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机械控制工程基础,河南科技大学自考课程系列,主讲：王程远邮箱：,2023/8/17,第一章 绪论,本章主要内容:I.I 机械工程控制基本含义 I.2 机械工程控制研究对象及任务I.3 信息、信息传递、反馈及反馈控制概念I.4 控制系统分类,1.1 研究的对象 研究以机械工程技术为对象的控制论问题。具体讲是研究该领域广义系统的动力学问题，即研究系统在一定的外界条件下，系统从某一初始状态出发，所经历的整个动态历程，也就是研究系统及其输入、输出三者之间动态关系(知其二，求其一)。,1.2 控制论要解决的五大任务（问题）1、系统分析：已知系统和输入，请据系统特性分析一下会有何输出？当然，也可据输入输出的关系更深入的分析系统特性，对系统进行校正和改进。2、最优控制：已知系统和理想的输出，请确定该用何输入？3、最优设计（优化设计）：已知输入和理想（想要）的输出，请设计符合要求的系统。4、系统辨识：即系统破解或者说黑匣子破解问题，是通过试验，通过不同的输入及所得到的输出，来分析求解系统的结构和参数。5、滤波与预测:已知系统和输出，分析识别输入及与输入有关的信息。如屏蔽技术（重在取利去弊）。,1.3 信息、反馈及反馈控制概念,信息：把一切能表达一定含义的信号、密码、情报和消息等称为信息。信息传递：是指信息在系统中以某种关系动态的传递或转换的过程。,数控机床,毛胚尺寸,工件尺寸,反馈：系统的输出不断（直接或经中间变换后全部或部分）返回到系统的输入端（再输入到系统中去）。负反馈和正反馈,反馈控制:利用反馈来控制。,1.4 控制系统的分类：开环系统：输出对系统无控制作用（无反馈）。闭环系统：输出对系统有控制作用（有反馈）。据反馈信号与输入的关系分正反馈和负反馈两种。,控制器与被控对象间只有顺序作用而无反向联系且控制单方向进行。,优点：结构简单、稳定（振荡倾向不大）、可靠。若组成系统的元件特性和参数值比较稳定，且外界干扰较小时，开环控制能够保持一定的精度。,缺点：精度较低、无自纠偏能力、对元器件要求高。,1.5 闭环控制的组成,闭环控制系统特点：输出端和输入端之间存在反馈回路，输出量对控制过程有直接影响。闭环的作用：应用反馈，减少偏差。,闭环控制的组成可粗分为：,闭环控制系统的组成,1.6 控制系统的工作过程,检测输出量（被控制量）的实际值；将输出量的实际值与设定值（输入量）进行比较得出偏差值；用偏差值产生控制调节作用去消除偏差，使得输出量维持期望的输出。,由于存在输出量反馈，上述系统能在存在无法预计扰动的情况下，自动减少系统的输出量与参考输入量之间的偏差，故称之为反馈控制。显然：反馈控制建立在偏差基础上，其控制方式是“检测偏差再纠正偏差”。,1.8 对控制系统的基本要求-稳、准、快,稳定性：系统动态过程的振荡倾向不大及其恢复平衡状态的能力（稳定的系统当输出量偏离平衡状态时，其输出能随时间的增长收敛并回到初始平衡状态）。,稳定性是控制系统正常工作的首要条件。控制系统稳定性由系统自身结构所决定，与外界因素无关。,准确性（精度）：控制精度，以稳态误差（系统的调整过程结束而趋于稳定状态时，系统输出的实际值与设定量（希望值）之间的差值）来衡量。,快速性：输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度（即查偏纠偏要快）。,注意：1不同性质的控制系统，对稳定性、精确性和快速性要求各有侧重。2系统的稳定性、精确性、快速性相互制约，应根据实际需求合理选择（各有侧重）。如机械系统首要稳定，振荡过大可导致极大破坏，同是还要防止自振和降低噪音；伺服系统要反应快，如自开门机构和雷达跟踪系统。,本课程的任务与体系结构,拉氏变换将微分方程转换为代数方程，使求解大为简化，更便于对系统动态特性的分析。,解微分方程的两种方法,第二章 拉氏变换,2.1 复数与复变函数,一、复数 s 复数的几种表示方法（？）,二、复变函数 G(s)复变函数的零点、极点（？）,2.2 拉氏变换的定义,设时间函数f(t)满足：1、f(t)实函数；2、当t0时，f(t)=0；3、当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中（算子）s是一复变量，s=+j（，均为实数）；,F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。,一、拉氏反变换的定义,二、拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,求拉氏反变换的方法1、定义法（留数定理）2、查表法3、部分分式法,求拉氏变换的方法1、定义法2、查表法3、利用拉氏变换性质,2.3 典型时间函数的拉氏变换,当t0时f(t)=0（1）单位阶跃函数反变换：实际中的y(t)=k（恒值），如开关合闸、滴注、龙头等,（2）单位脉冲函数,实际中为瞬间大的冲击，如钉钉、打炮、踢球以及重锤和冲压中的受力。,（3）单位斜坡函数,反变换：,实际中的位移函数等，如s=vt的匀速跟踪、进刀,（4）单位加速度函数,实际中的加速度函数等，如,（5）指数函数 反变换：,（6）正弦函数和余弦函数,（7）t的幂函数当n=1时，,小结(1),1 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2 常见函数L变换表,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,（1）线性性质,（2）微分定理,0初条件下有：,2.4 拉氏变换的性质,例1 求,解:,例2 求,解:,（3）积分定理,例3 求 Lt=?,解.,例4 求,解.,（4）实位移定理,例5,解.,注：t-a0,（5）复位移定理,例6,例7,例8,（6）初值定理,例9,？,（7）终值定理,例10,（终值确实存在时）,例11,?,（8）卷积定理,小结（2）拉氏变换的主要运算定理,线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理,2.5 拉氏反变换的数学方法,求拉氏反变换的方法1、定义法（留数定理）2、查表法3、部分分式法(留数法，待定系数法，试凑法),1.F(s)有不相同的极点,部分分式法：,例：求 的拉氏反变换。解：求于是,例3：,解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法),2.F(s)含有共轭复极点：,例4：,解法一：,解法二：（试凑法）,3.F(s)有重复极点,设,为m阶重根，,为单根.则,可表示为：,单根的系数,的计算仍是1中公式,重根项系数的计算公式：,例5,，求,解：,研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。