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中考数学课件,第一篇 知识系统复习第一章 数与式 第一节 实数的有关概念和运算 第二节 整式与因式分解 第三节 分式 第四节 数的开方 二次根式重难点突破一 数、式的综合计算题,第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一元一次方程与二元一次方程组 第二节 分式方程 第三节 一元二次方程 第四节 一元一次不等式（组）重难点突破二 方程（组）与不等式（组）的应用,第三章 函数 第一节 函数及其图象 第二节 一次函数的图象、性质与应用 第三节 反比例函数的图象与应用重难点突破三 一次函数与反比例函数的综合运用 第四节 二次函数的图象与性质 第五节 二次函数的应用 第1课时 几何运用 第2课时 实际运用重难点突破四 二次函数与一次函数的综合运用,第四章 三角形 第一节 角、相交线、和平行线 第二节 三角形的基本概念及全等三角形 第三节 等腰三角形 第四节 直角三角形第五章 四边形 第一节 多边形与平行四边形 第二节 矩形、菱形、正方形重难点突破五 多边形的变化与证明第六章 圆 第一节 圆的有关性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 正多边形与圆 圆有关的计算 尺规作图,第七章 图形与变换 第一节 图形的平移、旋转与对称 第二节 相似形 第三节 锐角三角函数及解直角三角形 第四节 视图与投影第八章 统计与概率 第一节 统计及其应用 第二节 概率及其应用,第二篇 重点题型突破,专题一 数学思想方法专题二 规律探索题专题三 动手操作与方案设计专题四 实际应用型问题专题五 图形运动型问题专题六 代数几何综合题,数学,2023/8/16,第一篇 知识系统复习第一章 数与式,第一节 实数的有关概念和运算第二节 整式与因式分解第三节 分式第四节 数的开方 二次根式重难点突破一 数、式的综合计算题,第一节实数的有关概念和运算,负分数,无理数,分数,0,实 数,有限小数或循环小数,无限不循环小数,实数的概念,1.数轴的三要素:、和单位长度.2.与数轴上的点一一对应.3.实数的相反数、倒数、绝对值:实数a的相反数为;若a,b 互为相反数,则a+b=;非零实数a的倒数为(a0);若a,b互为倒数,则ab=;实数a的绝对值为|a|=4.乘方:求n个 因数a的 的运算叫做乘方.,原点,正方向,实数,-a,0,1,相同,乘积,1.科学记数法:一般形式为a10n(|a|0负数.3.绝对值比较法:a|b|,则a b.4.根式比较法:ab05.差值法比较:(1)a-b0ab;(2)a-b0,则(1)1ab;(2)1ab;(3)=1a=b.,1,10,右,左,1.实数的运算顺序是先算、，再算，最后算.如果有括号,先算,再算,最后算.同级运算应.2.零指数幂的意义:a0=(a0).3.负整数指数幂的意义:a-p=(a0,p为整数).4.正数的任何次幂都为,负数的奇次幂为,负数的偶次幂为.5.初中所涉及的三个非负数:|a|,a2,(a0).若几个非负数的和为0,则时为0.例 如:若|a|+b2+=0,则a=b=c=0.,乘方,开方,乘除,加减,小括号内的,中括号内的,大括号内的,1,正数,负数,正数,按从左到右的顺序,有理数、无理数的概念及实数的分类,(2013毕节)实数,0,-,()0,sin45,0.101 001 000 1(相邻两个1之间依次多一个0),其中无理数有个.,【分析】对无理数的判定,不能只被表面形式迷惑,而应从最后结果去判断.一般来说,用根号表示的数不一定就是无理数,如 是有理数;用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数,如sin30、tan45就是有理数.一个数是不是无理数的关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数.,【解】3,=3,=4,()0=1,科学记数法、近似数,(2013日照)据新华社报道:在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为(),实数的计算,计算：,【方法归纳】解答此类问题的关键是熟记特殊角的三角函数值，理解整数指数幂和立方根的含义，特别要注意零指数幂、负整数指数幕的计算方法:,第二节整式与因式分解,1.代数式:代数式是用(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 的 连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式.2.代数式的值:用数值代替代数式里的,计算后所得的结果.3.求代数式的值主要用代入法,代入法分为直接代入、整体代入和寻找规律求值.,运算符号,数,数,字母,字母,积,和,知识点1:代数式、代数式的值,知识点2:整式的相关概念,1.整式的加减:整式的加减实际上是.,合并同类项,2.单项式中的 叫做这个单项式的系数;所有字母的指数 叫做单项式的次数.3.组成多项式的各个单项式中 叫做多项式的次数.4.同类项:多项式中所含 相同并且 也相同的项,叫做同类项.,数字因数,和,次数最高的项的次数,字母,相同字母的指数,2.整式的乘除,知识点3:整式的运算,1.aman=(m,n都是正整数).2.(ab)n=(n是正整数).3.(am)n=(m,n都是正整数).4.aman=(a0,m,n都是正整数,且mn).,1.因式分解:把一个多项式化成几个整式 的形式,因式分解是 的逆变形.2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=.