现代数学物理方法二.ppt

第二章 仿射空间与伪欧氏空间中的张量,2-1引言-改变空间性质的必要性2-2仿射空间中的张量2-3伪欧氏空间中的张量2-4复欧氏空间,2-1 引言-改变空间性质的必要性（1）,伽利略变换t=0 时,重合，S 系：S系：时空变换:速度变换加速度变换牛顿定律不变,2-1 引言-改变空间性质的必要性（2）,伽利略变换的局限性麦克斯威方程组含有光速：不同系，形式不同形式相同 光速不变从数学的角度寻找满足光速不变的时空变换,2-2 仿射空间中的张量,仿射空间的定义仿射空间中的坐标系及其变换逆变张量与协变张量张量的运算由仿射空间到欧氏空间,2-2-1 仿射空间的定义（1）,仿射空间欧氏空间去掉矢量点积欧氏空间中与矢量点积相关的性质将消失两矢量的正交性矢量的长度坐标变换的正交性保持矢量点积不变的性质,2-2-1 仿射空间的定义（2）,欧氏空间中与矢量点积无关的性质将保留矢量的加法数与矢量的乘法,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（1）,线性相关如果能找到一组不全为零的数 使得 反之则线性无关n 维仿射空间可以找到 n 个线性无关的矢量，而 n+1 个矢量都是线性相关的。,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（2）,坐标基矢n 维仿射空间中任意选 n 个线性无关的矢量任意矢量 的坐标基矢展开（1）,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（3）,任意矢量 的坐标基矢展开（2）证明 的逆变分量,n维空间,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（4）,新老坐标基矢的变换公式(正变换),变换矩阵,行,列,矩阵 可逆证明,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（5）,n个独立的变量,n个线性齐次函数,线性无关,线性代数,变换矩阵与逆矩阵的关系 的逆矩阵新老坐标基矢的变换公式(逆变换)（1）,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（6）,行,列,2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（7）,新老坐标基矢的变换公式(逆变换)（2）证明,同乘，并对i 求和,2-2-3 逆变张量与协变张量（1）,矢量分量的变换公式(正变换)（1）,按 变换,2-2-3 逆变张量与协变张量（2）,矢量分量的变换公式(正变换)（2）证明,2-2-3 逆变张量与协变张量（3）,一阶逆变张量 矢量分量的变换公式(逆变换)(1),2-2-3 逆变张量与协变张量（4),矢量分量的变换公式(逆变换)(2)证明,同乘，并对i 求和,2-2-3 逆变张量与协变张量（5),一阶张量的例子(1)坐标系坐标变换证明,2-2-3 逆变张量与协变张量（6),一阶张量的例子(2)证明,2-2-3 逆变张量与协变张量（7),一阶协变张量,在仿射空间中的张量有协变和逆变两种，这是和欧氏空间不同的地方。产生这一差别的原因在于仿射空间的变换矩阵不是正交矩阵。,2-2-3 逆变张量与协变张量（8),阶协变，阶逆变的张量(1),坐标系,一组数坐标变换,2-2-3 逆变张量与协变张量（9),阶协变，阶逆变的张量(2)下标 协变，上标 逆变 是仿射空间张量，不是仿射空间张量,2-2-4 张量的运算（1）,张量的运算运算不变(张量 张量)加法,乘法,缩并和置换张量的加法(1)定义运算不变,2-2-4 张量的运算(2),张量的加法(2)运算不变(两个同阶张量 一个同阶张量),运算不变,张量定义,2-2-4 张量的运算(3),张量的乘法(1)定义运算不变,2-2-4 张量的运算(4),张量的乘法(2)运算不变(两个张量 一个张量),2-2-4 张量的运算(5),张量的缩并(1)定义只能将上指标和下指标缩并。运算不变,2-2-4 张量的运算(6),运算不变(张量 一个张量),2-2-4 张量的运算(7),张量指标的置换定义运算不变运算不变(张量 张量),2-2-5 由仿射空间到欧氏空间（1）,点积仿射空间,没有点积 没有度量的空间仿射空间,点积 有度量的空间欧氏空间（有度量的空间）仿射空间,点积 坐标变换保持矢量的点积的公式不变,2-2-5 由仿射空间到欧氏空间（2）,正交变换保持矢量的点积的公式不变 度规张量正交变换下，是一个二阶张量降指标运算协变张量=逆变张量,2-3 伪欧氏空间中的张量,伪欧氏空间的建立伪欧氏空间的坐标基矢伪欧氏空间中的张量伪欧氏空间中的坐标变换,2-3-1 伪欧氏空间的建立(1),从数学的角度寻找满足光速不变的时空变换光速不变四维空间,时空间隔(矢量长度)(1)系 相对系 以速度v 运动物理过程:某一时刻,某一点(A)发光讯号,过一段时间传播到点(B)K 系:时刻 从位置 发出光讯号，在时刻 传播到位置K 系:时刻 从位置 发出光讯号，在时刻 传播到位置,2-3-1 伪欧氏空间的建立(2),光速不变四维空间,时空间隔(矢量长度)(2)(1),(2)式四维空间:时空间隔(矢量长度):ds,2-3-1 伪欧氏空间的建立(3),四维空间的点积 四维伪欧氏空间矢量长度的平方坐标变换,矢量长度不变光速不变四维伪欧氏空间:四维空间:点积,2-3-2 伪欧氏空间的坐标基矢（1）,坐标基矢:任意矢量的坐标基矢展开坐标基矢点积的公式 证明,伪欧氏,2-3-3 伪欧氏空间中的张量(1),协变度规张量 是一个张量证明逆变度规张量(1),标量,张量缩并,2-3-3 伪欧氏空间中的张量(2),逆变度规张量(2)是一个张量证明升降指标运算(1)含 