自动控制原理简明教程第五章.ppt

第五章 线性系统的频域分析法,5.1 频率特性5.2 典型环节和开环系统频率特性5.3 频率域稳定判据5.4 稳定裕度5.5 开环频率特性与时域指标的关系5.6 闭环系统的频域性能指标,自动控制原理课程的任务与体系结构,频域分析是在正弦输入信号作用下，考察系统稳态输出与输入量之间的振幅比和相位差的变化规律，其基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些由不同频率正弦信号组合而成的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总和。,控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于某些非线性控制系统。,特点,例：RC 电路如图所示，ui(t)=Asinwt,求uo(t)=?,建模,5.1 频率特性,5.1.1 频率特性的基本概念,解：,暂态分量,稳态分量,系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。,A()称幅频特性，()称相频特性。二者统称为频率特性。,幅频特性,相频特性,一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和相位均为输入信号频率的函数。,0,t,用R(j)和C(j)分别表示输入信号A sint和输出信号cs(t)=A sin(t+)，则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数，简称频率特性，记作,幅频特性,相频特性,实频特性,虚频特性,频率特性、传递函数、微分方程的关系,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。例：,5.1.2 频率特性的图示方法,频率特性的图形表示是描述系统的输入频率从0到变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。,常用频率特性曲线及其坐标系,对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。,1.幅相频率特性曲线,例：RC电路的幅相频率特性。,G(j)=R()+jI()代数式=|G(j)|G(j)极坐标式=A()ej()指数式,G(j)=arctanT,又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（=lg），单位为弧度/秒（rad/s），纵坐标按线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按()线性分度，单位是度（）。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。,2.对数频率特性曲线（Bode图）,和lg的关系表,=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，=0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。从表中可以看出，的数值每变化10倍，在对数坐标上lg相应变化一个单位。频率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程”，用“dec”表示。,轴为对数分度，即采用相等的距离代表相等的频率倍增，在伯德图中横坐标按=lg均匀分度。,半对数坐标纸,对数坐标图的特点,(1)由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段 频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。(2)当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，从而简化了画图的过程。,(3)在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。(4)若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。,精确曲线,渐近线,转折频率,对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线。,3.对数幅相曲线（Nichols）,典型环节 比例环节：K 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T0积分环节：1/s 微分环节：s,5.2 典型环节和开环频率特性,振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1；式中n0，0 0，0 1,5.2.1 典型环节,频率特性 G(j)=K,比例环节,对数幅频特性和对数相频特性分别是：L()=20lg|G(j)|=20lgK 和()=0,比例环节的 对数频率特性曲线,5.2.2 典型环节的频率特性,积分环节,0,j,L()=-20lg()=-90o,0,0,0.1,10,1,20,-90,-180,两重积分,L()=20lg()=90o,微分环节,0,j,0,0,0.1,10,1,20,90,1/T,L()-20lgT=-20(lg-lg1/T),G(s)=1/(Ts+1),惯性环节,0,j,!低通 滤波特性,一阶微分环节 G(s)=Ts+1,1/T,L()20lgT=20(lg-lg1/T),G(s)=Ts+1,0,0,！高频放大！