控制系统的时域分析.ppt

第3章 控制系统时域分析,3.1时域性能指标3.2一阶系统的瞬态响应33二阶系统的阶跃响应3.4 代数稳定判据3.5 稳态误差3.6 用MATLAB解决时域分析的问题3.7设计实例：望远镜指向控制系统的设计 小 结习 题,内容提要,内容提要:控制系统的时域分析法是根据系统的数学模型，直接解出控制系统被控量的时间响应。然后根据响应的数学表达式(例如微分方程的解)及其描述的时间响应曲线来分析系统的控制品质，如稳定性、快速性、稳态精确度等。时域分析法最大的特点是直观，因而它常常被作为学习控制系统分析的入门手段。为了便于求解和研究控制系统的时间响应，输入信号一般采用典型输入信号。本章将首先介绍评价时间响应的性能指标。由于实际控制系统有简单的和复杂的，反映在数学模型上，就有低阶的和高阶的。本章将分别介绍一阶系统、二阶系统和高阶系统的时域分析方法。稳定性是控制系统正常工作的基本条件，稳态精确度也是工程中的主要问题。本章将重点介绍代数稳定判据(即劳斯判据)、稳态误差分析计算(误差定义、静态误差系数)、扰动误差及减小稳态误差方法。同时将详细介绍用工具软件MATLAB解决控制系统时域分析的问题。,3.1时域性能指标,控制系统的时间响应，可以划分为瞬态和稳态两个过程。瞬态过程又称为过渡过程，是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程，反映了系统的稳定性与快速性；稳态过程是指时间t趋于无穷时系统的输出状态，反映了系统的准确性。研究系统瞬态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应，来评价系统性能，瞬态性能指标规定如下。,(1)最大超调量或超调量:超调量是指在瞬态过程中，输出量的最大值超过稳态的值与输人值的百分数。即,式中ymax输出量的最大值；y()输出量的稳态值。一般情况下，要求值在535之间。,(2)峰值时间tm 指在响应过程中，单位阶跃响应超过稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。(3)上升时间tr 对欠阻尼系统是指输出量第一次达到稳态值y()的时间。对于无振荡的系统指响应由稳态值的10到90所需要的时间。,(4)过渡过程时间或调节时间ts 输出量y(t)与稳态值y()之间的偏差达到允讦范围(一般取2或5)并维持在此允许范围以内所需的时间。(5)瞬态过程中的振荡次数N 振荡次数是指在调节时间ts内，输出量偏离稳态值的振荡次数。上述几项指标中，上升时间tr、峰值时间tm及调节时间ts，均表征系统瞬态过程的快速性，而超调量及振荡次数表征系统瞬态过程的平稳性。稳态性能指标，将在稳态误差一节中作介绍。,图3-l-1单位阶跃响应曲线,3.2一阶系统的瞬态响应,1一阶系统的单位阶跃响应2.一阶系统的单位斜坡响应3.一阶系统的单位脉冲响应4三种响应之间的关系,由一阶微分方程式描述的系统，称为一阶系统。如R-C网络、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。一阶系统微分方程式的标准形式,(3-2-1),式中 T时间常数(秒)，它表示系统的惯性。一阶系统的结构图如图3-2-1所示，其闭环传递函数为：,图3-2-1一阶控制系统,下面分析一阶系统对典型输入信号的响应。分析时，假设系统的初始条件为零,1一阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃输入信号的拉氏变换为,，则单位阶跃响应,函数的拉氏变换为,取Y(s)的拉氏反变换,则：,(t0）,(3-2-2),一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升最终趋于1的曲线，如图3-2-2所示。由此可得出：,图3-2-2一阶系统单位阶跃响应,（1）由式(3-2-2)可以看出，输出由稳态分量1和瞬态分量,组成。，,响应曲线具有非振荡特征，故又称为,当t趋于无穷大时,衰减为零。显然，,非周期响应.,（2）时间常数T是一阶系统的一个重要参数。当t=3T时，响应输出,达稳态值的95；t=4T时，响应输出可达稳态值的98.2，也就是说，,可,当t=3T或4T时，稳态误差为5或2。从工程实际的角度来看，误差,小于5或2，就认为过渡过程已经结束。