恒定电流的电场和磁场.ppt

3.1 恒定电流的电场（第一部分）3.2 磁感应强度3.3 恒定磁场的基本方程3.4 矢量磁位3.5 磁偶极子3.6 磁介质中的场方程（第二部分）3.7 恒定磁场的边界条件3.8 标量磁位3.9 互感和自感3.10 磁场能量3.11 磁场力,第三章 恒定电流的电场和磁场,主要内容,恒定电流的电场的基本特性（第一部分）磁感应强度与磁场强度恒定磁场的基本方程磁介质中的场方程（第二部分）恒定磁场的边界条件自感与互感的计算磁场能量与能量密度,第一部分3.1 恒定电流的电场,基本概念：电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯上规定正电荷运动的方向为电流的方向。恒定电流：电流不随时间变化而变化恒定电流场：恒定电流的空间存在的电场,3.1.1 电流密度,一、电流强度（标量）（A）,单位时间通过某导线截面的电荷量,i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流即直流电流,二、电流密度（矢量）（A/m2）体电流密度,大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度。方向：正电荷运动的方向。,如图，设通过 S的电流为I，该点处的电流密度为,1、体电流密度,与I的关系,与的关系,2、面电流密度,3、线电流密度,若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度,如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度,与S的关系,与I的关系,电流密度动态演示：,3.1.2 电荷守恒定律,电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）,电流连续性方程的微分形式,恒定电流场的基本方程之一：,微分形式：,积分形式：,表明：无散，即电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线,电荷定恒定律：任一封闭系统的电荷总量不变。即任意体积V内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。,3.1.3 欧姆定律的微分形式,电流分类：传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、电解液中的电流。运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成的电流。如真空管中的电流。,欧姆定律微分形式：,其中为电导率，单位：西门子/米（S/m）,恒定电场中，仅理想导体（）内才有：,静电场中，导体内有：,欧姆定律积分形式：,注意：只适用于传导电流，电源外部；不适用于运流电流、电源,常温下（20）常用材料的电导率,电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热的等）转化为电能的装置非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。非库仑场：只存在电源内部，非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场库仑场：同时存在电源内部和外部，恒定分布的电荷产生的保守场电动势：电源内部搬运单位正电荷 从负极到正极时非静电力所作的功,电动势,电动势用总电场的回路积分表示：,含电源的欧姆定律的微分形式：,3.1.4 焦耳定律(不适用于运流电流),焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。,焦耳定律的微分形式：,证明：当导体上电压为U，电流为I时，功率为 P=UI,在导体中，沿电流线方向取长度为l、截面为S的体积元，该体积元消耗的功率为,当V0时，取P/V的极限，得导体内任一点热功率密度，即,或,补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地),接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接。接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密度最大，则电极处电场强度最大，从而电压差主要产生在电极处，因此，接地电阻主要集中在电极附近。跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两点间电压可能达到相当大的数值。,设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点的电流密度为：,则电场强度为：,由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处,所以电极在大地中的电压为：,故得接地电阻为：,同理，全球接地电阻,接地电导,例：求半球形电极的接地电阻,减小接地电阻方法：增大半径a 采用大块接地导体采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的接地系统采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。