抑制噪声能力下降,振荡环节,0,0,(a),(b),延迟环节,0,j,0,0,0.1,1,10,100,系统开环幅相曲线主要用于判断闭环系统的稳定性。通常将系统开环传递函数写成各环节串联的形式，利用“幅值相乘、幅角相加”的原则确定几个关键点的准确位置，然后绘出图形的大致形状即可。绘制步骤如下：(1)将系统的开环频率特性函数G(j)H(j)写成指数式A(j)ej()或代数式P()+jQ()；(2)确定极坐标图的起点=0+和终点；(3)确定极坐标图与坐标轴的交点（若奈氏图与负实轴有 交点，则必须求出）;(4)勾画出大致曲线。,5.2.3 开环幅相曲线的绘制(奈奎斯特Nyquist图),对于一般线性定常系统，其频率特性为,n阶系统,奈氏图的大致规律,1.极坐标图的起点,开环含有v个积分环节的系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。,2.极坐标图的终点,Nyquist曲线终点幅值为 0，而相角为(nm)90。,0型系统（v=0）,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,设m=0,I型系统（v=1）,只包含惯性环节的I型系统Nyquist图,设m=0,II型系统（v=2）,只包含惯性环节的II型系统Nyquist图,设m=0,开环幅相曲线与负实轴相交时的交点,计算方法有两种,例：已知系统开环传递函数，试绘制 概略开环幅相曲线。,解：,Nyquist图与实轴相交时,系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联的形式，即：G(s)H(s)=G1(s)G2(s).Gn(s)系统的开环频率特性为,幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,5.2.4 开环对数频率特性曲线(伯德Bode图),系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为,开环系统Bode图的绘制方法,(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联；,(2)确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。转折频率1/Ti，若T1T2T3.,则有123.。,(3)计算20lgK，在1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于-20v dB/dec的直线，向左延长此线，得到最低频段的渐近线。,(4)向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率:,惯性环节，-20dB/dec振荡环节，-40dB/dec一阶微分环节，+20dB/dec二阶微分环节，+40dB/dec,最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg,当1 rad/s时，L()=20lgK；,(5)渐近线的最后一段(高频段)的斜率为20(n-m)dB/dec；其中n为极点数，m为零点数。,(6)作出用分段直线表示的渐近线后，如果需要，可按 照各典型环节的误差曲线对相应段的渐近线进行修正，即可得到精确的对数幅频特性曲线。(7)绘制相频特性曲线，逐个作出各典型环节的对数相频特性曲线并进行叠加就可以得到系统开环对数相频特性曲线。当然，也可以直接计算()。通常采取求出几个特定值的办法，如(0),(1),(10),()等，从而得到相频特性曲线的概图。,例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为,转折频率：0.5 2 30低频段：V=1，在1 处 20lgK=20lg40=32,20 dB/dec，,解：,典型环节传递函数表示的标准形式,其对应的频率特性表达式为,0.1,0.5,1,2,10,30,100,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,-40,-20,-40,-20,例：已知单位反馈系统的开环传递函数,试绘制开环对数频率特性曲线。,解：典型环节传递函数表示的标准形式,其对应的频率特性表达式为,(1)转折频率为：,(2)在 时：,(3)过 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜线，以此作为低频渐近线。,(4)因第一个转折频率11，故低频渐近线画至1 1为止，经过11后曲线的斜率应为-40dB/dec；当曲线延伸至第二个转折频率2 2时，斜率又恢复 为-20dB/dec；直至3 20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为-40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。,直接绘制系统开环对数幅频特性的步骤,(5)系统开环对数相频特性表达式为,逐点计算结果系统开环相频特性数据,20dB/dec,40dB/dec,20dB/dec,20,40dB/dec,例：,相频特性曲线,例：已知系统开环传递函数为,试绘出开环对数渐近幅频曲线。,解：,5.2.5 最小相位系统、非最小相位系统,根据零、极点在s平面上分布情况的不同，函数G(s)可分为最小相位系统、非最小相位系统。最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中没有右极点、右零点的系统。