用频率特性分析控制系统的稳定性.ppt

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,1,第5章 频域分析法,5.1 频率特性及其表示法5.2 典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系5.6 闭环系统频率特性5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,2,5.4 用频率特性分析系统稳定性,1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3,1 控制系统的稳定判据,闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。一阶系统 特征方程式:特征根:令 则矢量,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,4,1 控制系统的稳定判据,特征根是一个负实根 当 由0增加到时 特征根是一个正实根 图5.31 一个负实根 当 由0增加到时结论：一阶系统是稳定的，则 由0时，矢量 将逆时针方向旋转/2。图5.32 一个正实根,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,5,1 控制系统的稳定判据,二阶系统 特征方程式:特征根:矢量,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,6,1 控制系统的稳定判据,特征根在左半平面 当 由0增加到时，特征根在右半平面 图5.33 共轭复数根在左半平面 当 由0增加到时 图5.33 共轭复数根在由半平面,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,7,1 控制系统的稳定判据,阶系统 特征方程式:矢量(1)如果 个根都在复平面的左半平面 当 由0增加到时，,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,8,1 控制系统的稳定判据,(2)如果一个根在右半平面，个根在左半平面 当 由0增加到时，系统稳定的条件转化为：当 由0时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。当 由 变到 时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,9,2 应用幅相特性判断系统稳定性,闭环系统如图示开环传递函数 图5.35 闭环系统闭环传递函数 闭环系统的特征多项式,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,10,2 应用幅相特性判断系统稳定性,辅助函数辅助函数 有如下特征：1）其零点为闭环传递函数的极点；2）其极点为开环传递函数的极点；3）其零点和极点的个数是相同的；4）和开环传递函数 只差常数1。控制系统稳定的充要条件变为：辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,11,2 应用幅相特性判断系统稳定性,分3种情况讨论(1)开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的 个根应都在S左半平面，而当 由 到 时，矢量的相角变化量为 如果系统闭环也是稳定的，那么闭环特征方程式 的 个根也应都在S左半平面。当 由 到 时，矢量的相角变化量为矢量 的相角变化为,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,12,2 应用幅相特性判断系统稳定性,图5.36 的相角变化(a)系统稳定(b)系统不稳定奈奎斯特（Nyquist）稳定判据(奈氏稳定判据)当 由 到 时，矢量 的相角变化量为0，则开环稳定的系统，闭环后也是稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,13,2 应用幅相特性判断系统稳定性,因为 和 两个矢量之间只相差常数1，如果把 平面坐标原点右移1个单位，那么这同一曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。图5.37 和 曲线,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,14,2 应用幅相特性判断系统稳定性,推论 1：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件：当 由 变到 时，开环频率特性在复数平面的轨迹 不包围 这一点。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,15,2 应用幅相特性判断系统稳定性,(2)开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的，那么它的特征方程式有 个根在S右半平面，个根在S左半平面，则开环系统是不稳定的。当 由 变到 时，矢量 的相角变化量为 若闭环系统的特征方程式的 个根中，有 个根在S右半平面，个根在S左半平面，则 由 变到 时，矢量 的相角变化量为,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,16,2 应用幅相特性判断系统稳定性,矢量 的相角变化量为式中 代表矢量 的相角变化圈数。即：矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈；或用 的轨迹说明，开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,17,2 应用幅相特性判断系统稳定性,推论 2：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是不稳定的，开环特征方程式有 个根在S右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：由 变到 时，开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。实际应用判据 若开环传递函数在S右半平面上有 个极点，则当 由 0变到+，如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈，则闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,18,2 应用幅相特性判断系统稳定性,例5.4 一个闭环系统如图示，其开环传递函数为 这是一个不稳定的惯性环节，开环特征方程式在右半平面有一个根。闭环传递函数为 由于，闭环特征方程式的根在S左半平面，所以闭环是稳定的。开环频率特性如图，当 由 图5.38 例5.4的稳定判定 变到 时，矢量逆时针围绕 点转一圈。即，故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,19,2 应用幅相特性判断系统稳定性,(3)开环系统有积分环节的情况 系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点）例如开环系统传递函数为其频率特性 开环频率特性在 处轨迹不连续，可作如下处理：令，当 由 变到 时，角变化为 图5.39 坐标原点有极点的处理,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,20,2 应用幅相特性判断系统稳定性,所以在 由 时，幅相频率特性以为半径，相角由0度旋转到，如图5.40(a)所示。如果在原点处有重根 为重根数目。在 由 时，幅相特性以为半径，转过，得到了连续变化的轨迹，如图5.40虚线所示。