑到体力有势： = -VG一一Vp + vV dtpdV V - V VV一=+ (V-V)V= + V()-V×(V×V)dt tt 2将：a=1=11带入（1）式，得：p=pr此题得证。VV-+V(+G+-)-V×=vVt2p两边取旋度：V-VxV×(V×)=vV×VtV×(V×)=V(V)+(V)V-(VV)-(VV)旋度无源：V(V)=O,不行压C(VD)=O所以，VX(V×)=(V)V-(VV)-(V)V÷(VV)=v由于学+(UV)O二匝tdt/70所以，可得：-一一(V)V=dt证毕。9.证明对粘性不行压缩流体定常运动，若外力有势,则有：(V?-LVg)(K+&+1丫2)=，2Vosp2其中S为沿流线的弧元索，为涡量，卜为运动粘性系数，V为流体速度，为压力函数，p为密度。VV2-1一P-证明：+V()+×V=F一一Vp-7×=-V(+-)-vV×t2pp-V2,P-×V+V(一+-)=-vV×(1)2P在(1)两边同以流线切线方向的单位向量,作左向内积:es×V+V(-+-)l=-(-+-)=-V(V×)2psp2VVdpV-(-l+)=-VV×)(2)Vsp2（1）两边同求散度:-VPV×V+V(+-)=02PV(×V)+V2(-+)=O2P-(V×V)+V(V×)+V2(-+-)=O2PV2(-+-)=+2-V(V×)(3)2P(3) (2),得：(V2-v-)(-+-v2)=2Vsp210.证明：不行压缩流体的二维运动,外力有势时流函数满意：华竺）2二凶4%&a（x,y）a(V2)a甘山a(,v2)菽d(,y)(v2)x证明:粘性不行压缩流体涡旋运动方程：（见教材6.2-4式）-(V)V=v=vdtdt, +u+vt x y考虑流函数噜VT旋度计算式Q = -V x y,_2.-7>xA/口2、十÷V=V+-(-V)(-V)=v(-Vw)txytyxxy两边取负号W+2卯)3P%(x,y)三、计算题.”.hg=-CoSesinC4*3»1.在柱坐标系下，vr=,v0=,V,=0,求流线族。rrMl：柱坐标系下的流线方程为：=匕%匕所以,dr _ rdCoSe Sinedr _ COS例。r sin。Flrldrrdrrlll+即，-=,因此，有CoSeSinePlrIdrdsin。即：一=rSine所以，有：Inr=Inbinq+C即，Inr-Inkinq=CInI-r=C1 IISinq_z_=c所以，流线族为：USinM'z=C22 .在直角坐标系下，u=x+11v=-y+t9w=0,求流线族和迹线族。【解I：直角坐标系下，流线为：=UVWcr,dxdy所以，=x-t-y+t即，ln(x+/)=ln(-y+/)+C(x + r)(y T) = G亦即，ln(x+r)÷ln(y-r)=Cln(x+r)(y-r)=C(x+z)(y-z)=C1所以，流线族为：1/ +X - - - Mvo - - - 心一力'-6rJ2-r() = ce' /_ 1所以，迹线族为：ly(t) = C2e't +t-z(f) = C3Z=G求迹线族：3 .在球坐标系下，vr=V-cos。，畤=一匕1+白sin(9,%=0,试证明：r=a是流面。4 .设有肯定常流淌为:u=y+2zv=x+2zW=X+y求：速度梯度张量，变形速度张量，应力张量，偏应力张量以及作用在球面/+V+z2=l上的合力。(设流体介质的动力粘性系数为M,压力函数为P)yIlo102012ZfLK=Q&如分照H加-arv-ay-5z史&电为<§_azI解h速度梯度张量VW=1=xi2 3、O 33 O,3-23-2 O 1 O 3-2 O 1 3-2 , U= I - / <§&vfes÷÷9 l Zlx1-2 1-2 驾办"¥) 0viar电效吗5z l /(x1 - 2 1 - 2 av-ar包&才÷1-2 1-2变形速度张量S=一p23应力张量P=-pij+ij=-pij+2/(5.+-Skkij)=2"-P333-P)(O偏应力张量ij=2/(5-+-5u)=23加球面上的合力F=MP*er=SinQOSe/+sin/in。？、,+cose.=ai(-p23'P=Pij=2-P33-pj产=(aiPijs=二Sin胸以国(-PSin作OSe+2sinin6+3/cos)+ey£sin£(2sin>cos-PSin竹in9+3X)s0)苏(3sinQs6+3sin”in8-PCoSe)MF=EJ"sin(-PSin咨OS6+2min依in9+3jucos)+0JSin)(2/sin然OSe-psin¢9sin+3cQs)3+e.sin7(3sinjcos+3sin9sin-PCOSe)M=ex£3pcos洲：Sin滔9÷ey£3/cos°q：Sin湾9+Zj-PCOSe窗Sin游?=(3/ex+3ey-PoY)2句CoSGSin酒?=05 .如图，水平放置的两块平行无穷平板间有厚度为。、bt粘性系数分别为u、b的不相混的不行压缩流体作平行于平板的定常的层流运动。试求：速度沿厚度方向的分布以及两层流体在界面上的切应力丁皿（设沿流淌方向上的压力梯度为常数，即半=乃0）°dx解h定常、层流、水平流淌限制方程：uCu一二0-=0xxnIaPA0=+vw11pwr=-pxxxd2urdu,7idy1dy/-y+A强=Oxwv=。层流淌ua=-y2+Aiy+Bi24b层流淌uh=y2+Ayy+B、24边界条件:uh"=ObIy=OMrtI,=OaIy=a-hduaady ÷oABlA2B2"bIy=>-0"Jy=b+O6 .