流体力学课件第四章流体动力学基础.ppt

第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,内容简介,阐述研究流体动力学问题的基本方法，建立流体动力学基本方程。流体动力学基本方程，是将经典力学的普遍原理应用于流体，得到的支配流体运动的方程式，是分析和求解流体运动最基本的理论工具。,教学的目的和要求,了解从动量守恒原理导出的纳维斯托克斯方程及其各项的物理意义。了解理想流体运动的欧拉方程及欧拉方程的边界条件。了解定常流动的欧拉方程积分伯努利定理的物理意义；掌握伯努利定理的应用实例；了解不定常流动的欧拉方程积分拉格朗日柯西积分。了解定常流动的动量定律及动量矩定律。,第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,4.1 流体的运动微分方程,质点动量定理,质点系动量定理,以上是积分形式的动量方程,定常条件下有：,第四章 流体动力学基础,1、理想(无粘性)流体欧拉运动方程：,O,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,x方向:,同理:,1、理想流体欧拉运动方程：,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,将欧拉方程表示为分量的形式,矢量形式：,1、理想流体欧拉运动方程：,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,理想流体运动微分方程（欧拉运动微分方程,1755）,1、理想流体欧拉运动方程：,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,(1).粘性流体的动压强,理想流体的动压强,粘性流体的动压强,(2).应力与变形速度（应变率）的关系,2、粘性流体运动微分方程：,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,(2).应力与变形速度（应变率）的关系,本构方程,2、粘性流体运动微分方程：,(3)粘性流体运动微分方程,推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,(2).应力与变形速度（应变率）的关系,本构方程,2、粘性流体运动微分方程：,(3)粘性流体运动微分方程,推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。,N-S方程(1845),4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,2、粘性流体运动微分方程：,N-S方程(1845),连续性方程,流体力学的基本方程组，加上边界条件和初始条件，理论上可以求解。,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,例题4.1(P70),已知无粘性流体速度场为：,质量力忽略不计，试求等压面方程。,解：,展开,+,积分,等压面,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中：（1）任一点平行流动方向与垂直流动方向的法向应力相等，都等于该点的动压强 p；（2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。,恒定均匀管流,证：选坐标系。,连续性方程,（1）得证。,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中：（2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。,恒定均匀管流,证：选坐标系。,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中：（2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。,恒定均匀管流,证：选坐标系。,（2）得证。,4.1 流体的运动微分方程,第四章 流体动力学基础,第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学中的数学表达式，它形式简单，意义明确，在工程流体力学中有着广泛的应用。,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,一、理想流体恒定元流的伯努利方程,(1)理想,(3)质量力有势,(2)恒定,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,(4)不可压缩流体(Const),(5)沿流线 ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt,一、理想流体恒定元流的伯努利方程（续）,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,(a)(b)(c),(a)dx+(b)dy+(c)dz,积分得,五个条件:理想；定常；不可压；质量力有势；沿流线,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,五个条件:理想；定常；不可压；质量力有势；沿流线,二、重力场中理想流体的伯努利方程,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,二、重力场中理想流体的伯努利方程,1938年瑞士物理学家伯努利首先提出。,同一根流线上。该方程就是元流的伯努利方程。注意适用条件。,Bemoulli,D.（17001782）根据能量原理给出了类似的公式，为纪念他。,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,单位重量流体的动能+压力势能+高度势能-总机械能守恒速度水头 压强水头 位置水头-总水头沿流线相等。,物理意义和几何意义：,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,沿流线S伯努利积分（不讲）,理想,定常,重力场,不可压,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,例 已知无穷远 v=1.2m/s,p=0;求:驻点处的压强ps,解:,故 ps=0.073 m水柱,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,例题：,计算A点的流速。,皮托管(H.Piotot)是将流体动能转化为势能，从而通过测压计测定流体点流速得仪器。它是由测压管和测速管（两端开口得直角弯管）组成，其原理如图所示。