拉氏变换求微分方程解的步骤：对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程，求出Y(s)。求Y(s)拉氏反变换，求得输出函数的时域解y(t)。,2.6 用拉氏反变换求解常微分方程,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式Y(s)；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解y(t)。,课程小结(1),1 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2 常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,课程小结(2),（2）微分定理,3 L变换重要定理,（5）复位移定理,（1）线性性质,（3）积分定理,（4）实位移定理,（6）初值定理,（7）终值定理,课程小结(3),4 部分分式法求拉氏反变换,5 用拉氏变换解常微分方程,拉氏变换求微分方程解的步骤：对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程，求出Y(s)。求Y(s)拉氏反变换，求得输出函数的时域解y(t)。,第三章 系统的数学模型,描述系统各变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等）。本章将对系统和元件数学模型的建立、传递函数的概念、结构图的建立及简化等内容加以论述。,3.1.1 数学模型的常用形式,时间域：微分方程差分方程（离散系统）状态方程复数域：传递函数系统结构图频率域：频率特性,1、解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。2、实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,建模的方法：,3.1.2 线性系统与非线性系统,一、线性系统：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。,叠加原理说明，两个不同的输入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。,叠加原理：可加性 齐次性,二、线性定常系统和线性时变系统：1、如果描述系统的微分方程的系数是常数，则这类系统称为线性定常系统。2、如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。,宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。,三、非线性系统：用非线性方程描述的系统，是非线性系统。,常见非线性情况,线性化：对于非线性方程可在工作点附近，用泰勒级数展开，取前面的线性项（变量的变化必须是小范围的），可以得到等效的线性环节。,四、非线性系统的线性化,1、确定系统的输入和输出2、从输入端开始写出每一环节(元件)运动方程式3、消去中间变量（用拉氏变换和反变换）4、写成标准形式,3.2 系统微分方程的建立,例：2级RC无源网络,（用拉氏变换 和反变换）,例：弹簧阻尼器系统,分析A、B点受力情况,受力点的选取原则：1、有m或J的2、两元件的连接处,（用拉氏变换 和反变换）,解法一：,（用拉氏变换和反变换）,带入上式整理得,解法二：,3.3 典型环节及其传递函数,在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与（引起该输出的）输入量的拉氏变换之比。,传递函数的定义,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t=0 时，输出量及其各阶导数也均为0,例1 弹簧阻尼器系统,（用拉氏变换 和反变换）,带入上式整理得,N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,传递函数,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零点和极点,有理分式形式,零极点形式,传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“”表示,零、极点分布图,g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）,单位脉冲响应,通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关；对于物理可实现系统而言，传递函数分母S的介次必少于分子的介次；不同的物理系统只要其动态特性相同，则传递函数相同。,传递函数特点：,设系统有b个实零点;d 个实极点;c 对复零点;e对复极点;v个零极点,典型环节的传递函数,有理分式形式,零极点形式,典型环节串联,例1：齿轮传动,例2：电位器,一、放大环节/比例环节,例3：放大器,相似原理:有相同的数学模型，有相同的运动形态,（1）齿轮传动（同时间内转过的齿数相等）变速器,（2）角位移：其中：E电位器电源电压；max电位器最大工作角。,!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入例1：弹性弹簧例2：RC惯性环节,二、惯性环节,1、弹性弹簧,惯性环节,2、RC惯性环节,惯性环节,！记忆,！积分,输入突然除去积分停止输出维持不变,例1：电容充电,例2：积分运算放大器,三、积分环节（PID调节中的I调节）,电容充电：,积分环节,理想微分 若输入为1,输出无穷,实际微分,惯性,T 0KT 有限,运动方程式：,传递函数：,传递函数：,例1：测速发电机,例2：RC微分网络,例3：理想微分运放,四、微分环节,RC微分网络：,微分环节实例,不同形式储能元件能量转换振荡,例1：机械平移系统,例2：RLC串联网络,五、（二阶）振荡环节,振荡环节分析,1、机械平移系统（两储能元件M、K和一耗能元件B）,振荡环节例子,2、RLC串联网络电路（两储能元件C、L和一耗能元件R）,振荡环节例子,六、二阶微分环节,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,例1：水箱进出水管的延滞,七、延滞环节,延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。,小结1：各典型环节名称：,比例环节：一阶微分环节：二阶微分环节：积分环节：惯性环节：二阶振荡环节：延迟环节：,典型环节串联形,3.4 系统方块图和信号流图,方块图系统信号流图控制系统传递函数,3.4.1 结构方块图,3 函数方块(环节)函数方块具有运算功能,？,4.求和点（比较点、综合点）1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,!