,故过渡过程时间一般取：,=3T(误差5)或,=4T(误差2),系统时间常数T越小，调节时间,越小，响应速度越快。,（3）由给定输入和系统输出可知，单位阶跃响应的稳态误差等于零。因为单位阶跃输入期望的输出应为1，实际输出为y(t)，稳态误差为希望输出减去实际输出，即,式中,稳态误差。,2.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡输入信号的拉氏变换为,，故单位斜坡响应,的拉氏变换为,展成部分分式：,拉氏反变换为:,响应曲线如图3-2-3所示。,图3-2-3一阶系统单位斜坡响应,(1)由式(3-2-3)可知，系统的响应函数是由两部分组成的，瞬态分量,和稳态分量t-T。瞬态,分量,衰减到零.,，当时间趋于无穷大时，,(2)时间常数T越小，衰减越快，响应速度快。过渡过程时间,同样是,=3T或4T。稳态分量(t-T)。,(3)单位斜坡响应具有稳态误差。输入信号t即是输出的期望值，那么时间常数越小，稳态误差越小。,3.一阶系统的单位脉冲响应,图3-2-一阶系统单位脉冲响应,输入信号,X(s)=1，,拉氏变换为,所以,单位脉冲响应的,拉氏变换,就是系统的传递函数，即,取拉氏反变换便得单位脉冲响应函数为,响应曲线示于图3-2-4所示，由图可以看出,脉冲响应函数是单调下降的指数曲线。,2.过渡过程时间也是,。输出的初始值为,，当时间,趋于无穷大时，输出量趋于零。时间常数T愈小，调节时间愈短，说明系统的惯性愈小，对输入信号反映的快速性能愈好。在实际工程中，理想单位脉冲函数无法得到，因此常用具有一定脉冲宽度h和有限幅度的脉动函数来代替，代替条件h0.1T.,4三种响应之间的关系,比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜坡输入信号的响应，就会发现它们的输入信号有如下关系：,则一定有如下的时间响应关系与之对应：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的影响，就等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由零初始条件确定。这是线性定常系统的两个重要特性，它不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于任意阶线性定常系统。但不适用于时变系统和非线性系统。,33二阶系统的阶跃响应,二阶系统的单位阶跃响应,3.3.2 二阶系统的瞬态响应性能指标,由二阶微分方程式描述的系统，称为二阶系统。分析二阶系统的瞬态特性对于研究自动控制系统的瞬态特性具有重要意义。这是因为在实际工程中，在一定的条件下，忽略一些次要因素，常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理，仍不失系统特性的基本性质。在初步设计时，常常可将一个高阶系统简化为一个二阶系统作近似分析。因此详细讨论和分析二阶系统的特性，具有极为重要的意义。首先，我们推导一个具体的位置随动系统数学模型。然后抽象为一般形式进行讨论。位置随动系统原理图如图3-3-1所示。,图3-3-1位置随动系统原理图,，要求使负载的位置与输入转角,和转动惯量,该系统的任务是控制一个转动的负载，该负载具有粘性摩擦,，的位置同步。,由图3-3-1可以看出,比较环节：,功率放大环节：,电动机：电压方程,电磁力矩,动力学方程,式中 J和f分别为折算到电机轴上的总转动惯量和总粘性摩擦系数。,减速器：,i减速比。,系统结构图如图3-3-2所示。,图3-3-2 位置随动系统结构图,系统开环传递函数,由于电枢电感,很小，可忽略不计。则,令,则,系统闭环传递函数为,该式为二阶系统闭环传递函数的标准形式为了使研究结果具有普遍的意义,令,称为无阻尼自然频率或无阻尼振荡频率；,称为阻尼比。,两个参数是决定二阶系统瞬态特性的非常重要的参数，,这样又可把二阶系统的传递函数写成如下标准式：,（3-3-4）,（3-3-5）,其结构图如图3-3-3所示。,图3-3-3 二阶系统标准结构图,二阶系统的单位阶跃响应,现以典型的单位反馈系统来分析二阶系统的单位阶跃响应。系统的响应取决于系统闭环特征方程式的根，即闭环极点。二阶系统的特征方程式为,它的两个根(极点)为,由于阻尼比值,来分析二阶系统的瞬态响应,的不同，对应的响应也不一样。