测速时，将弯端管口正对来流方向置于A点下游同一流线上相近很近的B点，来流B点受测速管的阻滞速度为零（B点称为滞点或驻点），动能全部转化为势能，测速管内液柱保持一定高度。试根据B、A两点的测压管水头差：,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,解：应用理想流体恒定元流的伯努利方程于A、B两点，有：,考虑到实际流体粘性的作用引起水头损失和测速管对流动的影响，对上式进行修正。,C 称皮托管因数，与皮托管构造有关，由实验确定，数值接近1。,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,由于实际流体具有粘性，在流动过程中流层间内摩擦力作功，将有一部分机械能不可逆地转化为热能而耗散，因此实际流体流动的机械能将沿程减少。,三、实际流体恒定元流的伯努利积分,实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。,总水头线总是沿程下降的。下降的快慢可用水力坡度 J 表示。,测压管水头线,总水头线,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,测压管水头线。该线沿程可升、可降，也可不变。其变化情况可用测压管水头坡度Jp 表示。,Notes:不管是J还是Jp，均以相应水头沿程降低为正。,测压管水头线,总水头线,4.2 元流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,1、压强沿流线法向的变化（总流之前讲）2、总流的伯努利方程3、伯努利方程应用举例,4.3 恒定总流的伯努利方程,恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,一、压强沿流线法向的变化,当曲率半径很大时,上式左边可忽略不计,故沿流线的法向有：,缓变流与急变流概念,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,实际流体恒定元流的伯努利积分,实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。,由于实际流体具有粘性，在流动过程中流层间内摩擦力作功，将有一部分机械能不可逆地转化为热能而耗散，因此实际流体流动的机械能将沿程减少。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。,总水头线总是沿程下降的。下降的快慢可用水力坡度 J 表示。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,测压管水头线。该线沿程可升、可降，也可不变。其变化情况可用测压管水头坡度Jp 表示。,Notes:不管是J还是Jp，均以相应水头沿程降低为正。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,通过过流断面将元流积分,考虑恒定渐变流(缓变流),二、实际流体恒定总流的伯努利方程：,（1）,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,令,称为动能修正系数,一般为1。,（2）,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,（3）,总流单位质量流体由1-1至2-2断面的平均机械能损失，称为总流的水头损失。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,实际流体恒定总流的伯努利方程,hw为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为总流的水头损失。实际流体恒定总流的伯努利方程，其物理意义和几何意义与元流的伯努利方程类似。,恒定总流的伯努利方程的应用条件：（1）流体是不可压缩的；（2）质量力为重力；（3）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,1,1,s,2,2,3,3,4,4,5,5,i,pi/,v0,hwi,H0,总水头线,测压管水头线,H,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,水力坡度,总水头线沿流程的降低值与流程之比，为水力坡度 当总水头线为直线时，其可表示为:,当总水头线为曲线时，其可表示为,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,水流汇流,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,水流分流,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,（4）两过流断面之间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。当总流之间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外获得或失去了能量，则总流的伯努利方程修正为：,式中：H表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量；H表示单位重量流体流经水轮机所失去的能量。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,式中，Ng 为发电机出力；g为水轮机与发电机的总效率,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,应用恒定总流的伯努利方程的解题的几点补充：（1）基准面可以人取，但必须是水平面，且对两过流断面必须取同一基准面，通常z=0；（2）选取渐变过流断面是运用伯努利方程的关键。通常管流取在过流断面形心（管中心）处，明渠取自由面上。（3）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。上述三点归纳为：选取基准面、选取过流断面和选取计算点。但这三个“选取”应综合考虑，以计算方便为前提。（4）方程中的流体压强一律取绝对压强，但对于液面或两过流断面高程差甚小的气流，也可以取相对压强（为什么？）。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,三、总流能量方程的应用,应用条件:,(1)恒定(定常)(2)不可压流体(3)重力场(4)所选过流断面流动均匀或渐变流(5)无其它能量的输入或输出(6)总流量沿程不变,若存在能量的输入或输出 则有,获得输入（或失去）给单位重量流体的机械能。