注意量纲,相邻求和点可以互换、合并、分解。代数运算的交换律、结合律和分配律。,!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。,例：隔离放大器串联的RC电路（P48,串联运算规则,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。,并联运算规则,反馈运算规则,系统工作在开环状态，反馈通路断开。,系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。,(反馈信号B(s)和偏差信号E(s)之间的传递函数),系统的开环传递数函数,基于方块图的运算规则,基于比较点的简化,基于引出点的简化,控制系统的数学模型,物理的,语言的,？,？,？,？,确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量 的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。（注意：只有同性质的比较点或引出点可以直接换位）由内到外消除各局部回路的传递函数，然后求出 整个系统的传递函数。,方块图简化法-求取传递函数,方块图化简,结构图等效变换例子|例1,解：结构图等效变换如下：,例1系统结构图如下，求传递函数。,结构图等效变换例子|例2,结构图等效变换例子|例2,解：结构图等效变换如下：,例2系统结构图如下，求传递函数。,？,？,结构图等效变换例子|例2,系统传递函数 仅控制量作用下 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下系统误差传递函数 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下,控制系统传递函数,单独处理线性叠加,前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路,反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路,系统闭环传递函数：反馈回路接通后，输出量 与输入量的比值。,系统对控制量R(s)的闭环传递函数,系统对拢动量N(s)的闭环传递函数,系统的传递函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,屏蔽,？,假设R(s)=0,！扰动的影响将被抑制,扰动量N(S)作用,屏蔽？,控制量与扰动量同时作用,以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或拢动量R(s)为输入量的闭环传递函数。,3.4.2.2 系统误差传递函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,假设R(s)=0,扰动量N(S)作用,控制量与扰动量同时作用,稳态误差：瞬态过程结束后的误差e(t)，即稳态分量,系统的各闭环传递函数具有相同的分母、相同的特征多项式,1+G1(s)G2(s)H(s)=0,系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。,闭环传递函数的极点相同。,稳定性,1+G1(s)G2(s)H(s)=0,G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。,第四章 系统的瞬态响应,4.1 一阶系统的时间响应4.2 二阶系统的时间响应4.3 瞬态响应指标及其与系统参数的关系4.4 高阶系统的瞬态响应,4.1 一阶系统的瞬态响应,一阶系统的形式,闭环极点(特征根)：-1/T,一阶系统的单位阶跃响应,(t0),时间增长无稳态误差,t=3T c(t)=95%允许误差 5%调整时间ts=3Tt=4T c(t)=98.2%允许误差 2%调整时间ts=4T,T时间常数,单调上升逐渐逼近1,性质：1）T 暂态分量 衰减慢 瞬态响应（调整）时间 极点距离虚轴 2）T 暂态分量 衰减快 瞬态响应（调整）时间 极点距离虚轴,(t0),衰减系数：1/T,T:时间常数,t=T c(t)=63.2%实验2法求T,3）斜率:,实验1法求T,(t0),只包含瞬态分量,一阶系统的单位 脉冲响应,(t0),一阶系统的单位斜坡响应,3）稳态误差=T。,性质：1）经过足够长的时间(4T)，输出增长速率近似与输入相同；2）输出相对于输入滞后时间T；,闭环极点（特征根）：-1/T,衰减系数：1/T,T时间常数,对于一阶系统,输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分积分时间常数由零初始条件确定。,线性定常系统的一个性质,例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？,解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误差为10T=2.5度。,某系统在单位斜坡信号输入时，输出为试求出该系统的传递函数（写出步骤），并给出其在单位阶跃信号输入时的时间响应。,思考：,欠阻尼、临界阻尼、过阻尼、无阻尼、负阻尼,4.2 二阶系统的瞬态响应,阶跃响应,脉冲响应,系统的特征方程,闭环特征方程根（闭环极点）,欠阻尼：01 无阻尼：=0,阻尼大小不同响应形式不同,欠阻尼：0 1,(t0),有阻尼固有频率,无阻尼固有频率,(t0),无稳态误差；边衰减边振荡:其衰减快慢和d由和n决定振荡频率：d,衰减系数：,(t0),衰减系数：极点的实部,振荡频率：d极点的虚部,无阻尼：=0,(t0),无阻尼的等幅振荡,稳定边界,：无阻尼自然频率,（无阻尼固有频率）,振荡频率？,临界阻尼：=1,(t0),系统包含两类瞬态衰减分量两一阶系统串联,单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。,过阻尼：1,(t0),精确解：,系统包含两类瞬态衰减分量两一阶系统串联,单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。,几点结论,1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：,=0时，出现等幅振荡01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；,2）一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,3）工程中除了一些不允许产生振荡的场合，如指示和记录仪表等系统，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,评价系统快速性的性能指标,评价系统平稳性的性能指标,二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标,4.3 瞬态响应指标及其与系统参数的关系,评价系统快速性的性能指标,最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：,振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。