试分析复位势W(Z)=71n(z-1的基本流淌；I解：W(Z)=mln(z-J)=Tnin=win'+"屹_12)=?In(Z+1)+/Wln(Z-I)-TWlnZ当m为正实数时，复位势描述的流淌由两个强度均为W,位置分别在(-1,0)和(1,0)的点源及一个强度为m,位置在(0,0)的点汇组成。7 .已知流体通过漏斗时旋转的速度分布可用柱坐标表示为：(a为漏斗半径)当0r:vz.=0V=rv.=0当ra:v=0v-v,=0re2r求：涡量C=2tR,说明在什么区域是有旋的，什么区域是无旋的？(是常数)-1rotV=rer瓦zV.解：计算涡量lirrU0e.Rer东可r2z00Nr吃e.1r了砚a2z00柱坐标-ezr0zU.(0<ra)(ra)8 .带有自由面的粘性不行压缩流体在倾斜平板上由于重力的作用而发生运动。设：平板无限，与水平面的倾角为流体的深度为ht作定常直线运动。求：速度分布、流量、平均流速、最大流速及作用在平板上的摩擦力。解卜不行压缩，定常2=0x西ux-=-gsina+vwvxsnag2Dx=y+Ay+B2v2uxsnagy2Vy=0ux=0>B=O,rr、2vU-Sinagh2y=hur=U>A=rIvhsin.八U1.kMi+万y9 .一无限平板的上半空间充溢粘性不行压缩流体,平板初始由静j'y止起先于某时刻起沿自身平行方向作周期性的振动，若运动规律为=NOCoS(3)，运动中压力不变。求：平板运动所引起Q%=0xM A-=vw.t x流体的运动状态。U0COSrOUv解：÷-=0Syuxux1dp+ur-+wv-=-+vwvxypxuuvIdPa+W1.-+wv-=-+必、xypy不考虑质量力、压力，并My=Oy=0ux=uqcostyux=0由边界条件，速度分布具有:ux=UqCcq'cos(t-ay)-y2-=u0eaysin(t-ay)己乂-=w0(-a)eaycos(t-ay)+sin(创-砂)力l=uiia2eaysin(t-ay)+CoS侬-ay)-CoS3-ay)+sin(3-ay)yw0esin(<r-ay)=2vuiya2eaysin(<r-C0=Iva2教材 p 165 (5-5-15)2 X2 +(y-z)2(1)10.不行压缩流体在无界流场中有一对方向相反、强度相等为的线涡，分别置于(OM)和(Oi)两点。这时有无穷远速度为V,的匀称来流恰好使得这两个涡线停滞不动。求其流线方程。解卜点涡(O,h)和(O,d)相互感生的速度场使得相应点涡位置的速度为-v，确定强度，再作叠加。线涡(O,)=0=h=t感生的速度场ftNg+O?+俨力_ph(y-h)ex-xexx2+(y-)2+(z-02151r02+02+12J/41Lx2+(y-)2+(z-/)2=Jx以出初J-Oox2+(y-/?)2+(z-r)27 ×(a) = V×a + V×a=乙'('1)通力4乃JTyx2+(y-h)2+(z-t)2-hr÷xex+(y-h)ev+(z-t)ez_-J-X2+(-)2+(z-r)2f2xe't=ZLL.S-)瓦一均出4万"2+(y_%)2+(z)2产二*2怩-限匚狂+(),_/+(Z-)2严-f=-f<X)1.At(y-h)ex-xey.tz4万Ix2+(y-h)2x2+(y-2)2+(r-z)2(y-h)ex-xey2x2+(y-h)2由题意:L(Oi)Ffj(,一0)部一也丫2X2+(-)2x=O.y=-乙(-2地，2(-2h)2同理，线涡(0,-)=0-h=t感生的速度场½0,-)=(2)U+/?)可一HV2X2+(y+A)2Hoi)(0，加2()，+力)蔡一立丫X2 +(y + h)2a=O.>,=-分别将乙=4成匕和匚力=-4冠匕带入(1)、式，得到位于(0")和(0,/?)两点的涡线感生的速度场及无穷远来流的速度场:=-20(y-)瓦 一也,，X2 +(y-)2½0.-)= 2hV.(y +怩一反X2 +(y + )2于是，总的速度场为:X2 +(y-h)2-Ih(y+怩 %X2 +(y + z)2Vx-z-TZ-勺-1喙+2匕7-；-e-+(y-h)x+(y+)x'+(y+h)x+(y-h)-zx4+y4+4x2y-42x2-Sh2y2+5A4.zSh2xy一V=Ve+Ve82+(y-)22÷(+)2'"x2+(y+)2x2+(y-)2流线方程X4+y4+4hx2y-4h2x2-Sh2y2+5h4Sh2xy-=dxdy习题一场论和张量代数（习题一中黑体符号代表矢量）1 .(一)用哈密顿符号法证明：rotn×w=-W×(V×n)=-nc×(V×w)=7(ncn)+(ncV)n=V(n)+(nV)因为为单位向量，nn=f故VQz")=0,于是rotX=().留意：将rotX写成rotX=（X）X是不正确的。右端表示矢量干脆写rotw×=-w×（V×w）=-V（/w）+（nV）尽管也能给出证明，但由其次步（反用混合积公式）到第三步却是错误的，肯定要引入协助矢量先才能进行正确的推导。（二）张量表示法证明:nt.ntiz_0。、nnWn×n=ijkjmnnk=-jikjnm-nk=一(%-%A)丁乙nkni1(nknk).r7.=n.+Ln,=+()?!=()xixk2xi2 .（一）哈密顿符号法:grad(aw)=V()=w×(V×)+(nV)a；rot(×w)=V×(0×)=(nV)-(Va).于是ngrad(n)rot(×n)nw×(V×a)÷