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准确把握概念核心 设计自然教学过程努力提高教学质量 人民教育出版社中学数学室 李海东,当前数学教学中存在的问题提高研究教材的水平重视核心概念教学 重视思想方法的教学 基于概念核心、数学思想方法的教学设计设计自然的教学过程，提高课堂教学效益,国际数学课程改革的大背景新数运动（20世纪50、60年代）回到基础（20世纪70年代）问题解决（20世纪80年代）标准运动（20世纪90年代至今）求变革新反思批判回归,一、当前数学教学中存在的问题,新世纪我国基础教育课程改革上世纪的数学教育改革2001义教数学课程标准 2005全部使用2004普通高中数学课程标准 2012全部使用义教数学课程标准修订 2005开始 2007征求意见稿 2010修改稿 2011年颁布 2012使用新教材,学习理念 冷静思考探索创新 实践提高教师反映的问题 新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等等。,“新课改后中学数学教材特点的比较研究”课题的调查结论认可教材的主要变化，但实际教学效果不明显。教材的主要变化 1.更重视数学知识的学习过程，加强教材的启发性、探究性、发展性；2.更重视数学知识与实际问题的联系，加强教材对实际背景与实际应用的反映。本次课程改革，各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进，教材中都设计了一些引导学生思维的栏目，注意留给学生探索与交流的空间，选材注重与学生现实生活的联系等等。从统计结果来看，教师对教材的这些处理还是比较认可的。但是，尽管教师认可教材的呈现方式，学生的学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高，这应当引起我们的注意。,课标教材中设置的引导思维的栏目（如“想一想”“探究”等）对学生掌握相关内容,对于课标教材中设置的引导学生思维的栏目数量，您认为,课标教材给学生探索和交流的空间,课标教材联系生活实际的问题,课标教材的教学中，学生的学习兴趣,课标教材的教学中，学生学习的自主性,能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。对于学生对基础知识和基本技能的掌握，教师的态度比较中性。对于传统的“三大能力”中的运算能力和逻辑思维能力，教师的评价是负面的。对于同是“三大能力”的空间想象能力，教师的评价是正面的。另外，本次课程改革，从课程标准到各个版本的教材，都注意加强了对学生解决实际问题能力、探究能力、数学表达与交流能力的培养。但从调查结果来看，教师的选择出现了分化，三个问题的回答，选择“提高”“差不多”“降低”的比例大致相同，并没有得到我们预期“提高”的结果。,使用课标教材后，学生的运算能力与您的预期相比,使用课标教材后，学生的逻辑思维能力与您的预期相比,使用课标教材后，学生的解决实际问题的能力与您的预期相比,使用课标教材后，学生的自主探究能力与您的预期相比,客观原因 影响教材实验及其效果的因素是复杂的。比如，由于班额普遍偏大（初中班额在50人以上的占77%强，在60人以上占41.82；高中班额在50人以上的占76.44%，在60人以上的占38.12），以及受升学、考试等的影响，尽管教师认可教材重视数学知识的学习过程、加强启发性及探究性等处理方式，但这些措施在实际教学中往往难以到落实。反思我们自己的问题,教学层面的问题 数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；“重逻辑而轻思想”。强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。,教师层面的问题 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。,例 对概率的频率定义的错误理解频率的稳定值就是概率的估计值。随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。用频率估计概率，一定要大量重复试验。必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等价，随机事件的概率大于0而小于1。,例 平方差公式的教学中的思想方法 公式教学的基本过程：归纳公式（“举三反一”，概括其本质属性）表示公式（文字、符号语言表示）辨析公式（明确其结构特征）应用公式（“举一反三”）。,例 如何阐述教学目标目标：理解正数与负数的概念目标解析：了解：通过实际例子，感受引入负数的必要性，会用正、负数表示一对具有相反意义的量；进而初步获得正数、负数的抽象概念。理解：能用正负数表示实际问题中的数量，并随着绝对值、相反数等概念的学习，逐渐熟练地进行正、负数的运算。,例.努力改进教学方式,讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法 启发式在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。,教学方式,二、提高研究教材的水平,仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。,例 负数的引入,例 一元一次方程的整体安排,例 等腰三角形在轴对称之后研究,关于核心概念 基础性在相应领域具有基础地位，并能形成联系通畅的结构 发展性具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法 可行性与学生的思维发展水平和数学学习方式保持一致，是可学、能学的 例如：代数中的运算律（分配律）就比因式分解的一些具体方法和技巧（十字相乘法）有更高的理论和实践价值,三、重视核心概念的教学,例 有理数及其运算 在数与代数领域，有理数及其运算是一切运算系统的基础。将其他运算的对象和数作类比，可以使我们得到很多研究方法方面的启示。,数运算（加、乘、指数运算）和逆运算运算律 大小关系式运算（加、乘、指数运算）和逆运算运算律 大小关系解代数方程有系统地运用运算律（特别是分配律）去简化所给的代数方程，并最终化归为x=a的形式。向量运算运算律向量法 向量法实际上是利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的转化成为向量运算律的系统运用。,数式通性整式,数式通性分式,数式通性二次根式,加强概念教学,概念教学的核心概括（同类事物的共同本质特征）概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。