,评价系统平稳性的性能指标,上升时间tr,一定时，n越大，tr越小；n一定时，越大，tr越大。,峰值时间tp,峰值时间等于阻尼振荡周期的一半,一定时，n越大，tp越小；n一定时，越大，tp越大。,最大超调量Mp：,仅与阻尼比有关。,调整时间ts,包络线,当00.7时,当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。,上升时间,峰值时间,调整时间,二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标,最大超调量,振荡次数,1、二阶系统的动态性能由n和决定；,2、增加 降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N，系统快速性降低，tr、tp、ts增加；,3、一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。,4、Mp、N仅与有关，而tr、tp、ts与、n有关，通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间tr、tp、ts 等。,高阶系统的单位阶跃响应,闭环主导极点,4.5 高阶系统的瞬态响应,高阶系统的单位阶跃响应,3）极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点非周期单调的瞬态分量；共轭复数极点边振荡边衰减瞬态分量。,1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。,2）如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面，则随着时间t，c()=a。，系统是稳定的。,极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快，对系统影响小；,（衰减系数pj、kk）,主导极点：（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）,对高阶系统的瞬态响应起主导作用。,高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。,闭环主导极点,第五章 控制系统的误差分析,5.1 误差的基本概念,5.2 稳态误差系数,5.3 提高稳态精度的措施,偏差与误差,偏差与误差,5.1 误差的基本概念,误差:E(s),稳态误差：瞬态过程结束后的误差e(t)，即稳态分量,控制信号作用下,扰动作用下,5.1 误差的基本概念,系统在控制信号作用下的稳态误差,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,系统在扰动作用下的稳态误差,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,定义,系统结构对稳态误差的影响,系统在控制信号作用下,5.2 稳态误差系数,5.2 稳态误差系数,单位阶跃输入,单位斜坡输入,单位抛物线输入,稳态位置误差系数,稳态速度误差系数,稳态加速度误差系数,V=00型系统V=1I型系统V=2II型系统,稳态误差系数和稳态误差,系统结构对稳态误差的影响,稳态误差系数和稳态误差,系统在控制信号作用下,系统首先必须是稳定的；K是系统的开环放大系数；从输入端定义的稳定误差ess。,(1)主对角线上，稳态误差是定值；而主对角线以上，稳态误差是无穷大，以下稳态误差是零。,(2)如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。,(3)系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。,减小和消除稳态误差方法1、提高系统的开环增益K2、增加开环传递函数中积分环节的个数,5.3 提高稳态精度的措施,例：I型单位反馈系统的开环增益 K=600,系统最大跟踪速度max=24/s，求系统在最大跟踪速度下的稳态误差。,解：单位速度输入下的稳态误差,I型系统,系统的稳态误差为,第六章 频率特性,6.1 频率特性的定义：1、频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。,稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,2、频率特性：指当正弦输入信号的频率由0时，输入与输出的幅值比 A()及两者的相位差()随频率的变化规律。,与 有相同频率。但幅值和相角不同。,当输入信号为 则当 时，其输出为：,频率特性,三要素：频率：不变 幅值：M Cm 关系 幅角：0 关系,3、频率特性和时域响应的关系,线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为,输出与输入的相位差,相频特性,幅频特性,小 结,幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号的角频率变化而变化。在系统闭环传递函数G(s)中，令s=j，即可得到系统的频率特性。,1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应,记为css(t)2、频率特性,幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:,相频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:,【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin t时系统的稳态输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s)，令s=j 得,如=2,则(j2)=0.35-45o,则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o),系统模型间的关系,6.2 频率特性图,频率特性图的定义典型环节的频率特性图 Nyquist/Bode,放大环节 积分环节纯微分环节 惯性环节一阶微分环节 振荡环节二阶微分环节 延滞环节,对数频率特性(Bode，简称伯德图),频率对数分度 幅值/相角线性分度,幅相频率特性 极坐标图(Nyquist，简称乃氏图)A()和(),以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L()()图,频率特性图的定义,系统开环传函的一般形式为：,6系统开环频率特性Nyquist图,奈奎斯特图 Nyquist 乃氏图,极坐标图在复平面上描出由0时的G(j)矢量的端点，把矢端沿增大方向连成曲线。