非最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中有右极点或右零点的系统或者系统带有延迟环节。,最小相位系统特点,在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围都大于最小相位传递函数的相角范围。对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。,20dB/dec 90040dB/dec 180060dB/dec 2700,设系统（或环节）的传递函数分母多项式阶次位n，分子多项式的阶次为m（nm），系统串有 v 个积分环节，则对于最小相位系统，当时，对数幅频特性渐近线的斜率为20(n-m)dB/dec，相频特性的相位趋于90(n-m)；而当0时相角等于v*90，根据上述特征可以判断系统是否为最小相位系统。,对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在唯一确定的关系，即根据系统的对数幅频特性就可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。因此，从系统建模与分析设计角度看，只要详细绘出幅频与相频两者中的一种就足够了，由于对数幅频特性很容易绘出，故对于最小相位系统通常只画出它的对数幅频特性，而对相频特性可以只画简图，或者不画。,注意,最小相位系统的判别方法,5.2.6 根据频率特性曲线确定系统传递函数,由于系统频率特性是线性系统（环节）在正弦输入信号下的响应特性，因此由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。反之，由频率特性也可以求得相应的传递函数。有许多系统的物理模型很难抽象得很准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。对于最小相位系统（环节）而言，一条对数幅频特性曲线只能有一条对数相频特性曲线与之对应，因此只需用对数幅频特性曲线就可以求出系统（环节）的传递函数。,1.对于 0 型系统系统,2.对于 I 型系统系统,3.对于 II 型系统系统,例：已知某最小相位系统的渐近开环幅频特性如下图所示，试确定系统的开环传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,(1)由于低频段有两个积分环节，故确定直线斜率为。(2)在 处，可得(3)在 处，斜率由 变为，故确 定有一阶微分环节。(3)在 处，斜率由 变为，故确 定有惯性环节。,解：,综上所述，系统的开环传递函数确定为故系统的相频特性表达式为,如果两个系统具有相同的幅频特性，那么对于大于 0 的任何频率，最小相位系统的相角总小于非最小相角系统的相角。,幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。,最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。,例：有两个传递函数,例：有两个系统，其开环传递函数分别为,试比较它们对数频率特性。,解：,由于开环传递函数 中含有滞后环节，表明其为非 最小相位系统。,两者的幅频特性表达式相同，,相频特性表达式分别为,均为,开环系统伯德图,5.3 频率域稳定判据,系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部,由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性；,不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性 及性能的问题。,由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性，开环频率 特性可部分实验求取，无需求出闭环极点；便于研究系统参数和结构的改变对稳定性的影响；可以研究包含延时环节的稳定性；可以推广到非线性研究。,特点,在 s 平面上除有限个孤立奇点外函数处处解析，则在 s 平面上任选一复数 s，通过复变函数 F(s)的映射关系在 F(s)平面上可以找到 s 相应的象（在s平面中，F(s)及其导数存在解析的；F(s)及其导数不存在奇点，显然对F(s)，p1、p2 pn是其有限个奇点）。若在 F(s)的零极点分布图上，选择A点，使 s 从A点开始移动，绕 F(s)的零点 zi 顺时针依曲线s（s不通过任何零极点）转一周回到A，相应地，F(s)也可从 B 点出发回到 B，也画出一条封闭曲线 F。,5.3.1 奈氏判据的数学基础,1.幅角原理（映射原理）,若 s 依 s变化时，F(s)相角的变化为,则有,F(s)=-2 表示 s 的象F 从 B 点开始再回到 B点绕着原点顺时针转了一圈。,幅角定理：若s平面闭合曲线 s 包围F(s)的Z 个零点和P 个极点，则 s 依 s 顺时针旋转一圈时，在 F(s)平面上，F(s)闭合曲线 F包围原点的圈数 R 为 P 与 Z之差，即 R=P-Z。,同理，若 s 绕F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)上s的象 F绕原点反时针转一圈。,其中：R0，表示 F逆时针包围F(s)平面的原点；R=0，表示不包围F(s)平面的原点。,F(s)零点为闭环传递函数的极点，F(s)极点为开环传递函数的极点；开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，F(s)零极点个数相同；F(s)和 G(s)H(s)只差常数。,设,则,定义一个辅助函数,辅助函数 F(s)有如下特点,2.