增大电导率在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。,结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位,例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，已知土壤的导电率为=10-2S/m。求：1）接地电阻；2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率,解：接地电极的接地电阻为,已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为,跨步电压,损耗功率,恒定电流场的基本性质：无散无旋场,3.1.5 恒定电流场的基本方程（适应于电源外部）,微分形式：,积分形式：,旋度方程,物理意义：恒定电场是保守场。对应电路理论中的基尔霍夫电压定律。,微分形式：,积分形式：,散度方程,物理意义：恒定电场无散场，其电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线。对应电路理论中基尔霍夫电流定律,3.1.5 恒定电流场的基本方程（适应于电源外部）,由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位,在均匀导体内部（电导率为常数），有,拉普拉斯方程,又由于,物理意义：在恒定电场中，均匀导体中的电荷体密度为零，电荷分布在媒质表面。,在两种导体分界面上，导体性质有突变，电场也会突变边界条件：场分量在界面上的变化规律恒定电流场的边界条件：不同导体分界面两边恒定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电场的边界条件推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方程的积分形式,3.1.6 恒定电流场的边界条件,电流密度的法向分量,在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由,由于h0,又S很小，所以S上电流密度可看成常数,表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续,或,或,电场强度的切向分量,在分界面上构造如右图狭长回路，由,表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的,由于h0,又l很小，所以l上电场强度可看成常数,或,或,分界面上电场的方向,分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况,1、法线方向上：,2、切线方向上：,特殊情况：垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射当1 2：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不良导体时，只要1/2，得20，即在不良导体中，电力线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面,说明：电场强度和电流密度矢量方向在经过分界面两边时方向将发生改变，改变量与媒质性质有关,3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟,恒定电场：,静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直接得出。,利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导,静电场：,漏电电导定义：两个导体之间的漏电流I与它们之间的电压U的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻。,说明：漏电导与形状、位置、介质有关，与I和U无关。孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。,常见导体系统的电容 平行板：其中S：面积，d：距离。同轴线：其中L：长度，a，b：内外导体内外半径 平行双导线：其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。同心球：其中a，b：内外球半径。孤立导体：其中a：球半径。,由静电比拟法可行常见导体系统的漏电导平行板：其中S：面积，d：距离。同轴线：其中L：长度，a，b：内外导体内外半径 平行双导线：其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。