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,四、伯努利方程应用,1、小孔定常出流2、毕托管测速原理3、文丘里流量计,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,例 已知无穷远 v=1.2m/s,p=0，求:驻点处的压强ps,解:,故 ps=0.073 m水柱,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,分叉情况:,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,例：已知:d=200mm H=4.5m Q=100(l/s)，求:水流的总水头损失,解:,选1-1与2-2两个断面间的流动,将 H=z1-z2和 p1=p2=0 及 v1=0 2=1.0 则有：,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,分析：v1相对于v2可以忽略不计。p1和p2 均等于当地大气压，其相对压强为零。,例题35(本部P48):d=200mm.若水箱中水位保持恒定，所需Q=50L/s，水流的总水头损失hw=3.5m水柱。试求水箱中液面与管道出口断面 中心的高差。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,例 3-6 已知:zc=9.5m zB=6m 不计损失，求:c 点压能和动能。,解:1-1与2-2两截面间流动,由伯努利方程有：,列1-1与c断面间能量方程有,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,例36（P49本部）：一离心式水泵的抽水量为Q5.56L/s，安装高度Hs=5.72m，吸水管直径d=100mm。若吸水管的水头算是hw=0.25m，试求水泵进水口的真空度。,解：应用恒定总流的伯努利方程求解。取渐变流过流断面：水池液面11断面水泵进水口断面22计算点分别取在自由面与管轴上，基准面取11。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,解：分别选取渠底抬高处前后两渐变流过流断面11和22，计算点均取在自由面上（相对压强为零），基准面00取与抬高前渠底冲合，则据11和22过流断面列恒定总流的伯努利方程：,连续性方程：,例题38（本部）：一矩形断面渠道。已知渠宽b=2.7m，渠底抬高ht=0.3m，抬高前后水深分别为h1=1.8m，h2=1.38m，若计算段水头损失hw为尾流流速水头的一半，试求通过渠道的流量Q.,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,伯努利方程的应用：,实例一 小孔口出流（如船舶舱壁上破一洞）如图所示容器装有液体，液体在重力作用下从小孔流出。求流量。设小孔的面积比容器中液面面积小很多，因此液面高度近似认为不变（近似为定常流动），同时不计流体的粘性，此时流体的质量力只有重力。满足伯氏方程来求解的前提。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,取小孔轴线为基准线，把整个容器看成一个大流管。取容器的液面为流管第一个截面，出流流束截面收缩到最小处（离开流出孔有一小段距离）为第二截面，该处流动满足渐变流的条件。在此两截面上，各物理量分别为：,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,这样就可解出小孔理想出流的速度公式：,列立与截面、相应的伯氏方程,截面：,截面：,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,可以看出水位高为时，小孔的出流速度与高度为的流体的自由落体的末速度相同。实际上，因为粘性阻力的影响，出流速度小于此值，一般用一个流速系数来修正，则,由实验确定，其值常在0.96之间。求流量时，须将出流处平均流速乘以该处的横截面积e。应该注意，出流一般会产生“颈缩现象”。当流体从四面八方向到孔。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,口处汇集时，由于惯性的作用，流线不可能突然转到水平的方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。也就是说，它的截面积要小于孔口的面积，两者的比值,称为收缩系数。则实际流量是：,系数由实验测定。例如圆形孔口，其值为0.610.63。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,为了测量管中的流速或流量，可以在管道中串联一段收放管，称为文德利管，如图所示。截面处的面积为A1，直径为。收缩截面处的面积为A2，直径为。和处的压力差可从测压管读出来，即为已知量。,由光滑的收缩段、喉道和扩散端三部分组成。,实例二 文德利管(P49例题37)（Venturi一种流量计）应用伯努利方程的原理可以制成各种测量流速或流量的仪器。文德利管就是其中的一种。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,与连续方程联立消去 代入伯氏方程得：,连续方程:,令v1和v2分别为和截面上的平均流速，如果能知其中之一，即可求得流量。沿管轴线取基准线，则12。列出伯氏方程：,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,解出：,通过文德利管的体积流量为：,对给定的文德利管是常量。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,用测压管时：,用形管（内装水银）比压计时：,因此,或,注意：这里没有考虑流体粘性的影响，实际应用时，按上式算得的还应乘上修正流量的系数，它的值接近于，约为0.98。,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,P81例题：4-6,0,0,实例四 皮托管和测压管形成联合测管 设河流自左向右流，要测量水流的流速。如图在同一流线上，两点各放一根管子，管的口部平行于流线，它能探测出点的动压力，因此管称为测压管。管的管端弯过来90迎向水流，使其口部垂直于流线。设流线近似为一组平行直线，则铅直方向上动水压力按静水压力分布，即A，管中液面和外面自由表面平齐。,皮托管因管口迎向来流，流体以一定的动能进入管，液面升高，点的速度为零，此时管中流体处于平衡，不再有流体流进或流出。点称为驻点。点的压力为B（）测压管测得的压力称为动压力（A）皮托管测得的压力称为总压力（B），因此皮托管又称总压管。