(2)公式法:a2-b2=,a22ab+b2=.,am+n,anbn,amn,am-n,积,多项式乘法,M（a+b+c）,(a+b)(a-b),(ab)2,知识点4:幂的运算,知识点5:因式分解,3.因式分解的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;(3)检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个因式不能再分解为止.以上三步骤可以概括为“一提二套三检查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆变形,它们可以用来相互检验其正确性.,实际问题中的代数式,甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次性降价30%.那么,顾客到哪家超市买这种商品更合算()A.甲B.乙C.丙 D.一样,【分析】设商品的原价为m,用代数式表示出三家超市降价后的价格,然后比较.甲超市的售价为m(1-20%)(1-10%)=0.72m,乙超市的售价为m(1-15%)20.723m,丙超市的售价为m(1-30%)=0.7m,显然到丙超市合算.,【解】C,【方法归纳】列代数式的关键是找出问题中的数量关系,能准确地把文字语言转换成数学语言.具体地说:(1)正确理解和、差、积、商、多、少、倍、分等数学术语的意义.(2)要分清数量关系中的运算层次与运算顺序,必要时,要正确地添加括号.(3)分析语句所表达的数量关系时,除了要注意关键词的意义外,还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个量为基准的.,(1)如果x=1时,代数式ax3+bx+3的值是5,那么当x=-1时,代数式ax3+bx+3的值是.(2)有一个数值转换器,原理如图所示,若开始输入的x值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是,依次继续下去,第2013次输出的结果是.,求代数式值的常用方法,【分析】(1)将x=1代入代数式ax3+bx+3.由值是5求出a+b的值,再将x=-1代入求值.x=1时,ax3+bx+3=5,a+b=2,因此,当x=-1时,ax3+bx+3=-a-b+3=-(a+b)+3=-2+3=1.(2)注意x为奇数或偶数的区分.由图可知,输入x=7时,第1次输出7+5=12;第2次输出12=6;第3次输出6=3;第4次输出3+5=8;第5次输出8=4;第6次输出4=2;第7次输出2=1;第8次输出1+5=6.归纳得出输出的结果从第2次开始以6,3,8,4,2,1循环.(2013-1)6=3352,则第2013次输出的结果为3.【解】(1)1(2)33,在几何图形中用整式运算求面积,(2013宁波)7张如图1的长为a,宽为b(ab)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足.,【分析】表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,阴影部分面积之差S=AEAF-PCCG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.,【解】a=3b【方法归纳】此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.,因式分解,【分析】(1)因式分解是把一个多项式化为n个整式的积的形式;(2)因式分解的步骤是“一提二套三检查”.【解】(1)D(2)A,第三节分式,1.形如(A、B是整式,且B中含有,B0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母.2.分式有意义:在分式中,当 时,分式有意义;当 时,分式没有意义.3.分式的值为零:分式的值为零的条件是分子A=0,而分母B0.4.有理式:整式和分式统称为有理式.,字母,分母B0,分母B=0,知识点1:分式的有关概念,知识点2:分式的性质(约分、通分),1.分式的乘、除法:,3.分式的加减法.4.分式的混合运算.,【方法归纳】(1)分式乘法的实质是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行;(2)分式运算的结果必须是最简分式或整式;(3)由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义.,2.分式的乘方:,知识点3:分式的运算,分式的意义,【解】(1)1(2)62,分式的化简及求值,【方法归纳】在最后由x的取值求值时,x要满足使化简前的原分式有意义.,分析先化简分式;x的取值要使化简前的原分式有意义.,第四节数的开方二次根式,知识点1:平方根、算术平方根与立方根,知识点2:二次根式的有关概念,(1)被开方数的因数是整数,因式是;(2)被开方数中不含有.,整式,开得尽方的因数或因式,0,0,0,没有,没有,1.形如(a0)的代数式叫做二次根式.,2.最简二次根式应满足的两个条件:,知识点3:二次根式的性质,1.双重非负性:0(a0).2.()2=(a0);=.3.,=,(a0,b0);,(a,0,b 0).,a,|a|,知识点4:二次根式的计算,1.二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成,再把 分别合并.2.二次根式的乘法:,最简二次根式,同类二次根式,3.