“举三反一”与“举一反三”举三反一分化用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性；举一反三类化把共同本质属性推广到同类事物中；对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。,概念教学的基本环节,概念的引入从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念的形成提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”纳入概念系统，建立与相关概念的联系。,例 反比例函数概念的教学,匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义给出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；例题用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确“求反比例函数”的含义；通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。,关于概念教学的一些要求,（1）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概 念的概括过程；（2）正确、充分地提供概念的变式；（3）适当应用反例；（4）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元 联系表示”；（5）精心设计练习。,四、重视思想方法的教学,什么是数学思想方法？数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。二者有很强的联系性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时称数学方法。,数学思想方法的层次性（1）解题术与某些特殊问题联系在一起的方法，在特定环境中发挥作用，具有较固定的操作程序。求差法（2）解题通法解决一类问题时可以采用的共同方法，操作程序不是很具体，但适用范围比较广泛。换元法 配方法 数学归纳法（3）数学思想对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，程序性弱，功能性强。分类思想 化归思想 函数思想 数形结合 极限思想 统计思想（4）数学观念数学思想方法的最高境界，认识客观世界的哲学思想。例：二元一次方程组解法中的数学思想方法 化归消元代入（加减）恒等变换（整体代换）,新课标中的“基本思想”获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基 本技能、基本思想、基本活动经验。抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；推理：促进数学内部的发展；模型：沟通数学与外部世界的桥梁。例：一元二次方程中的基本思想,数学思想方法教学的层次性 渗透。在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。介绍。把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。突出。在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。,加强数学思想方法的教学 数学思想方法具有过程性的特点，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的载体；数学思想方法还具有活动性的特点，学生头脑中的数学思想方法也是在数学学习活动中逐步形成的。这就要求我们精心设计教学过程，从问题的提出、情景的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，有意识有目的地进行数学思想方法的教学。,1引入过程重视“先行组织者”的使用，加强研究方法的指导。例：反比例函数的图象与性质通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？,2设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程。例：二元一次方程组的解法新问题是什么？学习过什么老问题？将新问题转化为老问题就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。怎样将新问题转化为老问题？这种“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的思想就是消元思想。怎样消元？也就产生了代入与加减两种消元的方法。如何“代入”与“加减”？需要具体的代数的恒等变换的方法。,3发挥小结的作用，让学生学习的思想方法也纳入认知系统。例：代入消元法的框图,3.加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性。不要把数学教学蜕化为“解题教学”，进一步蜕化为“刺激反应”训练。提高思想性的做法加强“先行组织者”的使用,加强研究方法的指导.过程与结果并重，加强过程性没有过程等于没有思想。,例 如和研究研究四边形,研究的问题 一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。研究的方法 化归为三角形、平行线等已有知识。特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形。,例 研究方法的联系函数性质的讨论（正比例函数一次函数反比例函数 二次函数）研究内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性 研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。三步曲 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大 于零或小于零等。