微分方程基础知识的复习.ppt

微分方程基础知识的复习,一.微分方程中的基本概念二.线性方程的解的结构 三.一阶线性常微分方程总是可以求出 一般解四.二阶常系数线性齐次常微分方程总 是可以求出一般解,一.微分方程中的基本概念,1.微分方程及其阶2.常微分方程与偏微分方程3.线性微分方程与非线性微分方程,4.齐次微分方程与非齐次微分方程5.常系数微分方程与变系数微分方程6.微分方程的解与通解,二.线性方程的解的结构,设有二阶线性齐次常微分方程（5）定理1，定理2，定理3，定理4，,三.一阶线性常微分方程总是可 以求出一般解,四.二阶常系数线性齐次常微分 方程总是可以求出一般解,例,END,1.微分方程及其阶,微分方程是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程。微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。,2.常微分方程与偏微分方程,常：未知函数的自变量只有一个的方程，如:偏：未知函数的自变量有两个或两个以上的方程，物理上常称为数学物理方程 如:,3.线性微分方程与非线性 微分方程,线性：未知函数及其各阶导数在方程中都是一次，如:（1），（2）非线性：含有未知函数或其各阶导数的二次以上的项，或彼此交叉乘积的项，如:（3）,4.齐次微分方程与非齐次 微分方程,齐次：方程中不含自由项（不含未知函数及其导数的项），如:（1），（3）非齐次：方程中含有自由项，如:（2），,5.常系数微分方程与变系数 微分方程,常系数：未知函数及其各阶导数的系数为常数（与自变量无关），如:（4）变系数：未知函数及其各阶导数项的系数与自变量有关，如:（1），（3）,6.微分方程的解与通解,能够找出一个函数，把这个函数代入微分方程能使该微分方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，而且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这个解就称为微分方程的通解（或一般解）。,定理1,如果函数y1与y2是方程（5）的两个解，则 也是方程（5）的解。,定理2,如果函数y1与y2是方程（5）的两个线性无关解，则 是方程（5）的通解。,定理3,设是y*二阶非齐次线性方程（6）的一个特解，Y是与（6）对应的齐次方程（5）的通解，则 是二阶非齐次线性微分方程（6）的通解。,定理4,如果已知齐次方程（5）的通解为 可以用常数变易法求得非齐次线性微分方程（6）的通解。,