方阵的特征值特征向量与相似化简第一讲.ppt

,线性代数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,教学目的：通过本章的教学使学生理解方阵特征值与特征向量和相似矩阵的概念、性质和方阵相似对角化的条件.会求方阵特征值与特征向量和方阵的对角化.,教学要求：要求学生深刻理解方阵对角化的条件，会将一个方阵化成对角矩阵.,教学重点：相似对角化条件和方阵的对角化.,教学难点：相似对角化条件和方阵的对角化.,教学时间：8学时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简,教学目的：通过本节的教学使学生了解数域和多项式的根理解方阵特征值与特征向量概念,掌握方阵特征值与特征向量的求法.,教学要求：理解方阵特征值与特征向量概念,掌握方阵特征值与特征向量的求法.了解特征值与特征向量的用途.,教学重点：各种求特征值与特征向量方法.,教学难点：求矩阵的特征值与特征向量.,教学时间：2学时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1 数域 多项式的根 2 矩阵的特征值与特征向量,第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简,本章将讨论的内容包括数域、多项式的根、方阵的特征值与特征向量，相似矩阵及其性质以及在相似条件下把矩阵化简为对角矩阵和Jordan形矩阵的相关问题.,1 数域 多项式的根,数，是数学的一个最基本的概念.对于反映数量关系的数学问题，其结果往往和所考虑的数的范围有关.例如多项式x4-2的因式分解问题，它在有理数范围内已经不能再分解了，而在实系数范围内就可以分解为,进而在复系数范围内就可分解为,1.1 数域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可见对于同一个问题，当所考虑的数的范围不同时，结果就可能是不同的.因此，我们常常需要事先指明所涉及数的范围.数域就是描述数的范围的一个概念.,定义1.1 设F是一个数集，其中至少包括两个不同的数.如果F中任意两个数的和、差、积、商（当除数不为零时）仍是F中的数，则称F为一个数域.,由定义1.1可知，任何数域F至少 包含0和1.这是因为，若F，则-=0 F，由于F 中必有非零数b，于是,如果集合F中的任意两个元素做某种运算其结果仍在F 中，我们就说F对这种运算封闭.于是，数域就是含有不同元素并且对四则运算（除数不为0）封闭的数集.,第五章,实数域、复数域和有理数域是最常用的数域.但数域决不止这三个.不难验证数集,构成一个数域.若将上面的 换成 得到的相,应数集也都是数域.可见数域有无穷多个.,有理数域是最小的数域；复数域是最大的数域.,以下讨论问题时，凡涉及到数的，我们总假设是在某个数域上进行的.此时，参与运算的数都要限定在该数域内 例如，f（x）是实数域上的多项式，就是指f（x）的所有系数都是实数.,容易验证，全体有理数的集合是一个数域，称为有理数域，记为Q.全体实数的集合、全体复数的集合也都是数域，分别称为实数域和复数域，记为R和C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.2 多项式的根与标准分解式,定义1.2 对于非负整数n及数域F上的数ai(i=1,2,n),变量x的形式表达式,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0(1),称为数域F上的一个多项式.当an0时，则称（1）为一个一元n次多项式，非零数an称为该多项式的首项系数，a0称为常数项.,例如 3x4+x-2是一个4次多项式；,3是一个0次多项式；,所有系数都是0的多项式0称为零多项式.零多项式不定义次数.如果为了方便，也可以认为它的次数为-.,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于正整数n，与n次多项式f(x)对应的方程f(x)=0称为n次代数方程.,例如 一元二次方程,ax2+bx+c=0,a0.,它的根依据a，b，c的不同取值可能为不同二实根、相同二实根或共轭二复根.重复出现的根称为重根，其重复出现的次数称为该重根的重数.重数为1的根称为单根.,定理1.1 在复数域上，n次代数方程恰有n个根(n1).,定义1.3 对于n次(n1)多项式f(x)，代数方程f(x)=0的根亦称为多项式f(x)的根或零点.,根据定理1.1及定义1.3可知：n次(n1)多项式f(x)在复数域上恰有n个根（重根的个数按其重数计算）.,按照根与一次因式的关系，多项式f(x)的每一个根xi都对应着f(x)的一个一次因式x-xi，如果n次多项式(1)的全部互异的根为x1,x2,xt，它们的重数分别为n1,n2,nt，则有,(2),并且n1+n2+nt=n.,(2)式右端称为多项式f(x)在复数域上的标准分解式.,例如对于多项式f(x)=x3+2x2+x，分解式,f(x)=x(x+1)2，,f(x)=(x+1)2x,都是标准分解式，而,f(x)=x(x+1)(x+1)，,都不是标准分解式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 方阵的特征值与特征向量,一.特征值与特征向量的概念,定义2.1 对于n 阶矩阵A=(aij),其主对角线上n个元素之和a11+a22+ann称为A的迹，记为trA.,(3),定义2.2 对于n 阶矩阵A=(aij),把含有字母的矩阵,称为A的特征多项式.行列式|E-A|的值表达式 是一,个多项式，称为A的特征多项式.特征多项式的根称为的特征值，亦称为特征根.,如果是特征多项式的单根，则称为单特征值，否则称为重特征值,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 矩阵,的特征矩阵为,特征多项式为,()=|E-A|=(-1)(+2);,特征值为,1=0,2=1,3=-2.,显然，上（下）三角形矩阵的特征值就是其主对角线上诸元素.,则有cn-1=-trA，c0=(-1)n|A|.,定理2.1 n阶矩阵A的特征多项式()是一个首项系数为1的n次多项式；若设,()=n+cn-1n-1+c1+c0,(4),证明 设n阶矩阵A=(aij)，则A的特征多项式为,由行列式值的定义可知，()的最高次项必取自均布项,(5),(-a11)(-a22)(-ann).,(6),二、特征值与特征向量的性质,由(4)可知其n-1项的系数cn-1=-trA.