同心球：其中a，b：内外球半径。孤立导体：其中a：球半径。,漏电导的计算方法 从比拟法出发，利用C-G和的-比拟关系，直接由电容值得到对应的漏电导值。从定义出发，设两导体之间的漏电流I，求U值，得G,假定I,例3-1 设同轴线的内导体半径为a、外导体内半径b，其间媒质的电导率为，求同轴线单位长度的漏电电导。,解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴线方向单位长度从内导体流向外导体电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为,两导体间的电位差为：,漏电电导为：,例3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质的电导率为，求该电容器的漏电电导。,解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为,内外导体间的电压为：,漏电电导为：,作业：教材习题三 2 6,第二部分 恒定电流的磁场,3.2 磁感应强度3.3 恒定磁场的基本方程3.4 矢量磁位3.5 磁偶极子3.6 磁介质中的场方程3.7 恒定磁场的边界条件3.8 标量磁位3.9 互感和自感3.10 磁场能量3.11 磁场力,主要内容：磁感应强度与磁场强度恒定磁场的基本方程磁介质中的场方程恒定磁场的边界条件自感与互感的计算磁场能量与能量密度,基本概念（高中范畴）,恒定磁场：磁场不随时间变化而变化（如恒定电流产生的磁场）。磁通量：垂直于某一面积所通过的磁力线的多少。磁感应强度：大小为穿过单位面积的磁通量。方向为磁力线的切线方向。特斯拉（T）单位太大，工程上常用高斯（G）单位。1G=10-4T。通电导线所受的力：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受的磁场力（安培力）F=BIL（左手定则）。,基本概念（高中范畴）（续）,左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向。那么，拇指 所指的方向，就是通电导线在磁场中的受力方向。磁场强度：辅助物理量。在线性各向同性磁介质中，磁场强度的大小为磁场中某点的磁感应强度B与同一点的磁导率的比值。方向为磁力线的切线方向。,3.2 磁感应强度,一、安培定律：描述电流回路间的相互作用力的大小。,安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1对另一载有电流I2的回路C2的作用力为：,回路上的电流元矢量,0为真空中的磁导率,二、毕奥萨伐尔定律：,描述回路C1在P点产生的磁感应强度,将安培定律改写为：,则回路C1在P点产生的磁感应强度为：,单位特斯拉，简称特（T）或（Wb/m2）,可理解为C1产生磁场，C2在磁场受力,按习惯“带撇号”表示源点，“不带撇号”表示场点,源点：,场点：,则线电流中：,面电流中：,体电流中：,此三个公式作用：已知回路的电流分布可求磁感应强度,例 判断下列各点磁感应强度的方向和大小,+,+,+,由,可得电流元Idl在外磁场B中所受的力为：,而,已知外磁场B，回路C受到的力为：,以速度v运动的点电荷q在外磁场B中受到的力为：,以速度v运动的点电荷q在外电磁场(E,B)中受到的力为：,洛仑兹力公式,例：一根沿z轴放置长度为2l的直导线通过z方向的电流为I。求其在周围产生的磁感应强度。,解：选择柱坐标系，源点坐标为(0,0,z)，场点坐标为(,z),其中：,根据毕奥-萨伐尔定律：,由,若导线无限长，则,3.3 恒定磁场的基本方程,3.3.1 磁通连续性原理,有向曲面S的磁通量：,闭合曲面S的磁通量：,磁通连续性原理（积分形式）：,表明：磁感应强度穿过任意闭合曲面的通量恒为零。即磁力线是连续的。,磁通连续性原理（微分形式）：,表明：磁感应强度是一个无散场，磁力线是连续的闭合曲线。,证明磁通连续性原理以载流回路C产生的磁感应强度为例,由于,由于,=0,单根导线电流,3.3.2 安培环路定律,积分形式：,微分形式：,注意：用安培环路定律求解磁场分布只适用于某些呈轴对称分布的磁场的求解,表明：恒定磁场是有旋场，旋涡源为电流,物理意义：磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以该回路包围的电流的代数和。,推导用斯托克斯定理,多根导线电流,分布电流,3.3.2 安培环路定律,表明：无散场，磁力线连续，无头无尾且不相交，磁力线构成闭合回路；有旋场，电流是磁场的旋涡源。,总结：真空中恒定磁场的基本方程,积分形式：,微分形式：,例：一根沿z轴放置无限长直导线通过z方向的电流为I。用安培环路定律求其在周围产生的磁感应强度。,解：取圆柱坐标系，由对称性可知，磁感应线是圆心在轴线上的圆。沿磁感应线取半径为的积分路径C，依安掊环路定律,与前面解法相比：用安培环路定律求解对称分布的电流产生的磁场要简单得多,例3-9 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。,解：取圆柱坐标系，z轴与导体中轴线重合。