下面分几种情况,(1).过阻尼(,1)的情况。,(2)欠阻尼(0,1)的情况,(3)临界阻尼(,=1)的情况,(4)无阻尼(,=0)时的情况,(1).过阻尼(,1)的情况。,系统的两个特征根为,图3-3-4,1时根分布,由于阻尼比大于1，所以,实轴上如图3-3-4所示。,均位于s平面的左侧，并且均在,对单位阶跃输入,，系统输出的拉氏变换为,展成部分分式：,式中各系数按下式求出：,求Y(s)的拉氏反变换，可得,(3-3-6),由式(3-3-6)可以看出，瞬态响应曲线由稳态分量和两项瞬态分量组成。两项瞬态分量，一项的衰,减指数为,，另一项为,，当,l时，后一项的衰减指数远远大,也就是说，在瞬态过程中后一分量衰减得快。,于前一项。,因此后一项瞬态分量只是在响应的前期对系统有影响，而在后期影响很小。所以近似分析过阻尼的瞬态响应时，可以将后一项忽略不计。这样二阶系统的瞬态响应就类似于一阶系统的响应。,(2)欠阻尼(0,1)的情况,特征方程的根为,由于0 1，s1与s2为一对共轭复根如图3-3-5所示。,图3-3-5 0,1时根的分布,输出量的拉氏变换为,由于,将Y(s)变换成如下形式，求其原函数，即,反变换为,由图3-3-5，可知,则,（3-3-6）,式中,，称为阻尼振荡角频率或振荡角频率；,由式(3-3-6)可以看出，在(0 1)的情况下，二阶系统的瞬态响应的瞬态分量为一按指数衰减的简谐振荡时间函数，阻尼比越小，最大振幅越大。以为参变量的系统瞬态响应曲线如图3-3-6所示。,图3-3-6二阶系统的单位阶跃响应,图3-3-7,=1时根的分布,(3)临界阻尼(=1)的情况,特征方程：,系统有两个负实重根：s1=s2=-,，如图3-3-7所示,系统输出的拉氏变换为,将上式分解为部分分式,式中各代定系数按下式求出：,因此,上式的拉氏反变换为,故，当,=1时，二阶系统的瞬态响应为一单调上升曲线，如图3-3-6所示。,(3-3-7),(4)无阻尼(=0)时的情况,输出量的拉氏变换为,特征方程的根为,将Y(s)展成部分分式：,因此Y(s)的拉氏反变换为,图3-3-8,当=0时，系统为不衰减的振荡，其瞬态响应曲线如图3-3-6所示。,综上分析可以看出，阻尼比不同时，二阶系统的瞬态响应有很大差别，当=0时，系统等幅振荡，不能正常工作，而在 1时，系统瞬态响应为非周期过渡，响应速度又太慢。在欠阻尼0 1中，对应=0.40.8时，响应过程，不仅过渡过程时间较短，而且振荡也不严重。因此，一般选择二阶系统工作在=0.40.8的欠阻尼工作状态,3.3.2 二阶系统的瞬态响应性能指标,(1)上升时间,(2)峰值时间,(3)超调量,(4)调节时间t,(5)振荡次数,(1)上升时间,在瞬态过程中第一次到达稳态值的时问称为上升时间。依据这个定义，令,则由式(3-3-6)可得,由于，在,期间，也就是在没有达至稳态之前，,，所以,，由此可得,，当,时，,为负值，因此，上升时间应满足,故,(3-3-9),由式(3-3-9)可以看,和,。对上升时间的影响。当,一定时，阻尼比越大，,则上升时间越长；当,一定时，,越大。则上升时间越短。,(2)峰值时间,依据峰值时间,的定义，将式(3-3-6)对时间求导，并令其等于零，即,得,由于,可得,所以,故到达第一个峰值应满足,，则,（3-3-10）,由式(3-3-10)可以看出，当,一定时，,与,。成反比，即是说,越大、峰值时间越小。当,一定时，,随,减小而减小。,(3)超调量,最大超调量发生在t=,的时刻。依据超调量的定义：,对于单位阶跃响应，其稳态分量Y()=1，代人上式可得,因为,所以,（3-3-11）,从式(3-3-11)可知，超调量只是阻尼比,的函数。而与无阻尼自然频率,无关。因此，当给定标准二阶系统阻尼比,时，就可求得相应的,超调量,，反之亦然。一般选取,=0.40.8时，,相应的,超调量,=252.5。当,=0.707时，称为二阶工程最佳参数，,相应超调量为4.3。,(4)调节时间t,依据调节时间定义：当tt,时，有,允许误差y(t)，一般取0.05或0.02，可得,为了简单起见，采用近似计算，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到O.05或0.02时过渡过程即进行完毕。