是变量，在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。,系统开环频率特性曲线的绘制,1、系统(标准型)简单吗？,2、比较复杂,2、比较简单则写出G(jw)Re+j Im,3、分别求出w=0+、+时的G(jw),4、必要时画出幅相曲线中间几点,5、勾画出w=0+时G(jw)的大致曲线（当然，越精确越好）,已知系统的开环传递函数，绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。,Nyquist图与实轴相交时,具有积分环节的系统的频率特性的特点：,频率特性可表示为：,其相角为：,当 时，,当 时，,显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。,下图为0型、型和型系统在低频和高频段频率特性示意图：,（0型）,（型）,（型）,低频段频率特性,6.2.1.2 对数频率特性图-Bode图,频率比,dec,oct,幅值相乘变为相加，简化作图。,拓宽图形所能表示的频率范围,伯德图(Bode),对数幅频+对数相频,(dB),纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以 或 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将 或 值标注在纵坐标上。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；只标注的自然对数值。,通常用L()简记对数幅频特性，用()简记对数相频特性。,放大环节幅相频率特性,放大环节对数频率特性,K1时，分贝数为正；K1时，分贝数为负。,幅频曲线升高或降低相频曲线不变,改变K,积分环节幅相频率特性,积分环节对数频率特性,纯微分环节幅相频率特性,纯微分环节对数频率特性,惯性环节幅相频率特性,惯性环节对数频率特性,转角频率，记为,低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,高频段近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,!低通滤波特性,一阶微分环节幅相频率特性,一阶微分环节对数频率特性,！高频放大！抑制噪声能力的下降,惯性环节,一阶微分,频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。,振荡环节幅相频率特性,当较小时，在=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr对应的频率为谐振频率r。,!振荡环节出现谐振的条件为 0.707,振荡环节对数频率特性,低频渐近线为0dB的水平线,高频渐近线斜率为-40dB/dec,转折频率,？,n个积分/微分环节串联,二阶微分环节幅相频率特性,二阶微分环节对数频率特性,二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线 关于0dB 线对称相频特性曲线关于零度线对称,波德图：,二阶微分环节的波德图,延滞环节对数频率特性,将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；,幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特 性之代数和。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之 代数和。,二、系统开环 Bode图,幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。,确定 和各转折频率，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；,确定低频渐进线：，就是第一条折线，其斜率为，过点（1，20lgk）。实际上是k和积分 的曲线。,具体步骤如下：,高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。（检验）,相频特性还是需要点点相加，才可画出。,2、低频渐进线：斜率为，过点（1，20）,3、波德图如下：,Bode图特点-可求G(s),最低频段的斜率取决于积分环节的数目v斜率为20v dB/dec；,注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg,当1 rad/s时，L()=20lgK；,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。,惯性环节，-20dB/dec；振荡环节，-40dB/dec；一阶微分环节，+20dB/dec；二阶微分环节，+40dB/dec。,开环系统Bode图的绘制,将开环传递函数表示为典型环节的串联；,确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；,计算20lgK，在1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于-20v dB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。,向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；,对惯性环节，-20dB/dec振荡环节，-40dB/dec一阶微分环节，+20dB/dec二阶微分环节，+40dB/dec,对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；（不作要求）相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得（注意起点终点检验）,？,？,？,起点终点相角检验,由Bode图确定系统的传递函数 由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。,由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性,对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。