,对”与圆有关的位置关系”的处理 24.2.1 点和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 24.2.3 圆和圆的位置关系 研究的对象-两个图形间的位置关系 研究的方法-将两个图形间的位置关系分类，从几何、代数两方面分析特性 关注的问题-（1）几何特性（交点个数及区域分布）（2）代数特性（“两图形间的距离”与半径的比较）数形结合两方面讨论,教学设计的基本线索 内容和内容解析；目标和目标解析；教学问题诊断分析；教学支持条件分析 教学过程设计；目标检测的设计。,五、基于概念核心、思想方法的教学设计,1内容和内容解析,内容：针对“核心概念”内涵和外延的准确表达；内容解析：重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念在中学数学中的地位进行分析，其中隐含的思想方法要做出明确表述。在此基础上阐明教学重点。,例“函数”概念的核心,函数概念的发展历史函数的产生来自研究变量的需要。17世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的关注。18世纪，函数被认为是由变量x和常量构成的式子。约翰贝努利：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”欧拉这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。,19世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。20世纪后，现代函数概念“集合之间的映射”方式定义形成，即“若存在集合M到N的一个映射f，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)，其中x 是M的任一元素，y是x在N中的像。”,初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念初中阶段的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了是“单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域,初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这包括两个方面的含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。,例“三线八角”概念的核心,“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角。对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系；关键：根据结构特征进行分类。,2目标和目标解析,目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。目标：用“了解”“理解”“掌握”以及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般地，核心概念的教学目标都应进行适当分解。要强调把能力、态度等“隐性目标”融合到知识、技能等“显性目标”中，以避免空洞阐述“隐性目标”，使目标对教学具有有效的定向作用。,例“变量与函数”的教学目标,目标：了解常量、变量、函数的概念目标解析：结合具体实例，体会常量与变量的特征，能指出具体问题中的常量、变量结合具体实例，理解具有函数关系的问题中两个变量之间的单值对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，能举出函数的实例。结合函数概念的形成过程,体会变化与对应的数学思想，感知现实世界中变量之间的相互联系并不断运动变化；体会从具体的生活实例中抽象概括出数学知识的方法，,例“三线八角”的教学目标,目标：识别同位角、内错角、同旁内角（课标）。目标解析：正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。以“结构特征”为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。,3教学问题诊断分析,教师应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。可以从认知分析入手，即分析学生已经具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标还需要具备哪些条件，通过已有基础和目标之间的差异比较，分析教学中可能出现的障碍。本栏目的内容应当做到言之有物，以具体数学内容为载体进行说明。,例“函数”中的难点分析,函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，初次接触函数概念时会感到十分困难。函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型，涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中的层次主要有：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。,学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还不很成熟，这个矛盾是函数概念学习中认知障碍的根源。教学难点：函数概念形成中的抽象与概括，对“单值对应”的理解。,例“三线八角”中的难点,学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，除在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。,B和BCE可以看成是直线，被直线 所截得的 角；B和BCD可以看成是直线，被直线 所截得的 角。B E A C D 两个角的公共边就是截线,4教学支持条件分析（根据需要）,为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。,5教学过程设计,强调教学过程的内在逻辑线索；给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等；根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。,6目标检测设计,习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计。注意防止一步到位，过早给综合题、难题有害无益；打不好基础就谈不上发展。