辅助函数F(s)的选择,F(s)函数的特点,3.s平面闭合曲线（奈氏路径）的选择,顺时针方向包围整个s右半面。由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。,设：闭环系统特征多项式 显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点,5.3.2 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据,闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈（当从-+变化时），G(j)H(j)曲线逆时针包围（-1，j0）点P圈。P 为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；R G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；Z 闭环系统位于s右半平面的极点数。Z=0，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。,若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点。,奈氏判据,例：已知某系统G(j)H(j)轨迹如下，系统开环不稳定 P=1，试分析系统稳定性。,由=0+变化时G(j)H(j)的曲线，根据镜像对称得=-0-变化时G(j)H(j)的曲线，得到一封闭曲线。,解：,G(j)H(j)(从-+)曲线逆时针包围（-1，j0）点一次，即R=1。,Z=P-R=0，故闭环系统稳定。,例：已知单位反馈系统，开环极点均在 s 平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。,系统开环稳定，即P=0，从图中看到由-+变化时，G(j)H(j)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。,解：,说明:,如果开环传递函数G(s)H(s)含有个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作辅助处理，即由=0+变化时G(j)H(j)的曲线，根据镜像对称得=-0-变化时G(j)H(j)的曲线，然后 从=0-开始，对应的G(j)H(j)以无穷大为半径，按顺时针方向绕过 角度，与=0+曲线相接，成为封闭曲线，按照奈氏判据判定稳定性。,由=0+变化时G(j)H(j)的曲线，根据镜像对称得=-0-变化时G(j)H(j)的曲线，从=0-到=0+以无限大为半径顺时针转过，得封闭曲线。,例：系统开环传递函数为,试判断闭环系统的稳定性。,解：,当 时，G(j)H(j)(从-+)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当 时，G(j)H(j)(从-+)曲线穿越(-1，j0)点，系统处于临界状态。,可见：当由-+变化时，当 时，G(j)H(j)(从-+)曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，而开环系统稳定，即P=0，所以闭环系统右极点个数 Z=P-N=2，闭环系统不稳定，有两个闭环右极点。,Nyquist稳定判据穿越法,穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左边实轴时的情况。,正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下(相角增加)穿过-1-段实轴，用 表示。,G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。,负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上（相角减少）穿过-1-段实轴，用 表示。,正穿越,负穿越,例：,半次穿越：若G(j)H(j)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2 次穿越和-1/2次穿越。,+1/2次穿越,-1/2次穿越,Nyquist稳定判据：当由0变化到+时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时(P为系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。,若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0。注意：这里对应的变化范围是。,P=0,P=2,开环稳定闭环稳定,开环不稳定闭环稳定,注意：分析G(j)H(j)轨迹穿越(-1,j0)点以左的负实轴。,例：两系统G(j)H(j)轨迹如下，已知其开环极点在s右半平面的分布情况，试判别系统的稳定性。,解：,例：已知某系统G(j)H(j)轨迹如下，系统开环不稳定 P=1，试分析系统稳定性。,N=N+-N-=1/2Z=P-2N=1-1=0闭环系统稳定。,解：,P=1,如果开环传递函数G(s)H(s)含有个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作辅助处理，即从 G(j 0+)H(j 0+)点起按逆时针方向以无穷大为半径作圆心角为 的圆弧，按照奈氏判据判定稳定性。,说明:,例：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。