图5.40 有积分环节的幅相频率特性(a)有一个积分环节,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,21,2 应用幅相特性判断系统稳定性,用奈氏稳定判据很容易判断出图5.40(a)、(b)、(c)中的轨迹都不包围 点，所以闭环系统是稳定的。图5.40 有积分环节的幅相频率特性(b)有二个积分环节(c)有三个积分环节,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,22,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性正穿越：在区间 由上向下穿越负实轴，以 表示。负穿越：在区间 由下向上穿越负实轴，以 表示。图5.41 用对数频率特性判断系统稳定性(a)幅相频率特性(b)对应的对数频率特性,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,23,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,注意：如果 逆时针方向包围 点，则一定存在正穿越，即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。如果 顺时针方向包围 点，则一定存在负穿越，即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。奈氏稳定判据用正负穿越表述如下：如果系统开环传递函数的极点全部位于S左半平面，当 由0变到+时，在复平面上正穿越与负穿越次数之差等于零，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，当 由0变到+时，在复平面上正穿越和负穿越之差为，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,24,幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,25,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在S左半平面，即，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为0时，闭环系统是稳定的；否则闭环系统是不稳定的。如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为 时，闭环系统是稳定的；否则闭环系统是不稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,26,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.5 系统开环传递函数为其极点全部位于S左半平面，。（1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性如图5.42（a）。由于 不包围 点，所以不论 值多大，闭环系统均是稳定的。图5.42 例5.5的稳定判定,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,27,4 奈氏稳定判据应用举例,（2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.42（b）。由于在 dB的频段内，二阶系统对数相频特性不会穿越 线，即对数相频特性与 线正穿越和负穿越次数之差总为0，所以不论 值多大，闭环系统均是稳定的。图5.42 例5.5的稳定判定,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,28,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.6 系统开环传递函数为没有极点位于位于S右半平面，。（1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式其中在 时，在 时，。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,29,4 奈氏稳定判据应用举例,绘出系统开环幅相频率特性如图5.43（a）。由图看出，值较大时，当 由-变到+时，顺时针包围 两圈，。故表明闭环系统在S右半平面有两个极点，系统是不稳定的。如果减小 值，则当，系统达到稳定边界。当 时，闭环 图5.43 例5.6的稳定判定系统是稳定的。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,30,4 奈氏稳定判据应用举例,（2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.43（b）。值较大时，在 dB的频段内，对数相频特性负穿越 线1次，闭环系统不稳定。如果减小 值，对数幅频特性 下移，幅值穿越频率 左移减小，使在 dB的频段内，对数相频特性不穿越 线，则闭环系统稳定。图5.43 例5.6的稳定判定,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,31,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.7 系统开环传递函数为没有极点位于位于S右半平面，。应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为其中相频特性为,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,32,4 奈氏稳定判据应用举例,分几种情况讨论（1）幅相频率特性如图5.44(a)示。当 由-变到+时，顺时针包围 点两圈：即闭环传递函数有两个极点位于S右半平面，闭环系统不稳定。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,33,4 奈氏稳定判据应用举例,（2）幅相频率特性如图5.44(b)示。当 由-变到+时，不包围 点：闭环系统稳定。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,34,4 奈氏稳定判据应用举例,（3）幅相频率特性如图5.44(c)示。当 由-变到+时，正好通过 点。闭环系统处于临界稳定状态。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,35,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.8 系统开环传递函数为在S右半平面有一个极点，。系统开环频率特性为其中相频特性为 当 时，当 时，当 时，,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,36,4 奈氏稳定判据应用举例,幅相频率特性绘于图5.45。当 时闭环系统是稳定的；当 时闭环系统是不稳定的。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,37,5 频率域中描述系统的稳定裕量,如果开环系统传递函数没有极点位于S右半平面，那么闭环系统稳定的充要条件是：开环系统幅相频率特性 不包围 点；或 闭环系统临界稳定的条件是开环系统幅相频率特性经过 点。即满足：式中：称为幅值穿越频率；称为相位穿越频率。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,38,5 频率域中描述系统的稳定裕量,相位裕量增益裕量 dB 图5.46 稳定裕量,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,39,The End!,