专题六不等式解答题的解法.ppt

第二部分高考题型解法训练,专题六 不等式解答题的解法,试题特点,专题六 不等式解答题的解法,1.近三年高考各试卷不等式考查情况统计 2005年、2006年、2007年高考卷的解答题中，每年都有不等式的题出现，但单独作为一个题的形式不是很多，2005年有3道，2007年的19套试卷中，也只有2道，是关于解不等式，处于第一个题的位置，属于容易题.而一般都是与其它知识综合，考查解不等式、证不等式，有一定的难度.不等式与数列、导数、解析几何、三角函数等问题综合，其中与数列综合是最多的.,试题特点,专题六 不等式解答题的解法,不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯穿在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明.,试题特点,专题六 不等式解答题的解法,2.主要特点 不等式是中学数学的重要内容，在数学的各个分支中都有广泛的应用，是进一步学习高等数学的基础和重要工具，所以不等式一直是高考数学命题的重点和热点.历年高考试题，涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型：解不等式；证明不等式；取值范围问题；应用问题.试题主要有如下特点：,试题特点,专题六 不等式解答题的解法,1.突出重点，综合考查.高考命题遵循在“知识与方法的交汇点 设计命题”，不等式能和所有的数学知识构成广泛的联系，因此高考试题中不等式常与函数、数列、解析几何、三角 等进行综合.2.高考突出主干知识和重要数学思想的考查，这是高考不变的 立意.解含参数的不等式能较好地体现等价转化、分类整 合、数形结合等数学思想.因此，含参数的不等式在历年高 考中常考不衰.3.导数是解决不等式问题的强有力的工具，因此高考中加强了以 导数为载体的导数、不等式、函数的综合.4.高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立 体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识，加强了不等式 作为一种工具作用的考查.,应试策略,专题六 不等式解答题的解法,1.不等式的解法 在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练与复习.解 不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不 等式(组)，以快速、准确求解.(1)解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各 类不等式的基础.必须熟练掌握，灵活应用.(2)解高次不等式、分式不等式，首先使不等式一边是零，一边是 一次因式（一次项系数为正）或二次不完全平方式的积与商的 形式（注意二次因式恒正恒负的情况），然后用数轴标根法写 出解集（尤其要注意不等号中带等号的情形）.,应试策略,专题六 不等式解答题的解法,(3)解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉 绝对值符号，转化为一般不等式.等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形xa x2a2 axa(a0)xa x2a2 xa或xa(a0)一般地有：f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x)(4)对于解含参数不等式，要充分利用不等式性质.对参数的讨 论，要不“重复”不“遗漏”.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的.,应试策略,专题六 不等式解答题的解法,2.掌握算术平均数与几何平均数定理定理如果a,bR,那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”）.定理如果a,b是正数，那么(当且仅当a=b时，取“=”)(1)二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转化为“和式”的放缩功能.(2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式 是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够 成立.,应试策略,专题六 不等式解答题的解法,(3)“和定积最大，积定和最小”，即2个正数的和为定值，则可求 其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论求值要注意三个条件：各项或因式非负；和或积为定值；各项或各因式都能取得相等的值.必要时要作适当的变形，以满足上述前提.,应试策略,专题六 不等式解答题的解法,3.不等式证明在不等式证明中，加强化归思想的复习.证明不等式的过程是一 个把已知条件向要证明的结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力.正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起足够重视.(1)证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法和数学 归纳法.其他方法如：放缩法、反证法、换元法、判别式法证 明不等式在高考中不作过高要求.(2)比较法有求差比较法和求商比较法两种模式.求差比较法中的 变形可以变成平方和、常数、因式的积；求商比较法要注意 对分母的符号进行讨论.比较法在符号确定的前提下，可以转 化为乘方问题来解决：如果a、b0,则a2b2 ab.,应试策略,专题六 不等式解答题的解法,(3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的基本不等式有：a20,aR;a2+b22ab,a，bR;,a，bR+；a+b+c 3,a，b，cR+；利用基本不等式的变式：()2;,(其中a，bR+).分析法是从要证的结论入手，寻找其充分条件，即执果索因；综合法为分析法的逆过程，即由因导果；复杂的不等式证明要注意几种方法的结合使用.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,1.（2007石家庄质检题）解关于x的不等式：x|xa|(a0).,解析当xa时，不等式可转化为,即,a x,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,x 或 xa,故不等式的解集为（,）.,当xa时不等式可化为,即,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,点评 本题主要考查含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想.本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必 须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个 不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集.,2.（2007湖北八校联考题）设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两 直线y=x，y=x均不相交.试证明对一切xR都有|ax2+bx+c|.,分析因为xR，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由 顶点确定，故设f(x)=a(xx0)2+f(x0).,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,证明由题意知，a0.设f(x)=a(xx0)2+f(x0)，则f(x0)=.又二次方程ax2+bx+c=x无实根，故 1=(b+1)24ac0，2=(b1)24ac0 所以(b+1)2+(b1)28ac0，即2b2+28ac0，即b24ac1，所以|b24ac|1.故|f(x0)|=|=,由b24ac10 可知当xR时，|f(x)|f(x0)|.