故上式可写成,由此可得调节时间t,为,(3-3-12a),(3-3-12b),如果考虑正弦项时，,与,之间的函数关系复杂，只能用计算机计算求取,=f(,)关系。实际工程中，一般都采用近似计算方法进行估算.由上述分析可知，调节时间,近似与,成反比。在设计工程系统时，,通常由要求的超调量,来确定，所以,主要根据,来确定。也就是说在不改变系统超调量的情况下，可以通过改变系统的,，来改变调节时间,。,(5)振荡次数,振荡次数是指在0t,时间区间内，y(t)波动的次数，根据这一定义可得振荡次数为,式中,系统阻尼震荡周期,例3-3-1 设单位反馈系统的开环传递函数为，试求系统的性能指标峰值时间，超调量和调节时间。,解：根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式 相比较可得 即=1,=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。故，单位阶跃响应的性能指标为,例3-3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为，若T=0.1秒，试求开环放大系数K=10/s和K=20/s时：(1)阻尼比 及无阻尼自然振荡角频率。(2)单位阶跃响应的超调量 和调节时间。,解:题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的练习题，通过该练习题数值计算，加深理解开环放大系数K值的改变，对系统参数,及性能指标的影响。,(1)系统闭环传递函数为,与二阶系统传递函数标准形式 相比较，可得 或 当K=10/s时,=10（弧度秒）,=0.5K=20/s时，=14.14（弧度秒）,=0.354(2)当 K=10/s时，=16.3%,=0.362(秒),(秒)K=20/s时，=30.4%,=0.237(秒),(秒)由此可见，开环放大系数增大，使减小，增大，超调量增大，峰值时间减小，调节时间基本不变。,3.4 代数稳定判据,线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式所有的根（或极点）全部为具有负实部，也就是所有的根均分布在平面虚轴的左面。劳斯判据，首先将系统的特征方程式写成标准形式，并检查各项符号是否相同和缺相。若符号不同，或者缺相系统不稳定。如果符号相同又不缺相，这是系统稳定的必要条件，但系统是否稳定，需要列劳斯表判断。,2.劳斯稳定判据,特征方程式写成如下标准式：,把特征方程式的系数排列成如下形式的劳斯表：,第一行与第二行的系数向右展开，分别别到为止。第三行以后的各系数，分别根据前两行系数求得，这些行称为导出行或计算行。,系数,的计算，一直进行到其余的,值全部等于零为止。,依此类推一直计算到,为止。在计算过程中，为了简化数值运算，可以用正整数去除或乘某一行的各项，并不改变稳定性的结论。列出劳斯表后，就可以分成以下三种情况阐述劳斯稳定判据：（1）第一行所有系数均不为零时，劳斯稳定判据如下，如果劳斯表中第一行各系数均为正数，则系统稳定。如果第一列有负数，则第一列数符号改变的次数等于特征根中具有正实部根的个数。系统不稳定。,（2）某一行的系数为零，其余不为零，或部分为零。当出现这种情况时，可用一无穷小量,代替该零相，然后按照通常方法计算劳斯表中其余各项。如果零,上面的 系数符号与零,下面的系数符号相反，表明有两次符号改变。,（3）某行所有项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行（k行）所有系数均为零，这往往表明系统是不稳定 的。因为造成这一情况的原因是由于特征根对称于s平面的原点，如。为了写出下面各行，可按下述步骤处理：利用(k-1)行的各项为系数构成辅助方程式，式中s各项均为偶次。将辅助方程式对s求导，用求导得到的各项系数来代替原来（k行）为零的各项，然后继续计算。特征方程式对称原点的根，可由方程式等于零求得。,例3-4-1 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性。,解：特征方程符号相同，又不缺相，故满足稳定的必要条件。劳斯判别。,由于第一列各系数均为正数，故系统稳定。也可以将特征方程式因式分解为,根,均有负实部，系统稳定。,例3-4-2 设系统特征方程式为试判别系统的稳定性。