二次根式的除法:,【注意】二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式.,知识点5:二次根式的估值,二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数 的两个能开得尽方的整数,对其进行,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间.,相邻,开方,二次根式的概念及性质,【解】D,实数的估计,【解】A,2023/8/16,重难点突破一数、式的综合计算题,实数的运算,【分析】依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝对值进行化简.再按照从左到右的运算顺序进行计算.,【方法归纳】实数的混合运算是由很多考点综合而成的,第一步要化简正确,第二步注意运算顺序,第三步注意运算结果是否是最简形式.,计算,分式的化简求值,【分析】先将除式的分子、分母因式分解、约分,再按照运算顺序,可先算括号里面的,也可用乘法分配律计算;求值时,a取的值必须使原分式有意义.,【方法归纳】解决本题分三步走:一化、二选、三代入.,二次根式的运算与化简求值,第二章方程(组)与不等式(组),第一节一元一次方程与二元一次方程组第二节分式方程第三节一元二次方程第四节一元一次不等式(组)重难点突破二方程(组)与不等式(组)的应用,2023/8/16,第二章方程(组)与不等式(组),第一节一元一次方程与二元一次方程组,知识点1:等式的性质,知识点2:一元一次方程,1.含有 的等式叫做方程.使方程两边相等的 叫做方程的解.2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是,且等式两边都是 的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a0)是一元一次方程的标准形式.,未知数,未知数的值,1,整式,3.解一元一次方程的一般步骤是:去分母,去括号,.,移项,合并同类项,系数化为1,知识点3:一次方程(组)及解法,1.二元一次方程:含有两个未知数,并且 的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:使二元一次方程 相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.4.解二元一次方程组的基本思想是,将二元一次方程组转化为一元一次方程.有 消元法和 消元法两种.,未知数项,左右两边,消元,加减,代入,【拓展】方程ax=b的解有以下三种情况:(1)当a0时,方程有且仅有一个解;(2)当a=0,b0时,方程无解;(3)当a=0,b=0时,方程有无穷多个解.,知识点4:一次方程(组)的应用列一次方程(组)解应用题的一般步骤是:审:即审清题意,分清题中的已知量和;设:即设关键未知数;列:即找出适当的等量关系;解:即解方程(组);检:即检查所得的值是否正确和是否 实际情况;答:即规范作答(包括单位名称).,未知量,列方程(组),符合,二元一次方程组的解,【解】,方程组的应用,(2013东营)如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨千米),铁路运价为1.2元/(吨千米),且这两次运输共支出公路运输费15 000元,铁路运输费97 200元.求:(1)该工厂从A地购买了多少吨原料?制成运往B地的产品多少吨?(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?,【分析】等量关系为:从A地到工厂公路运费+从工厂到B地公路运费=15 000;从A地到工厂铁路运费+从工厂到B地铁路运费=97 200.,【解】(1)设从A地购买了x吨原料,从工厂运了y吨产品到B地,由题意得出,(2)多出“3008 000-(4001 000+15 000+97 200)=1 887 800(元).答:(1)从A地购买了400吨原料,运往B地的产品300吨.(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.,【方法归纳】建立合适的等量关系是解应用题的关键.,第二节分式方程,知识点1:分式方程及其解法1.定义:分母中含有 的方程,叫做分式方程.2.解分式方程的步骤:分式方程 解整式方程验根确定原方程的根.3.分式方程的增根:去分母后整式方程的根,使分式方程分母为0的根不是 的根,叫做原分式方程的增根.【注意】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,并且使分式方程的分母为0的根.,字母,整式方程,原分式方程,知识点2:分式方程的应用列分式方程解应用题的关键是分析题意、从多角度思考问题、找准,设出未知数、最后还要注意求出的未知数的值,不但要是所列分式方程的,而且还要符合.,等量关系,列出方程,根,实际意义,分式方程的解法,【分析】首先要确定最简公分母,然后根据等式的基本性质去分母再解整式方程,最后验根.,【方法归纳】分式方程 整式方程 验根;去分母时防漏乘.,分式方程的解,【方法归纳】分式方程的解应代入最简公分母,使最简公分母不为0.,分式方程的应用,(2013扬州)为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种480棵树,由于青年志愿者的支援,每天比原计划多种,结果提前4天完成任务,原计划每天种多少棵树?,【方法归纳】解分式方程步骤:审题确定等量关系设未知数列方程解方程验根,判断根是否合理确定根并作答.,【分析】等量关系:原计划时间-实际时间=4(天).,第三节一元二次方程,知识点1:一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.2.