由对称性可知，磁感应线是圆心在导体中轴线上的圆。沿磁感应线取半径为r的积分路径C，依安掊环路定律得,而,当ra时,当ra时,例：内、外半径分别为a、b的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为导体磁导率为。求空间各点的磁感应强度。,解：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布，取圆柱坐标系，依安掊环路定律得,在ra区域：,在arb 区域：,在rb 区域：,作业：教材习题三 11,3.4 矢量磁位（磁矢位）,一、矢量磁位的引入,二、库仑规范,引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，某些场合可简化电磁问题求解，如通过间接方法求解空间磁场分布。,要求：磁感应强度与矢量磁位满足一一对应关系,矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度后，仍然表示同一个磁场,恒定磁场的矢量磁位单位：特斯拉米(Tm或Wb/m),若,则对于,有：,0,而,上式表明：是性质不同的两种矢量场，这意味着满足,库仑规范条件：必须引入新的限定条件，对矢量磁位进行限定，这种新引入的限定条件称为库仑规范。,由亥姆霍兹定理可知：矢量场的性质由其散度和旋度确定，对于矢量磁位，其旋度已确定(等于磁感应强度)，只须对其散度进行限定即可唯一确定。,在恒定磁场中一般采用库仑规范条件，即令,注意：规范条件是人为引入的限定条件,三、矢量磁位的求解,矢量磁位满足的方程,由矢量恒等式：,应用库仑规范,磁矢位的拉普拉斯方程：,泊松方程,在直角坐标系中，可以写成对各个分量的运算，即,2为矢量拉普拉斯算符,写成矢量形式：,体电流：,面电流：,线电流：,磁通计算公式：,写成分量形式：,对矢量磁位的说明：矢量磁位的方向与电流密度矢量的方向相同引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算,例3-10 求长度为l的载流直导线的磁矢位,解：取圆柱坐标系，磁矢位只有z分量。,当lz时,当lr时,当l时，上式为无穷大。这是因为当电流分布在无限区域时，不能把无穷远处作为磁矢位的参考点，而以上的计算均基于磁矢位的参考点在无穷远处。实际上，当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0 处为磁矢位的零点时，可得出,利用上式，用圆柱坐标旋度公式，可求出,补充：建立非齐次方程直接求解法,若已知空间电流密度矢量分布，则可建立方程：,直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但计算十分复杂，很难得出解析解，因此解析法一般不采用此法。,小结：求解磁场的方法场源积分法（毕奥-萨伐尔定律）非齐次方程直接求解法安培环路定律通过矢量磁位间接求解,0,3.5 磁偶极子,磁偶极子定义：一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。,解释：永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷。,定义式为：,磁矩：大小为电流环的面积与电流的乘积 方向与环路的法线方向一致。,证实：在磁场的实验研究中已证实，一微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布相同。,对偶：磁偶极子及其磁场与电偶极子及其电场是对偶的,载流圆环磁矢位,本问题的电流分布具有对称性，所以磁矢位在球面坐标系中只有分量，并只是r和的函数。故将场点选取在xoz平面，在此平面里，A与直角坐标分量Ay一致，它是电流元矢量Idl的y分量Iadcos所产生的磁矢位分量总和,式中：,又：,如果ra，则,所以：,积分后得出,0,由幂级数：,得：,球面坐标系中求旋度得,电偶极子,磁偶极子,比较：1、在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是相同的，但在偶极子附近，二者场分布不同。,引申：磁力线是闭合的，电力线是间断的。,3.6 磁介质中的场方程,磁介质的分类：顺磁质：磁介质中磁场增强r1如：锰，铝，氧气，氮气抗磁质：磁介质中磁场减弱r1如：铁，镍，钴,现在将一个长螺线管通电流I0，造成一个均匀磁场 B0，将磁介质充满磁场（保持电流不变）。实验发现：各种磁介质中的磁场有的减弱，有的加强。均匀各向同性介质充满磁场所在空间时，有：,磁介质定义：磁场作用下磁化，并影响磁场分布的物质,3.6.1 磁化强度,磁介质磁化的有关概念：分子电流及磁矩电子绕核运动，形成分子电流(磁偶极子)分子电流将产生微观磁场分子电流的磁特性可用分子磁矩表示磁介质的磁化磁化前，分子磁矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋于一致（同向或反向），宏观上表现出磁特性。磁化现象：磁介质在外磁场作用下，产生感应磁矩，产生二次磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。