,列劳斯表,第一列符号改变两次，因此该系统有两个正实部根系统不稳定。,当出现这种情况时，可用一无穷小量,代替该零相，然后按照通常方法计算劳斯表中其余各项。如果零,上面的系 数符号与零,下面的系数符号相反，表明有两次符号改变。,例如，特征方程式：,劳斯表,第一列各项系数，当,趋近于零时，,的值是一个很大的负值，因此可认为第一列中各项系数值符号改变了两次，该系统具有两个正实部根，系统不稳定。,如果零上面的符号和下面的符号相同，则说明存在一对虚根。,例如：,列劳斯表,将特征方程式因式分解为,根为,所以：系统等幅振荡，所以系统也不是渐近稳定。,例3-4-3 系统特征方程式为判断其稳定性,列劳斯表,由表的第一列可以看出，各项符号没有改变，说明在,右半部没由极点，但是由于,的各项都为零，这表明有共轭虚根，所以系统是等幅振荡的，虚根的值可由辅助方程求得：,或,解得,3.用劳斯判据确定系统参数的临界值,代数稳定判据除了可以用来判定系统是否稳定之外，还可以用来分析系数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。,例3-4-4 单位反馈系统的开环传递函数为,试求,的稳定范围。,解：系统的闭环特征方程：,列劳斯表,系统稳定的充分必要条件,得,所以保证系统稳定，,的取值范围为,。,3.5 稳态误差,3.5.1 稳态误差及误差系数,控制系统的典型结构如图3-5-1所示系统的稳态误差有两种定义方法。3-5-1 典型结构图输入端定义：,这个误差是可测量的，但是这个误差并不一定反映实际值与期望值的偏差。输出端定义：,系统输出量的实际值与期望值的偏差，用,表示。,对于非单位反馈系统两种方法定义的误差关系为,，证明如下：,由图3-5-1可知,等效结构图如图3-5-2所示,其中,表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的期望值，因而,是从输出端定义的 非单位控制系统的误差。,（3-5-1）,由前面分析可知，从系统输入端定义的系统误差,，可以直接地或间接地表示从系统输出端定义的系统误差,。以后的叙述中，均采用从系统输入端定义的误差进行分析和计算。如果有必要计算输出端的误差，则可利上式进行换算。依据输入端误差定义方法，可得误差传递函数为,式中，Gk(s)=G(s).H(s)开环传递函数。,误差的拉氏变换为应用终值定理可求稳态误差为（3-5-2）由此可知，系统的开环传递函数Gk(s)和输入量X(s),这两个因素决定稳态误差。下面讨论这两个因素对稳态误差的影响。为了便于讨论，可按开环传递函数Gk(s)中所串联的积分环节的数目对系统进行分类。系统的开环传递函数经过整理一般可表示为：（3-5-3）式中 N开环传递函数中串联积分环节的个数，或称无差度数。N=0时的系统，称为0型系统，又称为有差系统；N=1时的系统，称为1型系统，又称为一阶无差系统；N=2时的系统，称为2型系统，又称为二阶无差系统；依此类推。N愈高，系统稳态精度越高，但系统的稳态性越差。一般所采用的是0型、1型和2型系统。,下面讨论不同型别的系统，在不同输入信号形式作用下的稳态误差。,单位阶跃函数输入。X(s)=,稳态误差为,令,称为位置误差系数，则,对于0型系统，N=0。位置误差系数：,因此0型系统的稳态误差：,0型系统的位置误差由开环放大系数决定，K越大，,越小。对于1型或2型系统，N=1或N=2，位置误差系数为,因此位置误差为,由此可知，对于单位阶跃输入，1型以上各型系统的稳态误差均为零。,（2）、单位斜坡函数输入。,因此稳态误差为,令,，,称为速度误差系数，则,对于0型系统，N=0速度误差数为,则,对于1型系统,=K；,对于2型系统,；,。,(3)单位抛物线（加速度）函数输入 因此稳态误差为 令，称为加速度误差系数，则 对于0型和1型系统对于2型系统 由此可知，0型和1型系统都不能跟踪加速度输入，只有2型系统，可以跟踪加速度输入，但是有稳态误差。现将各型系统在不同输入情况下的误差下的误差系数和稳态误差列于表3-5-1中。输入输出特性线如图3-5-3所示。,表3-5-1 不同输入不同类型系统的稳态误差,例3-5-1 已知开环传递函数分别为 和 的两个系统，试求它们的静态误差系数和动态误差系数以及输入为 时的稳态误差（其中 均为正常数）。