,(a),(b),解：(a)N=N+-N=（0-1）=-1，P=0，故 Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。(b)K1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故 Z=P-2N=0，闭环系统稳定；K1时，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P=1，故 Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。,5.3.3 对数频率稳定判据,奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的，而作奈氏图一般都比较麻烦，所以在工程上一般都是采用系统的开环对数频率特性来判别闭环系统的稳定性的，这就是对数频率判据。,1.Bode图与Nyquist图之间的对应关系,Nyquist图上以原点为圆心的的单位圆 Bode图幅频特性上的0dB线单位圆以外 Bode图L()0的部分；单位圆内部 Bode图L()0的部分；L()在c处穿越 0 dB线，称c为穿越频率。Nyquist图上的负实轴 Bode图相频特性上的()=1800线 奈氏图上的(-1,j0)点便和伯德图上的0 dB线及-180线对应起来。,Nyquist图与Bode图的对应关系,正穿越对应于Bode图()曲线当增大时从下向上穿越180线；负穿越对应于Bode图()曲线当增大时，从上向下穿越180线。,-,+,(-1,j0)点以左实轴的穿越点 Bode图L()0范围内的与180线的穿越点,2.Bode图上的稳定判据,闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到+时，在开环对数幅频特性 L()0 的频段内，相频特性()穿越-线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开环极点数。,若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件是：在L()0 的频段内，相频特性()在-线上正负穿越次数代数和为零，或者不穿越-线。,例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。,正负穿越数之差（N+-N-）为1Z=P-2N=2-2=0系统闭环稳定,P=2,解：,例：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。,正负穿越数之差为0系统闭环稳定,P=0,解：,注意,闭环系统不稳定,闭环系统稳定,有误！,当s平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；G平面对应要补充大圆弧。N 的最小单位为二分之一。,3.,4.条件稳定系统,若开环传递函数在右半s平面的极点数P=0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。,5.4 稳定裕度,K值较小时，系统稳定；K值较大时，系统不稳定的；K取某个值时，Nyquist曲线通过(-1,j0)点，系统处于临界稳定状态。可见：系统Nyquist曲线与实轴交点坐标离(-1,0j)点 的距离，可作为表征系统相对稳定性的一个指标。通常用相角裕度 和幅值裕度h表示系统稳定裕度(开环频率指标)。,不同K值时系统的Nyquist图,5.4.1 相角裕度,定义：相角裕度是指G(j)H(j)曲线上模值等于1（为开环截止频率c）的矢量与负实轴的夹角。,c Nyquist曲线与单位圆交点处(此处幅值为1）的 称为 截止频率(又称剪切频率)，记为 c。,相角裕度,含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大 度，则系统处于临界稳定状态。稳定系统的 0,越大,系统相对稳定性越高。,G(j)H(j),Bode图中相当于20 lg|G(j)H(j)|=0处的相频GH与-180的角差。,c L(j)与0分贝线的交点；g(j)与-的交点。,5.4.2 幅值裕度h,定义：Nyquist曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕度(增益裕度)，记为h，即h=1/|G(jg)H(jg)|。gNyquist曲线与负实轴交点处的称为相角穿越频率,记为g（）。,含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。,G(j)H(j),系统稳定，则h1、0。,h(dB)大于0，则幅值裕度为正值，系统稳定。h(dB)小于0，则增益裕量为负值，系统不稳定。,以分贝表示时,Nyquist图中稳定系统和不稳定系统的相角裕度和幅值裕度,相角裕度和幅值裕度的几点说明,控制系统的相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。对于稳定的最小相位系统，幅值裕度指出了系统在不稳定之前，幅值能够增大多少。对于不稳定系统，幅值裕度指出了为使系统稳定，幅值应当减少多少。严格地讲，只用幅值裕度或相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。但在粗略地估计系统的暂态指标时，有时主要用相角裕度提出要求。,对于最小相位系统，只有当相位裕度和幅值裕度都是正值时，系统才是稳定的，负的裕度表示系统不稳定。,适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。