自动控制原理 第五章 频率响应法胡寿松第六版.ppt

第五章 频率响应法,5.1 频 率 特 性,5.2 典型环节和开环频率特性,5.3 奈奎斯特判据,5.4 稳 定 裕 度,5.5 闭环频率特性,End,A()称幅频特性，()称相频特性。二者统称为频率特性。,基本概念（物理意义）,5.1 频率特性,5.2,5.3,5.4,5.5,频率特性的概念(P187),设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1=0.5,=1,=2,=2.5,=4,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,输入,输出,输入,输出,决然不同的输入，,尽会得到如此相似的输出!？,数学本质,式中:s1,s2,sn是G(s)的极点,它们可能是实数,也可能是共轭复数.对于稳定系统来说,它们都具有负实部.,式中:a1,a2,an待定系数（留数）;,b,待定的共轭复数.,求拉氏反变换,便得到系统的输出信号y(t),即系统对正弦输入的响应是:,对于稳定系统来说,由于极点s1,s2,sn都具有负实部,因此,当t时,其相应的指数项 都将衰减为零.因此,系统的稳态输出为:,式中的待定系数b,可按求留数的方法求得:,式中:,有:,式中:稳态输出的幅值,是的函数.,由此可知:,线性定常系统对正弦输入信号Asint的稳态输出Ysin(t+),仍是一个正弦信号.其特点是:,.频率与输入信号相同;,.相移为=G(j).,振幅Y和相移都是输入信号频率的函数,对于确定的值来说,振幅Y和相移都将是常量.,.振幅Y为输入振幅A的 倍;,a)函数图,b)向量图,A,输入、输出关系也可以用函数图和向量图表示如下:,频率特性的定义,幅频特性 及相频特性G(j)统称为频率特性,记为:,这就是说,G(j)是在s=j特定情况下的传递函数.通过它来描述系统的性能,与用传递函数描述时具有同样的效果,即两者所包含的系统动态特性的信息完全相同.,理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统.但是,系统不稳定时,瞬态分量不可能消失,它和稳态分量始终同时存在.所以,不稳定系统的频率特性是观察不到的.,幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。,常用于描述频率特性的几种曲线,RC网络为例,传递函数为,频率特性为,幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。,对数频率特性曲线的横坐标是频率,并按对数分度(lg omega),单位是rad/s.对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值,线性分度,单位是dB.此坐标系称为半对数坐标系。频率特性G(j)的对数幅频特性定义如下,对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值,线性分度,单位是(0)或(弧度).,时的对数幅频和对数相频曲线.,对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。,典型环节,5.2 典型环节和开环频率特性,5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制,5.1,5.3,5.4,5.5,比例环节,惯性环节,一阶微分环节,积分环节,微分环节,振荡环节,二阶微分环节,比例环节的频率特性是G(j)=K,幅相曲线如下左图。,比例环节,比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：L()=20lg|G(j)|=20lgK 和()=0 相应曲线如上右图。,积分环节的对数幅频特性是 L()=-20lg,而相频特性是()=-90o。直线和零分贝线交于=1 地方.,积分环节,微分环节 G(s)=s和G(j)=j=/2 L()=20lg,而相频特性是()=90o。,1/T,L()-20lgT=-20(lg-lg1/T),一阶微分环节 G(s)=Ts+1,G(s)=1/(Ts+1),惯性环节,1/T,L()20lgT=20(lg-lg1/T),频率omega=1/T为交接频率,振荡环节,振荡环节的频率特性为,式中 为阻尼振荡频率.极点-零点分布如图所示.幅频特性和相频特性的图解计算式分别为,因而,G(s)=1/(s/n)2+2s/n+1,图5.11 振荡环节的幅相曲线,故振荡环节的福相曲线从实轴上(1,j0)开始,最后在第三象限和负实轴相切并交于原点,如图所示.,根据上式可计算频率特性,并绘制福相曲线,如上图所示.图上以无因次频率 为参变量.由图可见,无论 多大,u=1(即)时,相角都等于-900;幅频特性的最大值随 减小而增大,其值可能大于 1.,幅频特性表达式(5-34)也即,与 u 的关系曲线见下图.由曲线可见,小于某个值时,幅频特性出现谐振峰值,峰值对应的频率称为谐振频率,叫做无因次谐振频率,ur 随 减小而增大,最终趋于 1.将上式 对 u 求导并令它等于零,可得,将方程(5-37)代入(5-36),求得谐振峰值为,曲线如下图左所示,曲线见下图右.,将时域和频域间的关系联系了起来.由图可见,Mr和 h(tp)密切相关:Mr大,h(tp)就大;反之亦然.因而Mr直接表征了超调量的大小,故称之为振荡性指标.图表明了谐振频率 和阻尼振荡频率 d 间的关系.,为了将振荡环节的幅频特性和单位阶跃响应联系起来,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线重画在图上,与单位阶跃响应曲线峰值 间的关系如图所示.,n时L()-40lg/n=-40(lg-lg n),当 时,因此低频渐近线是零分贝线.而当 时,这是一条斜率为-40dB/dec 的直线,和零分贝线交于 的地方.