解：（1）两个系统均为1型系统，其稳态误差系数为,例3-5-2 单位反馈控制系统的开环传递函数为，试求在输入信号为作用时的稳态误差。,解：题意分析该题是求稳态误差的基本题目，可采用不同的方法求解。在这里需用系统的迭加原理，及系统的类型。,方法1：依据定义用终值定理求稳态误差,由题可知系统闭环传递函数为,输入信号的拉氏变换为,根据误差的定义，误差信号的拉氏变换为,由终值定理,方法2：用静态误差系数法,由于系统是型系统，因此根据迭加原理,当,时,当,时,故,3.5.2 扰动稳态误差,控制系统除了输入信号作用外，还经常受各种扰动作用，如负载的波动；电源电压和频率的波动；环境变化而引起的元件参数变化等，均属于对系统扰动或干扰。在这些扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差称为扰动稳态误差，扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰的能力。一般希望扰动误差越小越好。在理想情况下，系统对于任意形式的扰动作用其稳态误差总应为零。,设扰动量为,如图3-5-4所示。,当输入量为零时，扰动量输出的拉氏变换为,式中 扰动误差传递函数。,由于在有扰动时希望输出值应为零，系统误差依据定义应是希望输出与实际输出之差。因此误差信号的拉氏变换应为,根据拉氏变换的终值定理，可求出扰动作用下的稳态误差为,当 时，,(3-5-4),(3-5-5),例3-5-3 设控制系统如图3-5-4所示，其中,输入信号，扰动信号，试计算该系统的稳态误差。,解：令,输入信号为单位斜坡信号：,令，得在扰动作用下的误差传递函数：,扰动作用的拉氏变换为,所以,根据线性迭加原理：,本例，应取,3.5.3 减小稳态误差的方法,在控制系统设计和实现时，都要根据实际工作需要对系统提出稳态误差的要求，如何保证系统的稳态误差不超过要求值，可采用以下几种方法减小稳态误差。1.增大系统的开环放大系数。提高系统对参考输入的跟踪能力，增大扰动作用点以前的前向通道的放大系数以降低扰动引起的稳态误差。增大开环放大系数是一种简单有效的办法，但是放大系数的增加将会降低系统的稳定性，故增大放大系数受稳定性的限制。2.增加积分环节，提高无差度，从而可以消除不同输入信号量的稳态误差，但是当积分环的个数超过2时，要使系统稳定就非常困难。所以实际的工作系统串联积分环节数不能超过2。3.除上述方法外，可以采用补偿的方法。补偿是指作用于被控对象上的控制精度，减小误差。这种控制称为复合控制或前馈补偿控制。,（1）输入作用的复合控制图3-5-5 所示的控制系统中，输入信号X(s)通过补偿装置Gc(s)对系统进行开环控制。引入补偿信号Xb(s)与偏差信号E(s)一起，对被控对象进行复合控制。等效结构图3-5-6所示。,系统的闭环传递函数为,系统的误差传递函数为,图3-5-5复合控制系统的结构图,图3-5-6复合控制系统的等效结构图,则误差信号的拉氏变换为,（3-5-7）,如果选择补偿装置的传递函数为,（3-5-8）,则系统补偿后误差为,E(s)=0,闭环传递函数为,即Y(s)=X(s),这时系统的误差为零，输出量完全复现输入量。这种将误差完全补偿的作用称为全补偿。式（3-5-8）称为按输入作用的不变性条件,（2）扰动作用的复合控制,图3-5-7是按外部扰动补偿的复合控制系统。该系统由扰动引起的误差就是输入量为零时系统输出量。等效结构图如图3-5-8所示。,图3-5-7按扰动补偿的复合控制,图3-5-8按扰动补偿的复合控制等效结构图,系统输出的拉氏变换为,（3-5-9）,如果选取：,（3-5-10）,则得 Y(s)=0,这就是对外部扰动作用的全补偿。式（3-5-10）称为按扰动的完全不变性条件，在实际工程中，实现完全不变性条件是困难的。但是，即使能实现部分补偿也可以取得显著效果。,例3-5-4 已知单位反馈二阶系统，补偿前的开环传递为,（1）未加补偿时，当x(t)=t时系统的稳态误差；（2）加入如图3-5-9所示补偿时，且x(t)=t时系统的稳态误差，并分析其稳定性；,图3-5-9 补偿后的结构图,（1）补偿前的稳态误差闭环传递函数为,误差传递函数为,当输入信号x(t)=t时，X(s)=,，稳态误差为,系统将产生速度稳态误差，其大小决定于开环增益K值的大小。,（2）补偿后的稳态误差为了补偿速度误差，引进输入信号的微分信号，如3-5-9所示。