,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,可见只要测出总压B 和动压A 之差，就可算出流速。,现在在流线上列立伯氏方程，考虑到,点 0 A vAv B 点 0 B vB0,伯努利方程：,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,可见只要测出总压B 和动压A 之差，就可算出流速。,只要读出皮托管与测压管的液面高度差，就可算出水流速度。为了方便，可将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”，或称普朗特管。,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,此时：,管在处感受到动压，而管在处感受到总压，,仍适用。,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,若测量空气流速，管和管要分别和形管测压计的两端连接，其原理如上图所示下述公式仍可用。,总压力与动压力之差。,1为测压计中液体重度，就是欲测流速的体重度。,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,实例五 虹吸管 下图为连接两个水箱的一段虹吸管,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,管径150，13.3，21.5，z6.8，设不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点处的真空值。解：取OO为基准面，列断面OO和的伯氏方程,解方程得:,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,水的流量为：,列截面和的伯氏方程，可求得虹吸管顶点处的真空度。,故真空度水柱高为：,真空度为：,第四章 流体动力学基础,4.3 恒定总流的伯努利方程,第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,一.容器旁管非定常出流,由0-0到1-1点积分有,4.4 非定常流动的伯努利方程*,第四章 流体动力学基础,一.容器旁管非定常出流,由0-0到1-1点积分有,积分得,4.4 非定常流动的伯努利方程*,第四章 流体动力学基础,U形管中液体的振荡,4.4 非定常流动的伯努利方程*,第四章 流体动力学基础,第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,动量修正系数 动量定理 动量矩定理 求解步骤 应用举例,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,系统：所研究的流体质点的集合（流体质点系）。控制体：相对于某一坐标系不动的某一体积。动量定理：对于某一流体质点系统，其动量随时间的变化率等于作用于该流体质点系统的外力矢量之和。,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,定常条件下:,动量定理：,应用一维管流情况：,t 时刻：1-1与2-2所围成的流体质点系统,tt时刻：1-1与2-2所围成的流体质点系统,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,定常条件下:,动量定理：,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,定常条件下:,动量定理：,称为动量修正系数。,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,三维情况下,向各坐标轴方向投影,有：,求解步骤:(1)建立坐标系,标出控制体。(2)分析控制体所受到的力。(3)分析动量的变化(流出减流进,速度投影有正负)。(4)注意作用力是谁施予谁(可利用牛顿第三定律)。,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,动量矩定理,非惯性坐标系中的动量矩方程为：,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,例 已知矩形平板闸下出流,B=6m,H=5m,hc=1m,Q=30m3/s不计水头损失。求:水流对闸门推力。,解:利用连续性方程,有,设闸门对水流作用力为 R,则X方向的动量方程为：,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,代入数据,得,水流对闸门的作用力,利用牛顿第三定律,有,方向向右。,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,例：p1=98kpa V1=4m/s d1=200mm d2=100mm a=450 不计水头损失求:水流作用于弯管上的力,解:设管壁对水流的作用力为Rx Ry由连续性方程,有,列1-2伯努利方程,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,列X方向动量方程,列Y方向动量方程,代入有关数据得 Rx=-2.328 kN Ry=1.303 kN 利用牛顿第三定律,可得到水流对管壁的作用力,并可求得合力及合力与X方向的夹角,3-5 动量方程和动量矩方程及其应用,第四章 流体动力学基础,第四章 流体动力学基础,4.1 流体的运动微分方程4.2 元流伯努利方程（重点）4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）4-5 动量方程和动量矩方程及其应用4-6 无粘性流体的无旋流动,无旋流动条件：,1.无粘性流体无旋流动的伯努利方程,伯努利方程：,4-6 无粘性流体的无旋流动,物理意义：无粘性流体恒定无旋流动全流场单位重量的机械能守恒。,适用条件：,与元流的伯努利方程形式相同，但含义和应用范围不同，前者在同一流线上成立，而后者则在全流场成立。,无旋流动条件：,2.速度势函数,存在：,4-6 无粘性流体的无旋流动,称之为速度势函数。无旋流动是有速度势的流动，简称为势流；反之有速度势的流动即是无旋流动。,连续性方程：,使：,无旋流动条件：,2.速度势函数,存在：,4-6 无粘性流体的无旋流动,Laplace方程：,满足Laplace方程的函数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也就是速度势函数的性质。,例题：已知流速场（1）判别是否无旋：（2）若无旋求速度势函数；（3）并指出是否为调和函数。,2.速度势函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,成立否？