一元二次方程的解法:解一元二次方程的基本思想是,将一元二次方程转化为 方程来解.主要有:直接开平方法;法;法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是:x=.,2,1,ax2+bx+c=0(a0),降次,配方,公式,一元一次,因式分解,知识点2:一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为=b2-4ac.(1)0方程有;(2)=0方程有;(3)0方程.,知识点3:一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=.,两个不相等的实根,两个相等的实根,没有实数根,知识点4:一元二次方程的应用,步骤:审;设;列;解;验;答.,【注意列一元二次方程解应用题中，增长率(或下降率)和利润问题是常考内容:(1)增长率等量关系:增长率=增长量:基础量x 100%;设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(l+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数时，则有a(l一m)n=b.,(2)利润等量关系:利润=售价一成本;利润率=利润/成本100%,一元二次方程的解法,解方程(x-1)(2x-1)=3(x-1).【分析】方程两边都含有因式x-1,如果在方程两边同时约去x-1,就会导致方程失去一个根x=1.本题可先移项,利用因式分解法求解.【解】方程化为(x-1)(2x-1)-3(x-1)=0,即(x-1)(2x-1-3)=0,所以x-1=0或2x-4=0,所以方程的解为x1=1,x2=2.【方法归纳】解一元二次方程时,不能随便在方程两边约去含未知数的代数式,否则,可能导致方程失去一个根.,一元二次方程的应用,新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元,市场调研表明:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?,【方法归纳】解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求问题中的等量关系,从而建立方程,本题采用灵活的间接设未知数的方法.,【分析】每件利润每天的销售量=每天的利润.,第四节一元一次不等式(组),知识点1:一元一次不等式,1.不等式的基本性质:不等式的性质1:若ab,则ac bc.不等式的性质2:若ab,c0,则ac bc或 不等式的性质3:若ab,c0,则ac bc或 2.解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.,知识点2:一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的 部分.2.几种常见的不等式组的解集(ab,且a、b为常数):,公共,xb,xa,axb,空集,【注意】已知一元一次不等式(组)的解集,确定其中字母的取值范围的方法是:逆用不等式(组)的解集确定;分类讨论确定;从反面求解确定;借助于数轴确定.知识点3:一元一次不等式(组)的应用1.列不等式(组)解应用题的关键是找题中的不等关系,将“不等关系”转化为“不等式(组)”.2.要着重抓住题中的关键词,如“大于”、“小于”、“不少于”、“不多于”、“至少”、“最多”等;还应注意题中字母所表示的量的实际意义,不合题意的答案应舍去,如人数是正整数,时间不得为负数等.,不等式的性质,若ab,则下列各式中一定成立的是(),【分析】根据不等式性质1,A选项显然正确;根据不等式性质2,B选项是错误的;根据不等式性质3,C选项是错误的;D选项中的字母c所代表的数正负不明确,故不能确定不等号方向.【解】A,一元一次不等式组的解法,【分析】解一元一次不等式组时,一般是先分别求出每个不等式的解集,再借助数轴找出它们的公共部分,这样就可以确定出不等式组的解集.【解】解不等式,得x-1.解不等式,得x3.原不等式组的解集为-1x3.解集在数轴上表示如下:,【方法归纳】解一元一次不等式组,先解出不等式组中的各个不等式,再根据“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”准确写出不等式组的解集.,2023/8/16,不等式组的应用,学校6名教师和234名学生集体外出活动,准备租用45座大客车或30座小客车,若租用1辆大车2辆小车共需租车费1 000元;若租用2辆大车1辆小车共需租车费1 100元.(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元?(2)若每辆车上至少要有一名教师,且总租车费用不超过2 300元,求最省钱的租车方案.【分析】(1)由两个等量关系求出两种租车费.(2)由人数和总车费列出不等式组,可求出两种车辆数.【解】(1)设大、小车每辆的租车费各是x、y元,答:大、小车每辆的租车费各是400元、300元.,【方法归纳】建立不等式组,求出不等式组的整数解从而确定方案,是解决方案问题常用方法.,(2)240名师生都有座位，租车总辆数6;每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数6.故租车总数是6辆，设大车辆数是x辆，则租小车(6-x)辆，,x是正整数，x=4或5.