闭环传递函数为,误差传递函数为,当选 时，误差传递函数为,误差的拉氏变换为,在输入信号为斜坡函数的情况下，X(s)=,系统的稳态误差为,由此可见，在引入补偿(也称为前馈控制)后，可使系统的速度误差为零。将原来的1型系统提高为2型系统。此时等效单位反馈系统的开环传递函数：,由,可得,由前面的分析可知，引入前馈控制装置不影响系统的稳定性。因为这两个系统的特征方程式相同。最后再一次指出，引入适当的前馈控制装置，可以提高系统稳态精度，但不改变系统的稳定性。,3.6 用MATLAB解决时域分析的问题,3.6.1 时域响应曲线的绘制,二阶系统性能指标的计算,3.6.3 代数幻灯片 11稳定判据MATLAB的实现,稳态误差的计算,3.6.1 时域响应曲线的绘制,1.单位阶跃响应的函数step()调用格式：step(sys)step(sys,t)y,t,x=step(sys)step(sys,t)函数用于计算系统的阶跃响应，函数中t可以指定为一个仿真终止时间，此时t为一标量；也可以设置为一个时间向量(如用t=0：dt：Tfinal命令).若是离散系统，时间间隔dt必须与采样周期匹配。函数中t也可以没有。y,t,xstep(sys)函数为带有输出变量引用的函数;可计算系统阶跃响应的输出数据，而不绘制出曲线。输出变量y是系统的输出响应值向量；输出变量t为取积分值的时间向量；输出变量x是系统的状态轨迹数据。2.单位冲激响应函数impulse()impulse(sys)impulse(sys,t)y,t,x=impulse(sys),例3-6-1已知单位负反馈系统前向通道的传递函数为,解：sys=tf(8,1 2 0);closys=feedback(sys,1);step(closys)impulse(closys)运行程序可得系统的单位阶跃给定响应曲线与单位冲激响应曲线略。,试作出其单位阶跃响应曲线。,例3-6-2 用MATLAB仿真函数命令绘制一阶系统,的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线、单位斜坡响应曲线与等加速度响应等曲线。,解：(1)运行以下语句可得一阶系统的单位阶跃响应：ys=tf(0 1,1 1);step(ys)程序运行后得到如图3-6-1所示的单位阶跃响应曲线。(2)运行以下语句可得一阶系统的单位脉冲响应：sys=tf(0 1,1 1);impulse(sys),程序运行后得到如图3-6-2所示的单位脉冲响应曲线。(3)运行以下语句可得一阶系统的单位斜坡响应：sys=tf(0 1,1 1 0);step(sys)程序运行后得到如图3-6-3所示的单位斜坡响应曲线。(4)运行以下语句可得一阶系统的等加速度响应：sys=tf(0 1,1 1 0 0);step(sys)程序运行后得到如图3-6-4所示的等加速度响应曲线.,图3-6-1 一阶系统的单位阶跃响应,图3-6-2单位脉冲响应曲线,图3-6-3 单位斜坡响应曲线,图3-6-4 等加速度响应曲线,例3-6-3典型二阶系统如下所示：,试绘制出当,分别为0.1、0.2、,、1.0、2.0时系统的单位阶跃响应。,解:编写MATLAB程序如下：wn=6;kosi=0.1:0.1:1.0,2.0;figure(1)hold onfor kos=kosinum=wn.2;den=1,2*kos*wn,wn.2;step(num,den)endtitle(Step Response)hold off,执行后可得如图3-6-5所示的单位阶跃响应曲线。,图3-6-5 单位阶跃响应曲线,二阶系统性能指标的计算,在这里，我们自定义一个MATLAB函数perf()，用于求系统单位阶跃响应的性能指标：超调量、峰值时间和调节时间。在今后的设计中，我们可以直接调用该函数，从而方便快捷地得到系统的性能指标。该函数M文件原程序参见附录2,例3-6-4设控制系统的开环传递函数为：,试绘制出该闭环系统的单位阶跃响应曲线，并用函数perf()分别计算系统的性能指标。,解:(1)执行以下程序,clears1=tf(1.25,1 1 0);sys=feedback(sl,1);step(sys)程序执行后绘制出该,解:(1)执行以下程序,3-6-6 三条单位阶跃响应曲线,闭环系统的单位阶跃响应曲线。