复变函数与积分变换第七章z.ppt

严格的证明是数学的标志,这是数学对于文化修养所提供的不可缺少的营养,一个学生若对数学证明从未留下印象,那他就缺少了一种基本的思维经历.-波利亚(Polya,G.)数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解释.-傅里叶(.),第七章 Fourier变换,7.1 Fourier变换的概念,7.2 单位脉冲函数及其Fourier变换,7.3 Fourier变换的性质,7.4 卷积,在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用,人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号.但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面.例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性.,首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中解决不了的问题.其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中.,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换,自变量为 S=+j Z域分析：Z 变换，自变量为z,所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数,，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量,的积分）,变为另一函数类 B中的函数,这里,是一个确,定的二元函数，通常称为该积分变换的核,称为,的像函数或简称为像，,称为,的原函数,在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解,另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:,（1）特别当核函数,（注意已将积分参,变量,改写为变量,），当,，则,称函数,为函数,的傅里叶（Fourier）变换，,简称,为函数,的傅氏变换同时我们称,为,的傅里叶逆变换,（2）特别当核函数,（注意已将积分参变量,改写为变量,），当,，则,称函数,为函数,的拉普拉斯(Laplace)变换，简称,为函数,的拉氏变换同时我们称,为,的拉氏逆变换,第八章 Fourier 变换,主 要 内 容,Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要,傅里叶变换发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础.泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用.19世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景.在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点.“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力.,傅立叶变换的作用,（1）可以得出信号在各个频率点上的强度.（2）可以将卷积运算化为乘积运算.（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段.（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的.,Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够,简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等)，又具有,非常特殊的物理意义。,的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。,展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关,内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。,8.1 Fourier 变换的概念,因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发,8.1 Fourier 变换的概念,一、周期函数的 Fourier 级数,二、非周期函数的 Fourier 变换,一、周期函数的 Fourier 级数,1.简谐波的基本概念,简谐波,为基本周期；,为频率。,区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：,则在 的连续点处有,2.Fourier 级数的三角形式,一、周期函数的 Fourier 级数,在 的间断处，上式左端为,称之为基频。,(Dirichlet 定理),定理,3.Fourier 级数的三角形式,其中,(A),一、周期函数的 Fourier 级数,3.Fourier 级数的物理含义,令,则(A)式变为,一、周期函数的 Fourier 级数,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。,频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。”,这是周期信号的一个非常重要的特点。,3.Fourier 级数的物理含义,一、周期函数的 Fourier 级数,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,3.Fourier 级数的物理含义,所占有的份额；,沿时间轴移动的大小。,一、周期函数的 Fourier 级数,4.Fourier 级数的指数形式,代入(A)式并整理得,根据 Euler 公式,可得,一、周期函数的 Fourier 级数,4.Fourier 级数的指数形式,推导,则有,令,其中,一、周期函数的 Fourier 级数,(2)计算系数 时,其中的积分可以在任意,一个长度为 T 的区间上进行。,(3)采用周期延拓技术，可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。,4.Fourier 级数的指数形式,一、周期函数的 Fourier 级数,5.离散频谱与频谱图,得,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,称 为频谱，记为,一、周期函数的 Fourier 级数,5.离散频谱与频谱图,一、周期函数的 Fourier 级数,(1)当 n=0 时，,解,(3)的 Fourier 级数为,解,(4)振幅谱为,相位谱为,(5)频谱图如下图所示。,解,借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对,信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。,但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函,数，而在工程实际问题中，大量遇到的是非周期函数，,那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?,二、非周期函数的傅立叶变换,二、非周期函数的傅立叶变换,(1)非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。,1.简单分析,当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；,当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，,因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。