,例“变量与函数”检测题,1在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2用10cm长的绳子围成长方形（1）若长方形一边长为3cm，面积为多少？（2）若长方形的一边长为xcm，面积为Scm2，试用含x的式子表示S（3）S是x的函数吗？为什么？,3下列曲线中，哪个表示y是x的函数？为什么？,评析：通过三种形式（表格、解析式、图象）来呈现问题，且问题的难度拾阶而上，在突出本节课主体知识的同时，还为下一节课学习函数的三种表示形式埋下了伏笔商榷：练习题要能反映出本节课的重点和难点这节课的重点是变量和函数的概念，难点是对函数概念中的单值对应关系的理解。而在上述三个练习中，没有出现变量问题（变量只字未提），关于“通过对应辨别函数”（难点）的题目（题3）太少并且难（学生并未学习函数的图象），致使巩固的实效不仅未达到，而且反馈的结果也不一定很真实。建议：适当增加一些含有两个或多个变量并且变量之间有多种对应关系的问题，先让学生找变量，再判断哪些变量之间是函数关系等。,六、设计自然的教学过程，提高课堂教学效益,问题引导学习 提好的问题，有意义、适度、恰时恰点设计自然的过程 体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。核心是引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。,好的问题的关键是要引导学生独立思考,思维需要合适的问题情境；独立思考需要安静的环境和充分的时间。让学生完成关键的概括活动；要面向全体学生；暴露学生的思维过程。,例 不恰当的问题设计,不反映当前学习内容的本质（例：函数概念的引入）过分强调联系实际引入概念（例：角的概念）没有思维深度、低水平重复的问题（例：多边形内角和）无效的问题（例：课堂中的“是”“否”回答，要问为什么）,关键点 关节点 联结点 发散点 最近发展区 度 君子之教，喻也：道而弗牵；强而弗抑；开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和、易、以思，可谓善喻矣。优秀教师的教学，善于诱导。他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出。道而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快、易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案。使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了。,如何提问题,例 不等式的性质的引入不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。（先行组织者）你能回忆一下等式的基本性质吗？等式的基本性质的实质是什么？（“运算中的不变性”）类似的，不等式有哪些基本性质呢？尝试、验证、归纳。,例 相似三角形判定,例 平行四边形判定,例 变量与函数的教学过程设计,一、创设情景，引出课题例1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s，行使时间为t.1填表，再试用t的式子表示s.2事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？3变量与常量的定义。4变量与常量在生活中的例子有哪些？5写出下列两式的表达式，并指出其中的变量与常量（1）设圆的面积为s，半径为r，则s怎样用r来表示呢？（2）已知圆柱体的底面积为9平方米，高为h，则体积V怎样用底面积与h表示呢？【设计意图】通过探究常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫.,二、探索研究，形成概念问题：上述几个例子中的变量有什么关系？你能从两个变量联系的角度，试着描述这种关系吗？【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析，让学生从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识例2：姚明职业生涯技术统计问题：1.表格中有变量吗？是什么？2.问题中的两个变量之间有上面我们描述的关系吗？3.随着赛季数值的变化，场均得分怎么样变化？4.你能写出赛季n与场均得分p之间的表达式吗？,例3：某地一天内的气温变化情况问题：1图象中有变量吗？是什么？2你能写出温度T与时间t的表达式吗？这两个变量之间有前面我们描述的关系吗？3上面总结的变量之间的关系的描述是否准确，该如何描述两个变量之间的这种关系？【设计意图】通过例2的姚明职业生涯技术统计表格和例3的天气变化图象，让学生从对函数的解析式理解过度到函数概念是两个变量间互相依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次抽象认识,例4：北京的出租车是这样计费的：在不超过三公里的情况下，收取基价10元；超过三公里后，超过部分每公里按2元计费 问题：1在里程不超过三公里的情况下，里程改变，钱数改变吗？2这个例子与我们总结出的关于两个变量之间的关系的结论矛盾吗？3那应如何进一步完善我们刚才给出的结论呢？【设计意图】通过出租车计费的例子，让学生从函数概念的变量的依赖关系过度到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象认识.,三、归纳抽象，明确定义1回放前面四个例子，让学生讨论这四个例子的关键点如例1，（1）在这个变化过程中，当t=1时，s=？当t=7时，s=？（2）每给定t的一个值时，s的值会怎样？2归纳、抽象出函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数【设计意图】通过学生自己归纳总结，让学生经历概念形成过程，最终由学生将关键点串联起来，形成现行初中函数定义，完成对函数概念内涵的第四次完整认识.,四、运用实例，辨析概念 1强调函数概念中的两个关键词让学生对照着前面的四个例子认识“确定”与“唯一确定”这两个关键词 给出反例，巩固概念例5 一个信封上有两个地址“人教社 李海东老师收”以及“山西教科院 苏耀忠老师收”，此时邮递员还能把信发出去吗？【设计意图】通过明晰关键词，帮助学生明确概念；通过寄信的实际问题，引出“一对一”与“多对一”的问题，让学生进一步理解函数的定义（五）举例分析，应用概念（略）,敬请批评指正！,李海东人民教育出版社中学数学室,