于是有两种租车方案,方案1:大车4辆,小车2辆,总租车费用2 200元,方案2:大车5辆,小车1辆,总租车费用2 300元,可见最省钱的是方案1.,重难点突破二方程(组)与不等式(组)的应用,列二元一次方程(组)解应用题,某县政府打算用25 000元为某乡福利院购买每台价格为2 000元的彩电和每台价格为1 800元的冰箱,并计划恰好全部用完此款.(1)问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台?(2)由于国家出台“家电下乡”惠农政策,该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴,若在不增加县政府实际负担的情况下,能否多购买两台冰箱?说说你的想法.,答:原计划买彩电8台和冰箱5台.,【分析】(1)列二元一次方程求正整数解.(2)补贴的钱与需要拿出的钱作较.,【解】(1)设原计划购买彩电x台，冰箱y台，根据题意，得2 OOOx+1 800y=25 000，化简得:lOx+9y=125.由于x、y均为正整数，解得,(2)该批家电可获财政补贴为25 00013%=3 250(元).由于多买的冰箱也可获得13%的财政补贴,实际负担为总价的87%.3 250(1-13%)3 735.621 800.可多买两台冰箱.答:能多购买两台冰箱.我的想法:可以拿财政补贴款3 250元,再借350元,先购回两台冰箱,再从总价3 600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于还借款,这样不会增加实际负担.【方法归纳】本题探求二元一次方程的特殊解(正整数解).,甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动,已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20 800元,若两校联合组团只需花费18 000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?,应用题中的分类思想,某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“大别山龙井峡一日游”活动，收费标准如下:,【分析】(1)人数可能大于200人,可能小于200人.(2)分甲校人数大于100人小于200人,或大于200人两种情况.,甲校报名参加旅游的学生有160人,乙校报名参加旅游的学生有80人.,【解】(1)超过.理由如下:设两校人数之和为a,若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，则a=18 00085211.76.a不是整数，两校报名人数之和超过200人.又报名人数之和超过200人时，有a=18 000 75=240,a为整数.两校报名参加旅游的学生人数之和超过200人.,(2)设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，则:,【方法归纳】这道应用题,由于题目所给条件比较隐蔽,符合题意的情况有多种,解这类应用题时要考虑周全,把各种情况下的解全求出来,这样不至于失解,否则会造成解答不完整,犯以偏概全的错误.,方程与不等式的综合应用,某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.,(1)两种跳绳的单价各是多少元?(2)若学校准备用不超过2 000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?,【分析】(1)找两个等量关系,列二元一次方程组求解.(2)用“不超过”建立两个不等量关系,求不等式组的整数解.,【方法归纳】方案问题通常是由不等式组的正整数解确定方案的个数.,第三章函数,2023/8/16,第一节函数及其图象第二节一次函数的图象、性质与应用第三节反比例函数的图象与性质重难点突破三一次函数与反比例函数的综合运用第四节二次函数的图象与性质第五节二次函数的运用 第1课时几何运用 第2课时 实际运用,第三章函数,第一节函数及其图象,知识点1:平面直角坐标系及点的坐标1.在平面内两条 且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.在平面直角坐标系中,一对有序实数P(x,y),即为点P的坐标.2.平面直角坐标系内点的特征点P(x,y)(1)在第一象限,x 0,y 0;在第二象限,x 0,y 0;在第三象限,x 0,y 0;在第四象限,x 0,y 0.(2)在x轴上,=0;在y轴上,=0.(3)在第一、三象限角平分线上,则;在第二、四象限角平分线上,则.(4)对称点的坐标特征:点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为;点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为;点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为.,互相垂直,y,x,x=y,x=-y,(a,-b),(-a,b),(-a,-b),知识点2:函数的概念及其表示方法1.函数:在某一变化的过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有 的值与它对应,那么称y是x的函数,其中x是,y是因变量.2.函数的表示方法有:、.知识点3:函数自变量的取值范围,唯一确定,自变量,解析式法,列表法,图象法,【注意】(1)函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义.