磁化结果使介质中合成磁场可能减弱，也可能增强。,磁化动态演示,磁化强度描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即,若V内每个分子的磁矩相同，单位体积内分子数为N,3.6.2 磁化电流,磁介质被磁化后，内部和表面会出附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）,磁化电流动态显示,3.6.2 磁化电流,体磁化电流密度：内部出现的附加电流,媒质表面外法向,面磁化电流密度：表面出现的附加电流,证明：体积元为V的磁介质产生的磁矢位为,全部磁介质产生的磁矢位为,利用恒等式,利用恒等式,例3-12 半径为a、高为L的磁化介质柱，磁化强度为M0,求磁化体电流密度和磁化面电流密度。,解：取圆柱坐标系的z轴与磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。,在界面z=0上（下底面）,在界面z=L上（上底面）,在界面r=a上,作业：教材习题三 19,3.6.3 磁场强度,在磁介质中，将真空中的安培环路定律修正为：,由于,将上式改写为：,令：,真空中与磁介质中统一形式的安培环路定律,积分形式：,微分形式：,磁场强度（辅助物理量）单位为A/m,3.6.4 磁导率,各向同性/各向异性；线性/非线性；均匀/非均匀,对于线性各向同性的磁介质：,r：介质的相对磁导率,根据 与 的关系可将磁介质分为：,本构关系：和 的关系，表示磁介质的磁化特性,m为磁化率，为无量纲量，顺磁质为正，抗磁质为负,：介质的磁导率,磁滞现象：指铁磁物质磁化状态的变化总是落后于外加磁场的变化，在外磁场撤消后，铁磁质仍能保持原有的部分磁性,3.6.5 磁介质中恒定磁场的基本方程,微分形式：,积分形式：,磁矢位的微分方程：在介质中同样定义磁矢位,在线性均匀各向同性介质中，采用库仑规范,基本性质：无散场。磁力线连续，无头无尾且不相交有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力构成闭合回路,例3-13 同轴线内导体半径为a、外导体内半径为b，外半径为c，设内外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域,解：如无特别声明，对良导体（不包括铁等磁性物质）一般取磁导率0，因同轴线无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。利用安培环路定律，可得,当ra时,当arb时,当brc时,当rc时，全为零,总结：静态场性质,静电场的基本方程（真空中和介质中）,积分形式：,微分形式：,静电场基本性质：有散无旋场,恒定电流产生的电场的基本方程（真空中和介质中）,积分形式：,微分形式：,恒定电流场基本性质：无散无旋场,恒定磁场的基本方程（真空中和介质中）,恒定磁场基本性质：无散有旋场,微分形式：,积分形式：,例：判断矢量场的性质,3.7 恒定磁场的边界条件,在两种介质分界面上，介质性质有突变，磁场将发生突变磁场的边界条件：分界面两边磁场突变所遵循的规律，称为磁场的边界条件推导磁场边界条件的依据是磁场方程的积分形式,磁感应强度的法向分量,在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由,由于h0,又S很小，所以S上磁感应强度可看成常数,表明：磁感应强度的法向分量在边界面两侧连续,或,磁场强度的切向分量,在分界面上构造如右图狭长回路，由,表明：磁场强度的切向分量在通过边界面时不连续,由于h0,又l很小，所以l上磁场强度可看成常数,或,由,由,分界面上磁场的方向（）,分析磁场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况,1、法线方向上：,2、切线方向上：,特殊情况：垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光的折射若媒质1为铁磁质，媒质2为空气，即12，即只要1/2，得20，即在铁磁质表面，磁场方向与表面垂直,说明：磁感应强度和磁场强度方向在经过分界面两边时方向将发生改变，改变量与媒质性质有关,若,3.8 标量磁位,磁标位的定义：,：磁场的标量位函数（简称标量磁位或磁标位）,单位为A（安培）。,磁标位的拉普拉斯方程：,磁标位表示磁场边界条件：,3.9 互感和自感,电感,3.9 互感和自感,一、磁链（magnetic flux linkage）的定义：磁链即为总磁通也叫做磁通链，用表示,说明1：如果回路由N匝线圈绕成，则磁链为各匝磁通之和。对于密绕线圈，可近似认为各匝的磁通相等，有=N，为单匝线圈磁通,说明2：在线性各向同性媒质中，穿过任意电流回路的磁通量与回路电流强度成正比，那么磁链也与回路电流成正比。,二、自感（self-inductance）的定义：回路的磁链和回路电流之比，用L表示,说明1：回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸、匝数和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。