,频率响应实验：,6.3 系统辨识的频率特性法,例 试确定如图所示实验频率响应曲线的系统传递函数。,6.4 最小相位系统和非最小相位系统,（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统，如,（2）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零点或极点,则该系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相位系统。,最小相位系统,非最小相位系统,两个系统的波德图如下所示：,一、闭环频率特性主要性能指标,闭环系统幅频特性和相频特性为：,闭环系统相频特性表示稳态时输入输出的相位差。,6-5,常用频域性能指标,闭环系统幅频特性表示稳态时输入输出的幅值比。,Mr是系统相对稳定性的一种常用指标。,时，则系统阶跃响应的终值等于输入信号的幅值，稳态误差为零。当,(1)零频值：是指频率等于零时的闭环对数幅值，即,当,时，则系统存在稳态误差，故零频幅值反映了系统的稳态精度。,带宽频率的范围称带宽，即。带宽频率范围越大，表明系统复现快速变化信号的能力越强，失真小，系统快速性好，阶跃响应上升时间和调节时间短（伺服系统）。但另一方面系统抑制输入端高频噪声的能力相应削弱（低通滤波）。,因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出，从而求出时域指标。反之，给出时域指标的任两个，就可确定闭环频域指标。,讨论：带宽频率（截至频率）,闭环频率特性,第七章 系统的稳定性,定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身能在有限的时间内、以足够的精度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。,7.2 劳斯(Routh)稳定判据 设线性系统的特征方程为：由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项（系数为零），则系统为不稳定系统。,即可确定系统是不稳定的,劳斯表,劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数,？,判定控制系统的稳定性,例 系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。,解：排列劳斯阵如下：,，但劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。,(3)特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：,说明：用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；,例：系统的特征方程为：,劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面，有两个正实根。,劳斯判据特殊情况,劳斯判据特殊情况,劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。处理办法：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。,例：,劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。,劳斯判据特殊情况,例如:,处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。,s5s4s3s2s1s0,5,25,0,0,10,出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。,25,0,列辅助方程：,例 D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0,D(s)=(sj)(s+1)(s+1j2)=0,有共轭虚根时表明：1、劳斯表中有全0行；2、据辅助方程可解出该共轭虚根,?,s5s4s3s2s1s0,0,-2,16/e,0,8,-2,0,列辅助方程：,例5 D(s)=s5+2s4-s-2=0,e,第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定,=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j),(4)劳斯判据的应用,例6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统 能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。,解 依题意有,系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系,分析系统参数变化对稳定性的影响,利用劳斯稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数。,例3-7已知某调速系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。,解：闭环传递函数为：,特征方程为：,劳斯阵：,所以，临界放大系数,不能确定系统的相对稳定性（稳定裕度）,利用劳斯稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。,7.2 Nyquist稳定判据,1、根据系统开环传函，可知 P 值（在右半平面的开环极点个数）,2、绘制开环乃氏曲线，判别当从-到+，开环乃氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的次数N,3、由公式 Z=P-N,求Z，Z=0则系统稳定，否则不稳定,一、乃奎斯特稳定性判据说明,1、以前从0到+时，GK(s)乃氏图，现需补画从-到0时，GK(s)乃氏图。因两者关于实轴对称，则Z=P-N=P-2N,通常，只画出 的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为 变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。,奈氏判据：,2、GK(s)含有v个积分环节时，需补画0到0+部分，从乃氏图=0+处补画90*v，半径无穷大的圆弧。判定N。,例某型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：,从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