力学竞赛之拉格朗日方程.ppt

第一章分析力学基础,18世纪提出了处理多个约束的刚体系统动力学问题。利用矢量力学分析出现以下问题：,对于复杂约束系统约束力的性质和分布是未知的；表述形式复杂。如球坐标系下的运动方程。质点系问题为大量方程的微分方程组。,1788年拉格朗日发表了分析力学一书，提出了解决动力学问题的新观点和新方法：采用功和能量来描述物体的运动和相互作用力之间的关系。,与矢量力学相比，分析力学的特点：,（3）追求一般理论和一般模型，对于具体问题，只要代入和展开 的工作，处理问题规范化。,（1）把约束看成对系统位置（速度）的限定，而不是看成一种力。,（2）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学 分析方法，得到标量方程。,（4）不仅研究获得运动微分方程的方法，也研究其求解的一般方 法。,在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目，称为质点系的自由度数，简称自由度。,11 自由度和广义坐标,例：确定一个质点在空间的位置需3个独立的参量,自由质点为3个自由度。,例：质点M 被限定只能在球面,的上半部分运动,由此解出,这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定,它的自由度数为2。,n个质点组成的质点系，,若受到s个完整约束作用,自由度数为 N=3n-s,描述质点系在空间中的位置的独立参数称为广义坐标。,对于完整约束,广义坐标的数目系统的自由度数,思考：非完整约束，广义坐标数目和系统的自由度数目的关系？,拉格朗日广义坐标,约束方程为,系统N个独立的坐标参量表示为,系统的n个坐标参量,设由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束,例：一单摆在空间摆动，摆长为l。,约束方程为,自由度数为2。,（单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。,思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度数目的关系如何？,描述导弹的位置：,质心的位置,导弹的纵轴和x 轴的夹角,独立的广义坐标数目为3,约束方程,导弹的速度方向要对准飞机的质心,非完整约束,独立的虚位移数目自由度数目2,设作用在第i个质点上的主动力的合力,在三个坐标轴上的投影分别为,虚功方程,12 以广义坐标表示的质点系平衡条件,1.以广义坐标表示的质点系平衡条件,由于广义坐标的独立性,可以为任一值,如令,质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。,用广义坐标表示的质点系的平衡条件,求广义力的两种方法,1.直接计算法（解析法）,2.几何法,令某一个 不等于零,而其他N-1个广义虚位移都等于零,利用广义虚位移的任意性，,例11,试求：平衡时 与，之间的关系。,系统有两个自由度。,现选择 和 为系统的两个广义坐标,计算其对应的广义力 和,用第一种方法计算广义力：,解：,故,系统平衡时应有,用第二种方法计算：,则对应于 的广义力为,可得一组虚位移,保持 不变，,只有 时,可得另一组虚位移,对应于 的广义力,例 12,系统具有两个自由度。,广义坐标：,首先令 向右，,主动力所做虚功的和为,对应广义坐标 的广义力为,解：,因为系统平衡时应有,再令 向下，,2.以广义坐标表示的保守系统的平衡条件及系统的稳定性,如果作用在质点系上的主动力都是有势力，势能为,各力的投影为,虚功为,虚位移原理的表达式成为,在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点 系的势能在平衡位置处一阶变分为零。,如果用广义坐标 表示质点系的位置。,则质点系的势能可以写成广义坐标的函数,由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式,在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能 对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。,不稳定平衡：在平衡位置上系统势能具有极大值。,随遇平衡：系统在某位置附近其势能是不变的。,稳定平衡：在平衡位置处系统势能具有极小值。,对于一个自由度系统，,系统具有一个广义坐标q，,因此系统势能可以表示为q的一元函数,即,当系统平衡时，,在平衡位置处有,如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能具有极小值。,即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零,一个自由度系统平衡的稳定性判据,例 13,试求：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。,解：,由,有,对于稳定平衡,要求,即,13 动力学普遍方程,n个质点组成的系统,第i个质点,，。,惯性力为,理想约束作用,在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和等于零。,写成解析表达式,动力学普遍方程,特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。,例 14,已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 的 重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩 擦都忽略不计。,求：质量为 的物体下降的加速度。,解：,取整个滑轮系统为研究对象。,由动力学普遍方程,例 15,已知：两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为m。,求：当细绳直线部分为铅垂时，轮II中心C 的加速度。,解：,研究整个系统。,此系统具有两个自由度,取转角 为广义坐标,令,则点C 下降,动力学普遍方程,（a）,令,则,代入动力学普遍方程,或,（b）,运动学关系,（c）,联立式（a）（b）（c）解出,14 第二类拉格朗日方程,设由n质点组成的系统受s个完整约束作用，系统具有N=3n-s个自由度。,设 为系统的一组广义坐标,对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立的。,广义惯性力,（1）,证明：,注意 和 只是广义坐标和时间的函数,（2）,证明：,对时间求微分,而,若函数 的一阶和二阶偏导数连续,得到,第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程,方程式的数目等于质点系的自由度数。,如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力）,于是拉格朗日方程可以写成,引入拉格朗日函数（又称为动势）,则拉格朗日方程又可以写成,例 16,试求：当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，此系统的运动微分方程。,解：,其中 为平衡位置处弹簧的伸长量,此系统的动能为,系统的动势为,代入拉格朗日方程,得,注意到,则系统的运动微分方程为,例 17,试求：此系统的运动微分方程。,解：,选 和 为广义坐标,（a）,将式（a）两端对时间求导数,（b）,系统的动能,则系统的势能为,选质点 在最低处时的位置为系统的零势能位置,由此得,把以上结果代入拉格朗日方程中,（e）,固有角频率为,质点 的摆动周期将趋于普通单摆的周期,