故振荡环节的交接频率为 n.,以上得到的两条渐近线都与阻尼比 无关.实际上,幅频特性在谐振频率处有峰值,峰值大小取决于阻尼比,这一特点也必然反映在对数幅频曲线上.,不稳定环节,不稳定环节和它对应稳定环节的频率特性有密切的关系.,在系统的传递函数中,也可能出现 两种因子,尽管这并不表明系统不稳定,但仍可分别称为不稳定一阶微分环节和不稳定二阶微分环节.,系统如果不稳定,它的特征方程必定有正实部的根,传递函数相应出现 因子,分别称为不稳定惯性环节和不稳定振荡环节.,极点-零点分布图如图所示.由图可见,也即从零变到无穷时,幅值从1变到零,而相角从-1800 变到-900.,不稳定惯性环节的传递函数,频率特性,很明显,不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同,而相频特性曲线却对称于-900水平线,如图所示.不稳定惯性环节的幅相曲线是以(-0.5,j0)为圆心,0.5为半径,位于第三象限的半圆,如图所示.对数频率特性曲线,如图所示.,由频率特性表达式可知,幅频和相频特性分别为,不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同,而相频特性曲线对称于-1800 线.其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示.,不稳定一阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同,而相频特性曲线对称于 900 线.其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示.,不稳定二阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同,而相频特性曲线对称于 1800 线.其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示.,延迟环节,输出量毫不失真地复现输入量的变化,但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节,其输入-输出关系为,式中 是延迟环节的延迟时间.应用拉氏变换位移定理可得,延迟环节的传递函数,频率特性,幅相曲线是个圆,圆心在原点,半径为 1，如图所示.,延迟环节的对数幅频特性恒为 0dB,对数频率特性曲线如图所示.由图可见,越大,相角迟后越大.,相频特性,且有,5.2.2 开环幅相曲线的绘制,开环幅相曲线的绘制例1(P198),开环幅相曲线的绘制例2(P198),开环幅相曲线的绘制例3(P198),开环幅相曲线的绘制例4(P198),开环幅相曲线的绘制例5(P204),a,b=pade(5,6),n=conv(8,a);d=conv(1 4 3,b);nyquist(n,d),延迟环节取不同的k(补充),a,b=pade(5,k),n=conv(8,a);d=conv(1 4 3,b);nyquist(n,d),解：,求交点：,曲线如图所示：,绘制幅相曲线的例题6(P198),无实数解，所以与虚轴无交点,MATLAB绘制的图,20,根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线,例5.1 系统开环传函为,试绘制系统的Bode曲线。,一般的近似对数幅频曲线有如下特点：1.最左端直线斜率为-20dB/dec,这里是积分环节数。,2.在等于1时，最左端直线或其延长线(当w1的频率范围内有交接频率时)的分贝值是20lgK，最左端直线(或延长线)与零分贝线的交点频率，数值上等于K1/。,3.在交接频率处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类.在惯性环节后,斜率减少20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少40dB/dec,解：,-20,-20,-20,-40,积分环节L()(图5-11),+20,+20,+20,微分环节L()(图5-11),对数曲线求斜率(补充),a,b,La,Lb,斜率=,=,La-Lb,斜率例题(补充),求截止频率c,c=0.4,斜率=,-7.96,lg1,=1时,则有,令,=1得：,(-21.94),lg5,L(1)=-7.96,=20lg k,k=0.4,惯性环节对数幅频渐近曲线的分析(图5-11),水平线,斜率为-20,过(1/T,0)的斜线,惯性环节L()(图5-11),-20,-20,26dB,4段直线方程怎么求得？,一阶微分L()(图5-11),+20,+20,振荡环节L()渐近线分析(P195),或,或,注意：,要在n或r处修正!,这项总是去掉的！,振荡环节L()(P195),-40,振荡环节再分析(P195),0dB,-40,峰值-渐近线值,夸张图形(补充),仿真(补充),二阶微分(图5-11),幅相曲线,对数幅频渐近曲线,+40,峰值-渐近线值,-20,-40,-20,-40,开环的L曲线绘制(P202),解：,对数相频：相频特性的画法为：起始角，终止角，转折频率处的角。,例题(补充),-90o,-114.7o,-93.7o,-137.5o,-180o,对数幅频：低频段：20/s-20,转折频率：1 5 10,斜率:-40 0-40,修正值：,低频段：20/s-20,转折频率：1 5 10,斜率:-40 0-40,-90o,-114.7o,-93.7o,-137.5o,-180o,-20,-40,-40,1,5,10,绘制曲线,0dB,20dB,-20dB,-90o,-120o,-150o,-180o,由L()求G(s)例1(P205),由L()求G(s)例2(P205),1,0dB,40,-1.94,-40,-20,8,24.08,-20,-40,由L()求G(s)例3(P205),30,50,9.49,0.78,0.1,47.2,L()dB,0dB,-20,-40,-40,-20,延迟环节求k(补充),已知延迟系统开环传递函数为,试根据奈氏判据确定k使闭环系统稳定。