所以|f(x)|即|ax2+bx+c|成立.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,点评从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的 不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函 数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,3.已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时 0.(1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒 成立，求实数t的取值范围.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,解析(1)证明：任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知 0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数.,分析(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知 条 件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,(2)f(x)在1，1上为增函数，解得 x|x1，xR,(3)由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要使f(x)t22at+1对所有x1，1,a1，1 恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，有g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2.t的取值范围是 t|t2或t=0或t2.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,点评 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析 能力与化归能力.它主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单 调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问 题；问题（2）、（3）要求的都是变量的取值范围，不等 式的思想起到了关键作用.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,4.已知函数f(x)=（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有 两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式：f(x).,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,解析（1）将x1=3,x2=4分别代入方程 x+12=0得 所以f(x)=(x2).,，解得,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,（2）不等式即为,可化为 0 即(x2)(x1)(xk)0.当1k2,解集为x(1,k)(2,+).当k=2时,不等式为(x2)2(x1)0解集为x(1,2)(2,+);当k2时,解集为x(1,2)(k,+).,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,点评 解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化 成整式不等式,解分式不等式一般情况下是移项,通分,然后转 化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简单,快捷,另外 f(x)g(x)0，,5.对于在区间m，n上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果 对任意的xm，n，均有|f(x)g(x)|1，则称f(x)与 g(x)在区间m，n上是接近的，否则是非接近的.设 f1(x)=loga(x3a)与f2(x)=loga(a0，a1)是区间 a+2，a+3上的两个函数.（1）求a的取值范围；（2）讨论f1(x)与f2(x)在区间a+2，a+3上是否是接近的.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,解析（1）a0且a1，当xa+2，a+3时，要使函数f1(x)=loga(x3a)有意义，a+23a0，即a1 要使函数f2(x)=loga 有意义，a+2a0，即aR,由和得0a1，即为a的取值范围.,（2）要判断f1(x)与f2(x)在区间a+2，a+3上是否是接近的，只须检验|f1(x)f2(x)|1在区间a+2，a+3上是否恒成立.|f1(x)f2(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x3a)(xa)|，设|loga(x3a)(xa)|1，则1loga(x3a)(xa)1，即1loga(x24ax+3a2)1 设g(x)=x24ax+3a2=(x2a)2a2，抛物线g(x)开口向上，且对称轴为x=2a.0a1，02a2a+2a+3，,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,函数g(x)在区间a+2，a+3上是增函数.设a+2x1x2a+3，则g(x1)g(x2)，0a1，logag(x1)logag(x2)设h(x)=loga(x24ax+3a2)，则h(x)在区间a+2，a+3上 是减函数，h(x)max=h(a+2)=loga(44a)，h(x)min=h(a+3)=loga(96a)，,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,式成立的充要条件是：当a(0，时，f1(x)与f2(x)在区间a+2，a+3上是接近 的；当a(，1)时，f1(x)与f2(x)在区间a+2，a+3上 是非接近的.,a(0，,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,点评高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义，本题中 定义了两个函数在区间上接近的定义，解题时必须先搞 懂两个函数在区间上接近的定义.对数的运算是学生的一 个薄弱环节，本题涉及到对数的运算.二次函数的最值问 题也是重点内容之一.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,6.(2006西安地区八校联考)已知各项均为正数的数列an满足 a0=,an=an1+a2n1,其中n=1,2,3,.(1)求a1和a2的值；(2)求证：;(3)求证：ann.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,解析(1)a0=，a1=+()2=，a2=+()2=.(2)证明：anan1=a2n10,anan10.an=an1+a2n1an1+anan1,.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,(3)证明：=()+()+()1+1+=1+(1)+()+()=2.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,又a0=，an n.an=an1+a2n1an1+(n1)an1=,an1.an=an1+a2n1an1+an1=an1+.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,.=()+()+()()+=.a1=，an,综上所述，ann.点评本题考查学生运用数列的递推公式求数列的某些项的 方法、数列裂项求和法、放缩法证明不等式等知识，培养学生的计算能力.,考题剖析,专题六 不等式解答题的解法,