,满足否？,(1)速度势：,条件:无旋流,平面不可压缩流的连续性方程：,拉普拉斯方程。,等势线,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,(2)流函数：,条件:平面不可压缩流,再利用无旋条件：,拉普拉斯方程。,流线。,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,名称:势函数 流函数,条件:无旋流 平面不可压缩流,引入:,定义:,等值线:=C(等势线)=C(流线）,流网:等势线与速度垂直 流线与等势线正交流网,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,柯西黎曼条件(Cauchy-Riemann)条件。,势函数和流函数满足Laplace方程和柯西黎曼条件，是一对共轭调和函数,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,流网的性质：,(1)等流函数线是流线,=C(流线）,(2)任意两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间的单宽流量,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,(3)平面无旋运动的等流函数线与等流速势线正交（不证）。,(2)任意两条流线的流函数之差等于 通过这两条流线间的单宽流量,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,(3)平面无旋运动的等流函数线与等流速势线正交（不证）。,=C(流线）,=C(等势线）,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,在平面流动中，有时用极坐标更为方便。,3.平面流动与流函数,4-6 无粘性流体的无旋流动,例4.2.2 90角域流的速度势和流函数,已知:90角域流的速度分布式为：,求：（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；（2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；,解：（1）先计算速度旋度,说明流场是无旋的，存在速度势(x,y)。,例4.2.2 90角域流的速度势和流函数,已知:90角域流的速度分布式为：,解：（1）先计算速度旋度,等势线方程为x2-y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族。实线。,（2）再计算速度散度,上式中C为常数，流函数为,流线方程为xy=常数，在xy平面上是分别以x,y轴为渐近线的双曲线族，虚线。x,y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。,(b),说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数(x,y),已知:90角域流的速度分布式为：,例4.2.2 90角域流的速度势和流函数,平面势流,平面流,无旋流,不可压缩,挑选一些基本解i(i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。,平面势流,无旋流,-均流,物理背景 全流场以等速(U)做平行直线流动,速度分布,势函数,流函数,4.基本平面势流,-点源与点汇,物理背景 点源（Q 0）：流体从一点均匀地流向各方向；点汇（Q 0）：流体从各方向均匀地流入一点。,当源汇位于原点O，势函数和流函数为,速度分布式为:,4.基本平面势流,3.5.4 点涡,物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为）诱导的流场。,当点涡位于原点O，势函数和流函数为,速度分布式为:,-偶极子,当偶极子位于原点,等势线=C,流线=C,4.基本平面势流,-兰金半体绕流：均流+点源,已知:位于原点的强度为Q（Q0）的点源与沿x方向速度为U的均流叠 加成一平面流场。,求：（1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程；（4）画出零流线及部分流线图。,解：（1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为,（2）速度分布式为,（3）流线方程为,常数C取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线。,（c）,4.基本平面势流,通过驻点A（-b,0）的右半部分零流线由A点的流函数值决定,（4）零流线的左半支是负x轴的一部分（=），驻点A（-b,0）由（c）式决定,零流线方程为：,零流线及部分流线如图所示，右半部分所围区域称为兰金(Rankine)半体，在无穷远处0和2，零流线的两支趋于平行。由（g）式可确定两支距x轴的距离分别为,(f),(g),-兰金半体绕流：均流+点源,4.基本平面势流,5 绕圆柱的平面势流(自学),一、求解流场,均匀流,求流函数,偶极子,-无环量圆柱绕流,二、流场分析,1.速度分布,在圆柱面(S)上,2.圆柱面上压强分布,表面压强系数,3.压强合力 Fx=0（达朗贝尔佯缪），Fy=0,5 绕圆柱的平面势流(自学),-无环量圆柱绕流,在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）,一、求解流场,二、流场分析,1.速度分布,在圆柱面(S)上,5 绕圆柱的平面势流(自学),-有环量圆柱绕流,2.求解驻点位置(cr),3.表面压强系数,|4aU 有两个驻点,|=4aU 有一个驻点,|4aU 无驻点(自由驻点),4.压强合力,Fx=0,5 绕圆柱的平面势流(自学),-有环量圆柱绕流,一 儒可夫斯基升力定理,式中U为来流速度矢量，为环量矢量（按右手法则确定方向）,将有环量圆柱绕流的升力公式推广到对任意形状截面的绕流,6 绕圆柱的平面势流(自学),-绕机翼的平面势流,二 库塔条件,绕翼型产生环量的四个阶段,运动前（=0）,2)运动后（开尔文定理）,3)环量大小（库塔条件）,4)“起动涡”和“附着涡”,6 绕圆柱的平面势流(自学),-绕机翼的平面势流,三 机翼升力,2.压强分布,3.翼型,6 绕圆柱的平面势流(自学),-绕机翼的平面势流,4.升力系数,5.有限翼展,6 绕圆柱的平面势流(自学),-绕机翼的平面势流,四 叶栅中的升力定理,叶栅概念,平均速度,y方向分力,环量,伯努利方程,x方向分力,动量方程,合力,2.计算叶片升力,6 绕圆柱的平面势流(自学),-绕机翼的平面势流,第四章 作业,4.74.84.94.104.114.184.19,