,k,2,延迟环节求(补充),已知延迟系统开环传递函数为,试根据奈氏判据确定系统闭环稳定时，,延迟时间值的范围。,延迟系统的仿真(补充),第二种方法：,第一种方法是用simulink（延迟时间为0.5秒）,编程求得阶跃响应：,Plot(t,y),pade(T,m)可将e-Ts展开为分子分母均为m阶的多项式,已知系统开环传递函数为,试绘出开环对数渐近幅频曲线。,例5.2,5.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别,最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。,幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。,最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。,已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。,例5.3,设复变函数为,一、映射定理,则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点，F（S）为解析函数，即为单值、连续的函数。,S平面,F（S）平面,5.3 奈奎斯特判据,曲线的形状：由F（S）的特性决定，无需关心曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！,S平面,F（S）平面,映射定理,设S平面上的封闭曲线包围了复变函数F（S）的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F（S）的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在F（S）平面上轨迹F（S）包围坐标原点的总次数R=P-Z。,顺时针包围时R 0。,奈氏判据的推导(P210),奈奎斯特稳定判据的推导,M(s)、N(s)分别为s的m阶、n阶多项式，,N(s)=0的解为n个开环极点,系统的特征方程为,1+G(s)H(s)=0,令F(s)=1+G(s)H(s),称F(s)为辅助函数,D(s),N(s),辅助函数：,设系统开环传递函数为,D(s)=0的解是n个闭环极点,1.F(s)的分子分母同为n阶,2.F(j)=1+G(j)H(j)，,辅助函数的幅相曲线,3.,_,奈氏定判据的推导续,在s左半平面的极点，角度增量为+90o,在s右半平面的极点，角度增量为-90o,设开环极点有p个在s右半平面,(n-p)个在s左半平面,设闭环极点有z个在s右半平面,(n-z)个在s左半平面,=(n-z)90o+z(-90o)-(n-p)90o+p(-90o),F(j)=1+G(j)H(j),奈奎斯特稳定判据的推导,向量求N,从A点到B点G(j)H(j),绕(-1,j0)点转过-角度,0,j,从B点到C点，角度增量为0,从D点到原点角度增量又为0,例：计算G(j)H(j)绕(-1,j0)点转过的角度,再讨论,频率域稳定判据(P210),开环极点在s右半平面的个数,自下向上为负穿越，用N表示；,自上向下为正穿越，用N表示；,G(j)H(j)起始于或终止于1之左实轴，为半次穿越,开环幅相曲线穿越1之左实轴的次数,闭环特征根在s右半平面的个数,二、奈奎斯特稳定判据,设系统的特征方程,F（S）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点,系统稳定的充要条件：,特征方程的根都在S平面的左半平面，右半面无极点,F（S）的零点都在S平面的左半平面，右半面无零点,根据映射定理，S沿奈氏回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点R=P-Z周。,系统是稳定的，Z=0，R=P,稳定性判据：如果在S平面上，S沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转R=P周，则系统是稳定的。,映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S）的封闭曲线围绕（-1，0）的运动情况。,绘制映射曲线的方法（1）令S=j带入G（S）H（S），得到开环频率特性。（2）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统 n=m nm时 G（S）H（S）趋于零 n=m时 G（S）H（S）为常数,奈奎斯特稳定性判据：控制系统稳定的充要条件是，当从负无穷变化到正无穷大时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时钟方向包围(-1，j0)点P周，P为位于S平面右半部的开环极点数。,例：绘制开环传递函数,的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。,三、虚轴上有开环极点时的奈奎斯特判据,虚轴上含有开环极点的情况,不可直接应用映射定理！,映射定理要求奈奎斯特回线不能经过F（S）的奇点。,用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。,在复平面的虚轴上，当很小时，半圆弧的数学方程式rej,r0时，从0变到/2。,当S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟方向从,经过0变化到,例：绘制开环传递函数,的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。