为了得到满意的性能，相位裕度应当在 30与60 之间，增益裕度应当大于6dB。,稳定裕度的概念,(开环频率指标),稳定裕度的定义,稳定裕度计算方法,的几何意义,截止频率,相角裕度,相角穿越频率,幅值裕度,的物理意义,稳定裕度的意义,小结,解：绘制出开环系统的对 数幅相特性曲线 系统的开环放大倍数 为10，转折频率为 1=1，2=100。L(1)=20lg10=20dB,例：某系统如图所示，试分析该系统的稳定性并指出相位裕度和幅值裕度。,由图中可知：在L()=20 lg|G(j)|0的范围内，G曲线没有穿越-180线，且 P=0，所以闭环系统稳定。=180+G(j10)=78.7 h,例：单位反馈控制系统开环传递函数,求当K=10，K=100时的相位裕度和增益裕度。,解：,解：,例：单位反馈控制系统开环传递函数,试确定使相角裕量=45时的a 值。,例：一单位反馈系统的开环传递函数为,解：,即,相位穿越频率,幅值裕度,求：K=1时系统的相角裕度和幅值裕度；调整K 使系统的增益裕度为20dB，相位裕度。,幅值裕度：,根据K=1时的开环传递函数,相角裕度,由题意知,验证是否满足相位裕度的要求。,K1,2.5,5.2时的对数频率特性参见下图。,K1,2.5,5.2时的相角裕度和幅值裕度,对单位负反馈控制系统，其开环、闭环传递函数的关系为,系统开环传递函数的结构和参数，决定了闭环传递函数的结构与性能。在系统的时域分析中，用时域指标(如,ess,ts等)来评价系统的性能，但对于系统分析与设计，采用频率特性法更为直观、方便。因此，有必要讨论频率特性与时域指标间的关系。用开环频率特性分析闭环系统性能时一般将开环频率特性分成低频、中频和高频三个频段来讨论。,5.5 开环频率特性与时域指标的关系,开环频率特性的三个频段,各频段分界线没有明确的划分标准；与无线电学科中的“低”、“中”、“高”频概念不同；不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定闭环系统是否稳 定的标准；只适用于单位反馈的最小相角系统。,关于三频段理论的说明,低频段特性曲线低频段通常是指L()曲线在第一个转折频率以前的区段。此段的特性由开环传递函数中的积分环节和开环放大系数决定。设低频段对应的开环传递函数为,对应的数幅频特性为,可知，低频段开环对数频率特性曲线是一条斜率为-20v dB/dec的直线。,1.低频段与稳态精度,幅频特性与 0 dB线交点处为,v=1,v=2,v=3,放大系数K与低频段高度的关系,低频段特性与稳态精度,系统稳态精度，即稳态误差ess的大小，取决于系统的 放大系数K(开环增益)和系统的型别(积分个数)；积分个数决定着低频渐近线的斜率；放大系数K决定着渐近线的高度。0型系统(=0)：L()=20 lgK。型系统(=1)：L()=20 lgK20 lg。型系统(=2)：L()=20 lgK 40 lg。,Bode图上的稳态误差系数,0型系统,通过低频段高度L(0)=20lgKp（dB）,可求出：Kp=10L(0)/20。,I型系统（稳态速度误差系数）,有两种情况,低频段或低频段延长线与0dB线相交，则交点处的频率=Kv,低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg Kv。,II型系统（稳态加速度误差系数）,有两种情况,低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg Ka。,低频段或低频段延长线与0dB线相交，则交点处的频率,例：设一单位反馈系统对数幅频特性如图所示(最小相位系统)。求：(1)写出系统的开环传递函数；(2)判别系统的稳定性；(3)如果系统是稳定的，则求r(t)=t 的稳态误差。,解：(1)由图得,K的确定有二个方法(a)由积分环节的延长线与0dB的交点（=10）确定K=10,(b)积分环节的延长线与=1的垂直线交点确定积分环节向 上平移的分贝数20dB，根据20logK=20dB确定K=10,系统的对数频率特性,(2)由于是最小相位系统，因而可通过计算相角裕度是否 大于零来判断系统的稳定性。由图可知c=1,在c处,则得,0 系统稳定,(3)单位斜坡输入时，系统的稳态误差为,2.中频段与动态性能,中频段特性曲线中频段是指L()线在穿越（截止）频率c 附近的区域。对于最小相位系统，若开环对数幅频特性曲线的斜率为-20 dB/dec，则对应的相角为-90。中频段幅频特性在c处的斜率，对系统的相位裕量有很大的影响，为保证相位裕量0，中频段斜率应取-20 dB/dec，而且应占有一定的频域宽度。,以20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。,以40dB/dec斜率穿越0dB线，系统可能稳定。,以60dB/dec斜率穿越0dB线，系统不稳定。,高频段通常是指L()曲线在10c以后的区域。由于高频段环节的转折频率很高，因此，对应环节的时 间常数都很小，而且随着L()线的下降，其分贝数很低，所以对系统的动态性能影响不是很大。高频段对数幅频特性L()线的高低反映了系统抗高频干扰的能力。L()线越低，系统的抗高频干扰的能力越强，即高频衰减能力强。,3.高频段与动态性能,中频段,三频段理论,高频段,低频段,对应性能,希望形状,L(w),系统抗高频干扰的能力,开环增益 K,系统型别 v,稳态误差 ess,截止频率 c,相角裕度 g,动态性能,陡，高,缓，宽,低，陡,频段,三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向。,小结,对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直接反映了系统的动态和稳态性能。