,其频谱是以 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2)当 时，频率特性发生了什么变化？,二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,(3)当 时，级数求和发生了什么变化？,二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,分析,分析,则,按照积分定义，在一定条件下，(C)式可写为,记,(3)当 时，级数求和发生了什么变化？,二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,二、非周期函数的傅立叶变换,2.Fourier 积分公式,(2)Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换),二、非周期函数的傅立叶变换,-1,3.Fourier 变换的定义,注 上述变换中的广义积分为柯西主值。,二、非周期函数的傅立叶变换,4.Fourier 变换的物理意义,与 Fourier 级数的物理意义一样，Fourier 变换同样,刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期,函数的频谱是连续取值的。,一般为复值函数，故可表示为,反映的是 中各频率分量的分布密度，它,(2)振幅谱为,相位谱为,解,(3)求 Fourier 逆变换，即可得到 Fourier 积分表达式。,解,-1,一般地，有,特别地，有,注,解,相位谱为,8.2 单位脉冲函数,一、为什么要引入单位脉冲函数,一、为什么要引入单位脉冲函数,细杆取 的结果。,质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于,显然,该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息,相应地，质点的密度函数为,二、单位脉冲函数的概念及性质,1.单位脉冲函数的概念,(1)当 时，,(2),显然，借助单位脉冲函数，前面引例中质点的密度函数,单位脉冲函数 又称为 Dirac 函数或者 函数。,就可表示为,当 时，,二、单位脉冲函数的概念及性质,1.单位脉冲函数的概念,二、单位脉冲函数的概念及性质,2.单位脉冲函数的性质,(2)对称性质,函数为偶函数，即,设函数 是定义在 上的有界函数，,函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点,出发长度为 1 的有向线段来表示，,同样有，函数 的脉冲强度为 A。,二、单位脉冲函数的概念及性质,3.单位脉冲函数的图形表示,其中有向线段的长度,三、单位脉冲函数的 Fourier 变换,由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有,利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换：,即 与 1 构成Fourier变换对,相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。,称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。,性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，,三、单位脉冲函数的 Fourier 变换,按照 Fourier 逆变换公式有,(2)将等式 的两边对 求导，有,它是工程技术中最常用的函数之一。,又,(2)由，,7.3 Fourier(逆)变换的性质,以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理,的条件.,(1)线性性质,设a,b 是常数，,则,(2)位移性质,(3)相似性质,(4)微分性质,上存在(n为正整数).如果当 时,则,上面是关于时域的微分性质.类似地也有关于,频域的微分性质:,上存在(n为正整数).如果当 时,则,从而可知,例1 设 求,令 于是由 可知,所以,(5)积分性质,如果 则,实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.,定义 设函数 和 都是 上的,绝对可积函数,积分,称为函数 和 在区间 上的卷积.记,为 或,即,7.4 卷积,如果 t0 时,则卷积变为,这是 上的卷积公式.,卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义,积分均收敛,并且允许积分交换次序):,(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律,(4)与单位脉冲函数的卷积,设 f(t)是 上的连续函数,则,例 求 和 在 上的,卷积.,解由 上的卷积公式,卷积定理：,Fourier变换的应用,前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在,频谱分析中的应用.下面再给出一个讨论在信息传,输中不失真问题的例子.,例 任何信息的传输,不论电话、电视或无,线电通信,一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比,只,是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化.,设输入信号为f(t),输出信号为g(t),信号不失,真的条件就是,其中K为常数，t0是滞后时间.从频率响应来看,为,了使信号不失真.应该对电路的传输函数H(w)提出,一定的条件.,传输函数H(w),设F(w)和G(w)分别是输入信号f(t)和输出信号,g(t)的Fourier变换.,传输函数H(w),由Fourier变换的 可得,这说明,如果要求信号通过线性电路时不产生任何失,真,在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有,故要求传输函数,恒定的幅度特性和线性的位相特性.,最后介绍应用Fourier变换求解某些数学物理,方程(偏微分方程)的方法.在应用 Fourier 变换求,解偏微分方程时,首先将未知函数看做某个自变量,的一元函数,对方程两端取Fourier变换,把偏微分,方程转化成未知函数为像函数的常微分方程,再利,用所给的条件求常微分方程,得到像函数后,再求,Fourier逆变换,即得到偏微分方程的解.,Fourier变换的应用,(微分、积分方程的Fourier变换解法),微分、积分方程,取Fourier变换,象函数的代数方程,解代数方程,象函数,取Fourier逆变换,象原函数(方程的解),求解数学物理方程,本章内容总结,线性性质对称性质相似性质翻转性质时移性质频移性质时域微分频域微分积分性质卷积性质,Fourier变换,时移性质频移性质微分性质,本章的重点,2.会求简单的Fourier变换,1.Fourier 变换的定义及其性质,第七章 完,Jean le Rond DAlembert,(1717.11.16-1783.10.29),法国数学家和物理学家,被,一个贫穷家庭收养的弃婴.,他是18世纪的大数学家,在,很多领域取得了成就,特别在微分方程和力学等,方面的贡献尤为突出.,历史回顾 Fourier级数,附：,历史回顾 Fourier级数,附：,1829 年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。时年 24 岁。,1830年 5 月 16 日，Fourier 在巴黎去世。,历史回顾 Fourier级数,附：,人物介绍 狄利克雷,附：,附：,人物介绍 傅立叶,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论.他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.,则,