(2)如果函数表达式兼上述两种以上的结构特点时,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求取值范围的公共部分.,全体实数,使分母不为0,被开方数0,知识点4:函数图象画函数图象的一般步骤:列表、.,描点,连线,知识点5:分析问题判断函数图象1.判断函数图象判断符合实际问题的函数图象时,需遵循以下几点:找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找相对应点;找特殊点:即指交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;判断图象趋势:判断出函数的增减性;看是否与坐标轴相交:即此时一个量为0.以几何图形(动点)为背景判断函数图象的题目,一般的解题思路为设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相应的函数图象,要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.2.分析函数图象判断结论正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围,同时也要注意:分段函数要分段讨论;转折点:判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点;平行线:函数值随自变量的增大而保持不变.再结合题干推导出实际问题的运动过程,从而判断结论的正误.,自变量的取值范围,【分析】函数自变量的取值范围即使分式和根式同时有意义,所以x+30,解得x-3.【解】x-3,分析实际问题中函数图象,小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图),若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3,且v1v2v3,则小亮同学骑车上学时离家路程s与所用时间t的函数关系图象可能是(),【分析】由题意知小亮行驶过程中,速度发生4次变化,慢很快很慢与开始一样慢,路程s随时间t一直在递增,有4段变化趋势.【解】C,2023/8/16,如图.等边ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让ABC沿这条直线向右平移，直线点B与点E重合为止，设BD的长为x,ABC与正方形DEFG重叠部分(图中阴影部分)的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是(),2023/8/16,第二节一次函数的图象、性质与应用,知识点1:一次函数和正比例函数概念形如 的函数是一次函数.当 时,一次函数y=kx+b就是正比例函数.知识点2:一次函数的图象和性质,y=kx+b(k、b是常数且k0),b=0,1.一次函数y=kx+b(k,b是常数,k0)的图象是过点、(-,0)的一条直线;正比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象是过点(0,0)、的一条直线.2.一次函数y=kx+b的性质:(1)当k 0时,y随x的增大而增大;(2)当k0时,y随x的增大而.,(0,b),(1,k),减小,3.一次函数y=kx+b的图象经过的象限:,(1)当k0时,(2)当k0时,b0，则过_象限b=0，则过_象限b0，则过_象限,b0，则过_象限b=0，则过_象限b0，则过_象限,一、二、三,一、三,一、三、四,一、二、四,二、四,二、三、四,知识点3:函数解析式的确定:待定系数法步骤如下:(1)设出函数解析式的一般形式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程或方程组,求出待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设解析式.知识点4:一次函数与方程、不等式的关系一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系:(1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标一元一次方程kx+b=0的解;一次函数y=kx+b中y0(或y0(kx+by2(或y1y2);若它们交于一点,则交点坐标就是两个解析式所组成的方程组的解.,知识点5:二元一次方程与一次函数的关系1.任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式,即每个二元一次方程都对应一个 函数,也对应一条直线;2.直线y=kx+b的每一点横、纵坐标均为这个二元一次方程 的解.3.二元一次方程组与一次函数的关系(1)二元一次方程组中的每个方程可看作一个一次函数解析式;(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数 的坐标.【注意】一次函数y=kx+b与直线y=kx+b的联系与区别,它们的图象形状都是直线,但前者k0,b为任意实数,后者k、b都可以为任意实数.,一次,y-kx=b,交点,知识点6:一次函数的应用步骤:(1)分析问题借助图表等手段分析题目中的数量关系,从而确定函数关系式;根据函数图象获取信息,分析数量关系.(2)确定模型:根据所获取的信息,建立一次函数模型.