,综上所述,对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直接反映了系统的动态和稳态性能。为设计一个合理的控制系统提出了如下要求：低频段的斜率要陡，增益要大，则系统的稳态精度高。中频段以斜率-20 dB/dec穿越 0 dB线，且具有一定中频带 宽，则系统动态性能好。要提高系统的快速性，则应提高穿越频率c。高频段的斜率要比低频段的斜率还要陡，以提高系统抑制 高频干扰的能力。,5.6 闭环系统的频域性能指标,研究闭环频率特性的必要性,闭环频率特性的一些特征量在实际工程中应用十分广泛；通过实验方法很容易得到系统的闭环频率特性；通过闭环频率特性可以估算系统的性能指标。,5.6.1 闭环频率特性曲线绘制的方法,1.等M圆图,设系统开环频率特性,整理得,等M圆方程,（X、Y均为实数）,则系统闭环频率特性,整理得,等N圆方程,2.等N圆图,设系统开环频率特性,（X、Y均为实数）,则系统闭环频率特性,其实，对于给定的的N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。同时，由于与 的正切值相同，N圆对应的具有多值性。,应用相同的比例尺，将等M圆和等N圆绘制在透明片上，然后把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环Nyquist图上，Nyquist图与等M圆和等N圆的交点所对应的幅值与相角由M圆和等N圆的参数决定，对应的频率由开环Nyquist图决定，即可求出闭环频率特性。,闭环频率特性的绘制,注意：尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。,3.尼柯尔斯（Nicholis）曲线,闭环频率特性,（1）零频幅值M0：=0时闭环幅值；（2）谐振峰值Mr：闭环幅频最大值；（3）谐振频率r：谐振峰值时频率；（4）系统带宽b：闭环幅值减小到 0.707 M0时的频率；0b，称为系统带宽。（5）剪切率：M()在b处的斜率。反映了系统的抗干扰能力，斜率 越大，抗干扰能力越强。通常用Mr和b（或r）作为闭 环系统的频域动态指标。,5.6.2 利用闭环频率特性分析系统的性能,1.闭环频域指标,由于人们的直觉是建立在时间域中的，所以，工程上提出的指标往往都是时域指标。研究表明，对于二阶系统来说，时域指标与频域指标之间有着严格的数学关系。而对于高阶系统来说，这种关系比较复杂，工程上常常用近似公式或曲线来表达它们之间的相互联系。,2.闭环频域指标与时域指标的关系,(1)二阶系统,(a)p与Mr的关系,可见：Mr与成反比。相同的，Mr较高，超调量p也大，且收敛慢，平稳性及快速性都差。当Mr=1.21.5时，对应p=2030%，可获得适度的振荡性能。若出现Mr2，则与此对应的p 可高达40%以上。,谐振频率,谐振峰值,根据带宽定义，在频率b处，系统的频率幅值为解出b与n、的关系为由 得到 对于给定，ts与b成反比。谐振频率r 较高时，相应的峰值时间tp 值较小；而截止频率b 越高，则系统的快速反应性越好，相应的时域响应的调整时间ts 就会越短。,(b)ts与b的关系,（2）高阶系统 对于高阶系统、难以找出确切关系。研究表明，较小时，工程上常用经验公式 闭环频域指标又可表示为形式,可见：高阶系统的 p 随着Mr 增大而增大。过渡过程时间ts 随Mr 增大而增加，随c 增大而减小。,依图，可以确定是欠阻尼二阶系统,由,例：实验测得某闭环系统的对数幅频特性如图所示，试确定 系统的动态性能。,解出,可确定,解：,依题意，当 时要求,即,例：一台笔录仪的传递函数为，要求在5Hz以内时，记录仪的振幅误差不大于被测信号的10%，试确定记录仪应 有的带宽,解：,(1)二阶系统,3.开环频域指标（、c）与时域指标（p、ts）的关系,(a)p与 之间的关系,当0 600 时，与 为近似直线关系，此时=100,p与 的关系是通过中间参数相联系。,可见：对于二阶系统来说，越小，p越大；越大，p越小。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取,300 700,(b)ts与、c 之间的关系,可见：确定以后，增益剪切频率c大的系统，过渡过程时间ts 短，而且正好是反比关系。,对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准确的关系式。介绍如下两个经验公式：,可见：超调量p随相位裕度 的减小而增大；过渡过程时间ts 也随的减小而增大，但随c的增大而减小。,(2)高阶系统,由以上对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统开环频率特性中频段的两个重要参数、c，反映了闭环系统的时域响应特性。可以这样说：,结论,闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。,例：已知系统结构图，求c，并确定,ts。,解：绘制L(w)曲线,查 P228 图5-51,按时域方法,例：一系统 试估算该系统的时域性能指标。解：开环放大系数K=250 20lgK=20lg250=48(db)各环节的转折频率,图中c=12s-1，它是最小相位系统，故相位裕量=1800+（c）=1800+（-tg-10.0212-tg-10.02512-tg-111.812+tg-10.5912-900）=1800+(-13.50-16.70-89.60+820-900)=52.20所以，闭环系统的最大超调量p及过渡过程时间ts 为,小结,用频域分析方法估算系统的动态性能,实验测试,稳定性,稳定裕度,闭环频率 特征量,