,说明2：若回路导线直径较粗，则,Li回路内自感，导体内部磁场与部分电流交链形成，一般回路导线内自感较小，可忽略Le回路外自感，导体外部磁场与全部回路电流交链形成,内磁链：穿过回路轴线与内周所围面积（即导体内部），与部分回路电流（即阴影部分包含电流）相交链的磁链。外磁链：穿过导体外部（即内周所围面积）与全部回路电流相交链的磁链。,内磁链,外磁链,三、互感（mutual inductance）的定义：,两个彼此靠近的回路C1和C2，回路C1的磁场在回路C2上产生的磁链为12，则回路C1对C2的互感为：,说明：回路互感仅与两回路的几何形状、尺寸、匝数、相对位置和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。,同理回路C2对C1的互感为：,11：I1在C1中磁链；21：I2在C1中磁链12：I1在C2中磁链；22：I2在C2中磁链,动态演示,互感为正,互感为负,互感的正负：在同一个线圈中自身电流和另一线圈电流产生的磁链方向相同，为正，反之，为负。,若11 和21 有相同的方向；或12和 22有相同的方向，互感为正，反之为负。,诺伊曼公式：给出两个简单回路间互感计算方法,诺伊曼公式：提供了求互感的一般方法，但实际应用起来常导致复杂的积分，一般不用此公式。,表明：互感仅与两回路的几何形状、尺寸、匝数、相对位置和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。两回路间互感相等M12=M21，即互感具有互易性,对于自感，诺伊曼公式变为：,可求外自感的诺伊曼公式,若两个线元重合，R=0，积分趋于无穷大，由于忽略了回路导线的截面所致,因此用诺伊曼公式计算自感必须考虑导线的横截面积,其中：,表明：回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸、匝数和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。,一般不用此公式计算外自感,小结：,穿过回路的磁链是由回路身的电流产生的，则磁链与电流的比值称为自感自感取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率如果穿过回路的磁链是由其它回路电流所产生，则磁链与产生磁链的电流之比称为互感互感的大小不仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率，还与两个回路的相互位置有关,电感的计算方法：从定义出发，设两回路电流为 I1和I2，求出相应的磁通链，得到外自感和互感。从能量角度出发，在导体内部积分求内自感,例3-14 求如图无限长平行双导线单位长度外自感。,解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为,磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为,所以单位长度外自感为,例：如图一长方形闭合回路与双线传输线同在一平面内，回路两长边与传输线平行，求传输线与回路之间的互感,解：双传输经在矩形圈中产生的磁通密度为：,所以，两者的互感为：,矩形回路的磁链为：,3.10 磁场能量,一、磁场能量（Wm）,初始状态：,最终状态：,1、两电流回路系统的磁场能量,1:与回路C1交链的总磁通 2:与回路C2交链的总磁通,用磁能来表示：,3.10 磁场能量,一、磁场能量（Wm）,2、N个电流回路系统的磁场能量,3、单回路系统的磁场能量：,1、两电流回路系统的磁场能量,即,其中：,在导体内部积分可求内自感,4、体电流的磁场能量,V为整个空间,i为总磁通：回路自身电流在该回路的磁通+其他回路电流在该回路上的磁通,二、磁能密度m,由于：,由于：,磁能密度：,线性各向同性：,例3-15 求半径为a的无限长圆柱导体单位长度内自感,解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为,单位长度的磁场能量为,单位长度的内自感为,注意：单位长度的内自感与导线的直径无关。单位长度的内自感为510-8H，较小，可忽略,3.11 磁场力,回路在磁场中受到的力的计算：,1、安培定律：,2、虚位移法：,磁链不变：设系统磁链保持不变,电流不变：设系统电流保持不变,例3-11 设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0(如图 3-22 所示)。设bz,lz，求上面一片导体板面电流所受的力。,解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回路定律可以求出两导体板之间磁场为B=0JS0，沿x方向。,导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力，假设两板间隔为一变量z，则,假定上导体板位移时，电流不变,这个力为斥力。,