,G=tf(4 1,2 3 1 0 0);figure(1);margin(G);grid;figure(2);nyquist(G);,五、根据伯德图判定系统的稳定性,原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外L()0的部分；单位圆内部L()0的部分。,负实轴180线。,相连,(v 为开环积分环节的数目),起始点(0+),Nyquist曲线的辅助线,(0+)+v 90线,正穿越对应于对数相频特曲线当增大时从下向上穿越180线(相角滞后减小)；,(-1,j0)点以左实轴的穿越点L()0范围内的与180线的穿越点。,负穿越对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越180线(相角滞后增大)。,对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L()0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线()(含辅助线)与-180线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和-1,闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和+1,闭环稳定。,六、系统的相对稳定和稳定裕度,特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。,相对稳定性和稳定裕量,G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点,相位交界频率 gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点,1-稳定系统,2-不稳定系统,增益交界频率和相位交界频率,单位园外,单位园内,增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。,c,g,稳定系统,相位交界频率 gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点(j)与-线的交点。,单位圆外,单位圆内,c,g,不稳定系统,:在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量-相位裕量。,开环,系统的稳定性裕量,Kg:在增益交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数幅值裕量（增益裕度）。,开环,系统响应速度,增益裕量相位裕量,闭环系统稳定性,增益裕量相位裕量伺服机构：10-20分贝40度以上过程控制：3-10分贝20度以上,稳定系统,正相位裕量,正增益裕量,正增益裕量,正相位裕量,G(j)H(j)轨迹:(1)不包围(-1,j0)点；(2)先穿过单位圆，后穿 过负实轴。,正增益裕量,正相位裕量,不稳定系统,负增益裕量,负相位裕量,负增益裕量,负相位裕量,G(j)H(j)轨迹:(1)包围(-1,j0)点；(2)先穿过负实轴，后穿过 单位圆,负相位裕量,负增益裕量,单位反馈控制系统开环传递函数,七、奈奎斯特稳定判据的应用,例1 一个系统的开环传递函数为,系统稳定,右半平面极点数：P=1奈奎斯特曲线逆时钟包围（-1，j0)点的次数为 R=1=P,穿越的概念：正穿越次数 N+=0.5 负穿越次数N-=0N+-N-=0.5-0=1/2,例2 系统开环传递函数为,右半平面极点数：P=0,奈奎斯特曲线逆时钟包围（-1，j0)点的次数为 R=-2P,穿越的概念：正穿越次数 N+=0 负穿越次数N-=1N+-N-=-1 0,若,，则闭环系统稳定。,积分环节r=2,单调递减,无穷远处顺时针绕行,R=-2，P=0，所以Z=2系统不稳定,例3,例4 设开环传递函数为：,试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。,稳定,不稳定,说明闭环极点位于 轴上,八、稳定裕度求取,第五节 系统的频率特性及频域性能指标,三、二阶系统的频域性能指标,二、一阶系统的频域性能指标,一、系统的频域性能指标,四、高阶系统的频域性能指标,一、系统的频域性能指标,谐振频率:r 相对谐振峰值：截止频率b：带宽：0 b对应的频率范围,零频幅值M0 M0=M()|=0=M(0),与稳态误差相关！,频域性能指标与时域性能指标的关系,二、一阶系统的频域性能指标,具有单位反馈的一阶系统开环和闭环传递函数,闭环幅频特性,零频幅值M0 M0=M()|=0=1,带宽频率,三、二阶系统的频域性能指标,具有单位反馈的二阶系统开环和闭环传递函数,闭环幅频特性,谐振峰值：,谐振频率：,零频幅值M0 M0=M()|=0=1,带宽频率,四、高阶系统的频域性能指标,求法：1、用尼柯尔斯图线闭环频率特性 2、计算机辅助设计软件 MATLAB,单位反馈系统等M-N圆法,等M园,对称于实轴对称于直线U=-0.5,M1时，圆心位于直线U=-0.5右侧M减小,半径变小,圆心靠近(0,0j)。,M=1时，平行虚轴通过(-0.5,0j)。,M1时，圆心位于直线U=-0.5左侧；M增大,半径变小,圆心靠近(-1,0j)。,等N园,给定的值，等N轨迹是一段圆弧。,N圆的周期性,Nichols图,坐标系：直角坐标系开环L()和()；等M曲线 令M为常数,为变量,依次计算值对应的L()。等N曲线 令a为常数,为变量,依次计算值对应的L()。,注意：尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。,如何利用闭环频率特性分析动态响应：“频带宽、峰值小，过渡过程性能好”时域指标估算中利用的对应关系：,闭环频率特性与增益的关系,Nichols图求取闭环特性,低频段,高频段,