(3)解决问题:根据题中数量关系或函数模型解决问题.,一次函数图象与性质,已知正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=kx-k的图象可能是(),【分析】正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大,k0,-k0,一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限.【解】C【方法归纳】根据正比例函数的性质判断出k的取值范围是解题的关键.,一次函数与几何知识的综合运用,如图，一次函数y=-2/3x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A,B，以线段AB为边在第一象限内作等腰RtABC,BAC=90,求过B,C两点直线的解析式.,【分析】利用三角形全等求出C点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式.,【方法归纳】求点的坐标就是求点到坐标轴的距离,转化为在几何图形中求线段长.,2023/8/16,第三节反比例函数的图象与性质,知识点1:反比例函数的定义形如y=(,k为常数),其中k是,x是自变量,y是x的反比例函数.图象的形状是,且关于 对称.,知识点2:反比例函数的图象与性质,k0,常数,双曲线,原点,减小,增大,知识点3:反比例函数的应用,1.反比例函数中系数的几何意义.设P(x,y)是反比例函数y=图象上任一点,过点P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A,则OPA的面积=OAPA=.2.用待定系数法确定反比例函数.3.要善于运用数形结合思想解答与反比例函数有关的实际问题.,|xy|,|k|,反比例函数的图象与性质,【分析】(1)由反比例函数性质易求.(2)反比例函数图象性质:k0时在每一象限y随x增大而减小,很显然(x1,y1),(x2,y2)两点在第三限.0y1y2,(x3,y3)在第一象限,则y30,因此y3y1y2.【方法归纳】当点在双曲线上不同象限时,用点的坐标的符号分析出大小.,(1)已知点A(-1,y1),B(2,Y2)都在双曲线y=上，且y1 y2，则m的取值范围 是_.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是反比例函数y=图象上的点，且x1x20 x3，则y1,y2,y3的大小关系正确的是(),m1.5,A,反比例函数系数的几何意义,【分析】(1)由点M坐标易求k值.(2)关键是求出四边形BMON的面积,再由面积公式求出OP长,然后运用分类思想求点P坐标.,(2013烟台)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A,C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4,2)，直线y=分别交AB,BC于点M,N，反比例函数y=的图象经过点M,N.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在y轴上，且OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标.,【方法归纳】此题运用数形结合和分类思想.,反比例函数的应用,据媒体报道,近期“手足口病”可能进入发病高峰期,某校根据学校卫生工作条例,为预防“手足口病”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分),根据图象信息解答下列问题.(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?,【分析】(1)分两段求,先求反比例函数解析式,再求正比例函数解析式.(2)直接算出在反比例函数中当y=2时x的值即可.,【方法归纳】本题是一次函数和反比例函数所构成的分段函数，并进一步利用反比例函数解决实际问题，解决这类问题的关键是审清题目，理清步骤:先根据点的坐标确定解析式，再根据方程或不等式解决实际问题,重难点突破三一次函数与反比例函数的综合运用,由函数图象求不等式解集,2013红河)如图,正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2=(k0)的图象相交于A、B两点,点A的纵坐标为2.,(1)求反比例函数的解析式;(2)求出点B的坐标,并根据函数图象,写出当y1y2时,自变量x的取值范围.,【分析】(1)由点A在正比例函数y1=x图象上求点A的坐标,再代入y2=中求得k.(2)由图象性质得点B坐标,当y1y2时,从两交点处看自变量x的取值范围,考虑全面.,(2)当y1=y2时,x=.解得x=2.点B的坐标为(-2,-2).或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B的坐标为(-2,-2).由图象可知,当y1y2时,自变量x的取值范围是:-22.,解】(1)设A点的坐标为(m,2)，代入y1=x得:m=2，所以点A的坐标为(2,2).k=2x2=4.反比例函数的解析式为：y2=.,【方法归纳】本题考查了待定系数法及正比例函数与反比例函数图象的性质,在写取值范围时,分x0与x0,再结合图象考虑全面.,由函数图象的性质求交点坐标及几何图形面积,(2013德阳)已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点.已知当x 1时,y1y2;当0 x1时,y1y2.(1)求一次函数的解析式;(2)已知双曲线在第一象限内有一点C到y轴的距