或 的缩并,2-3-3 伪欧氏空间中的张量(3),升降指标运算(2)爱因斯坦约定 如果在某一项中有一个上标和一个下标相同，就意味着对于这一指标从到作和协变张量 逆变张量,2-3-3 伪欧氏空间中的张量（4）,例1求和一阶逆变张量 x 对应的协变张量真欧氏空间：协变张量=逆变张量伪欧氏空间：协变张量 逆变张量点积的几种等效形式,2-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（1）,坐标变换 点积的表达式不变(光速不变)1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式基矢矢量点积基矢点积基矢变换点积的表达式不变,2-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（2）,1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(2),2-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（3）,1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(3),时间反演,空间反演,伪欧氏空间转动的基矢变换公式,2-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（4）,1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(4)二维矢量 的协变分量和逆变分量,协变和基矢变换规律同,2-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（5）,1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(5)洛仑兹变换,2-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（6）,1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(6)的物理意义物体固连 K 系(相对系K系以速度v 运动)x=0 处 K 系观察:t=0,x=0 t=t,2-4 复欧氏空间,伪欧氏空间与复欧氏空间复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换几个例子,2-4-1 伪欧氏空间与复欧氏空间(1),实空间张量的分量取实数值实真欧氏空间实仿射空间实伪欧氏空间实伪欧氏空间坐标 的逆变分量矢量长度的平方,度规张量,欧氏,伪,2-4-1 伪欧氏空间与复欧氏空间(2),复欧氏空间实伪欧氏空间 复真欧氏空间实伪复真欧氏空间坐标 的逆变分量度规张量,矢量长度平方,真,协变张量=逆变张量,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(1),1+1 维复欧氏空间(1)矢量 的分量矢量点积坐标转动(KK)保持矢量点积形式不变(光速不变)x和t的变换规律,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(2),1+1 维复欧氏空间(2)K系相对于K系的速度物体固连 K 系x=0 处K 系观察:t=0,x=0;t=t,x 满足 K系相对于K系作匀速运动,转动角度 是虚数,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(3),1+1 维复欧氏空间(3)快度(实数)=-iy快度与速度,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(4),1+1 维复欧氏空间(4)快度表出的洛仑兹变换,表出的洛仑兹变换,=-iy,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(5),1+1 维复欧氏空间(5)速度表出的洛仑兹变换,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(6),1+1 维复欧氏空间(6)速度(快度)合成公式(1)K1相对K速度v1（快度y1），K2相对于K1的速 度v2（快度y2)K2相对于K的速度(快度y=?）v=?K1相对K:K2相对K1:K2相对K:,2-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(7),1+1 维复欧氏空间(7)速度(快度)合成公式(2),2-4-3 几个例子(1),四维空间电流密度矢量和电荷守恒律(1)四维空间电流密度矢量(1),三维电流密度矢量,电荷密度,电荷运动的速度,分量形式,四维电流密度矢量(复欧氏空间),构造,2-4-3 几个例子(2),四维空间电流密度矢量和电荷守恒律(2)四维空间电流密度矢量(2),分量形式,四维电流密度矢量(伪欧氏空间),构造,2-4-3 几个例子(3),四维空间电流密度矢量和电荷守恒律(3)四维空间电荷守恒律,三维电荷守恒定律的微分形式,2-4-3 几个例子(4),四维复欧氏空间中的完全反对称赝张量定义 为四个指标都反对称的张量，并且,证明，是复欧氏空间中的一个四阶赝张量(略,参照 是赝张量的证明),2-4-3 几个例子(5),四维电磁场张量赝矢量磁场强度 写成反对称二阶张量反对称二阶张量 扩展到四维电磁场张量,2-4-3 几个例子(6),电磁场运动方程的四维形式(1)写出这两个方程中所包含的三维方程,2-4-3 几个例子(7),电磁场运动方程的四维形式(2),