事实上,()的n-1次项也只来源于均布项(6).这是因为(5)式的右端行列式中任何一个异于(6)式的均布项至少有一个因子为某常数-aij,于是-aii及-ajj都不是该均布项的因子，该均布项最多只能是关于的n-2次多项式.而(6)式乘开后合并同类项，其n-1项的系数为,-(a11+a22+ann)=-trA,即 cn-1=trA.,对于()的常数项c0，显然有,c0=(0)=|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|.,由上面的讨论，可知,AE,由定理2.1可知，n 阶矩阵在复数域上恰有n 个特征值(重根的个数按其重数计算).如果我们考虑的数域F不是复数域，则在该数域上n阶矩阵未必有n个特征值.例如实矩阵,它的特征多项式为,()=2+1,在实数域上无根，因而在实数域上没有特征值.可是，如果在复数域上，A就有两个特征值1=i,2=-i.因此，凡是方阵的特征值问题，都应事先指明所考虑的数域问题.当未指明所考虑的数域时，应理解是在复数域上.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.2 设n阶矩阵A的全部特征值为1,2,n,则|A|=1 2 n.,证明 设A的特征多项式为,由定理2.1知，其常数项c0=(-1)n|A|.又根据根与一次因式的关系，()必可表示为,(),()=(-1)(-2)(-n).,于是可知()的常数项为,c0=(0)=(-1)(-2)(-n),=(-1)n 1 2 n.,另一方面，c0=(-1)n|A|.故,|A|=12 n.,推论2.1 方针A可逆的充分必要条件是A的所有特征值都不为0.,定义2.3 设0是n阶矩阵A的一个特征值.若有n 维零非列向量使,A=0,则称为矩阵A的对应于特征值0的特征向量.,由上面的定义可知，矩阵A的任一特征值0所对应的特征向量都是方程组(AE)x=0 的全部非零解向量,显然A的关于特征值0所对应的特征向量有无穷多个.,可以证明：方阵A的每一个特征向量只能对应于某一个确定的特征值.事实上,若向量同时是A的对应于不同的特征值1，2的特征向量，则有A=1，A=2，于是便有(1-2)=0，,由于 0，所以1-2=0，这与1、2是不同特征值矛盾.故方阵A的每一个特征向量只能对应于某一个确定的特征值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.3 对于方阵A，只要有数0及非零列向量使A=0成立，则0必是A的特征值,必是A的关于特征值0的特征向量.,证明 由A=0知非零向量满足线性方程组(0E-A)x=0,而该方程组有非零解，因而其系数矩阵0E-A必然是降秩的,于是应有|0E-A|=0,可见0是A的特征值.再由满足A=0,由定义2.3知是A的关于特征值0的特征向量.,对于方阵A，求其特征值与特征向量的方法步骤如下：,1)写出A 的特征矩阵 0E-A，并计算A的特征多项式()=|E-A|.,2）在指明的数域上，求出()=0的全部根，即A的全部特征值.记互异的特征值为1，2，t.,3)对于每一个i(i=1,2,，t)求出齐次线性方程组,(i E-A)x=0,的全部非零解，也就是A对应于特征值i的全部特征向量.,三、特征值与特征向量的求法,1、由AE=0,求A的n个特征值.,2、由 Ax=x,求抽象矩阵的特征值.,3、由(AE)x=0,求A 的特征向量.,例2 在实数域上，求矩阵,的特征值与特征向量.,解 A的特征多项式为,=(-2)(2+2-8)=(-2)(-2)(+4)=0.,得A的特征值为1=2=2，3=-4.,对于1=2=2，求解齐次线性方程组(A 1E)x=0，即,得基础解系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是，矩阵A对应于特征值1=2=2的全部特征向量为,k11+k22，k1,k2是不同时为零的任意实数.,对于3=-4，求解齐次线性方程组(A 3E)x=0，即,得基础解系,于是，矩阵A对应于特征值3=-4的全部特征向量为,k33，k3是不为零的任意实数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 求矩阵,的特征值和特征向量.,解:由AE=0，求A的全部特征值，由,得A特征值为,由(AE)x=0，求A的特征向量.当1=2时，由,方程(A2E)x=0得,得基础解系,于是，矩阵A对应于特征值1=2的全部特征向量为k1 p1，,k1是不为零的任意实数.,得基础解系,对于2=3=1，求解齐次线性方程组(A E)x=0，即,于是，矩阵A对应于特征值2=3=1,的全部特征向量为k2p2，k2是不为零的任意实数.,例4 设是方阵A的特征值,则2是A2的特征值.,证 因为是方阵A的特征值,设为P 0,使 AP=P,于是,例5 设3阶方阵A满足,且trA=3，求,解 设是A的特征值,x是A的关于所对应的特征向量.,则Ax=x，从而,又x0,所以,从而,所以2是A2的特征值.,A的特征值.,即(1)(2)=0，又trA=3，故 得A的特征值为：,，,例6 若是可逆阵A的特征值,x 是 A的关于所对应的特征向量,则,证,从而，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由上面各例类推,不难证明,若 是A的特征值,则k是Ak的特征值，,例7 设4阶方阵A有两个不同的特征值，满足AAT=2E,且|A|0，求A*的两个特征值.,解 由AAT=2E得 所以 为正交矩阵.,故A的特征值为,小结：,1、深刻理解方阵特征值与特征向量的概念，特征值与特征向量的性质，特征值与特征向量的有关定理.,2、掌握特征值与特征向量的求法,会求方阵(抽象)的特征值与特征向量.,作业：第5章标准化作业.,