,(2)采用函数peft()计算性能指标：global y ts1=tf(1.25,1 1 0);sys=feedback(s1,1);y,t=step(sys);perf(2,y,t);程序执行结果为：,sigma=0.2091tp=3.0920ts=4.9693,例3-6-5已知一个单位负反馈系统为：,试绘制该系统当k分别为14，2.3，3.5时的单位阶跃给定响应曲线(绘制在同一张图上)，并计算当k=14时系统的单位阶跃给定响应性能指标。,解：(1)程序文件方式下执行以下程序,clearnum=1;den=0.5 1.5 1 0;rangek=1.4 2.3 3.5;t=linspace(0,20,200);for j=1:3sl=tf(num*rangek(j),den);sys=feedback(sl,1);y(:,j)=step(sys,t);endplot(t,y(:,1:3),gridgtext(k=1.4),gtext(k=2.3),gtext(k=3.5),这是带鼠标操作的程序，必须采用程序文件执行方式。其操作方法是：在MATLAB命令窗口里回车后，曲线区域有纵横两条坐标线，其交点随鼠标而移动。将交点指在相应曲线附近，3次单击左键分别将“k=1.4”、“k=2.25”、“k=3.5”标注在曲线旁.执行程序后，得到如图3-6-6所示标注有其对应参数的三条单位阶跃响应曲线。由曲线可以看出，当k=1.4时，阶跃响应衰减振荡，系统稳定；当k=2.25时，响应等幅振荡，系统临界稳定；当k=3.5时，响应振荡发散，系统不稳定。,(2)执行以下程序,clearglobal y t sysn1=1.4;d1=0.5 1.5 1 0;s1=tf(n1,d1);sys=feedback(s1,1);step(sys);y,t=step(sys);perf(2,y,t),执行程序后，计算出阶跃给定响应的指标如下：,sigma=0.5303tp=3.5126ts=16.9776ans=0.5303,3.6.3 代数稳定判据MATLAB的实现,求解控制系统闭环特征方程的根，用函数roots(p)来实现，格式如下：roots(p)p是降幂排列多项式系数向量,例3-6-6己知系统的开环传递函数为：,试对系统闭环判别其稳定性。,解：k=100;z=-2;p=0,-1,-20;nl,d1=zp2tf(z,p,k);G=tf(nl,d1);P=nl+d1;roots(P)ans=-12.8990-5.0000-3.1010,闭环特征方程的根的实部均具有负值，所以闭环系统是稳定的。,例3-6-7已知系统闭环传递函数为：,试对系统闭环判别其稳定性。,解：p=0.001 0.502 6 200;roots(p)ans=1.0e+002*-4.9060-0.0570+0.1937i-0.0570-0.1937i,例3-6-8 已知系统的动态结构图模型如图3-6-7所示,试对系统闭环判别其稳定性。,nl=10;d1=1 1 0;s1=tf(nl,d1);n2=0 2 0;d2=0 0 1;s2=tf(n2,d2);s12=feedback(s1,s2);n3=0 1 1;d3=0 1 0;s3=tf(n3,d3);sysl=s12*s3;sys=feedback(sysl,1);roots(sys.den1)图3-6-7系统结构图模型ans=-20.5368-0.2316+0.6582i-0.2316-0.6582i,解:,图3-6-7系统结构图模型,稳态误差的计算,例3-6-8两个单位负反馈系统的闭环传递函数分别为,试求两系统的稳态位置、速度,与加速度误差系数,解:(1)系统a的计算对系统a判稳p=1 2 3 7;roots(p)ans=-2.1325 0.0662+1.8106i 0.0662-1.8106i,根据代数稳定判据，有一对共轭复根的实部是正的，那么系统a是不稳定的，故不能定义稳态误差系数。,(2)系统b的计算。对系统b判稳。P=5 5 6;roots(P)ans=-0.5000+0.9747i-0.5000-0.9747i 计算系统b的稳态位置、速度与加速度误差系数。clearsyms s phib Gk kp kv ka;phib=5/(5*s2+5*s+6);Gk=solve(5/(5*s2+5*s+6)=Gk/(1+Gk),Gk);kp=limit(Gk,s,0,right)kv=limit(s*Gk,s,0,right)ka=limit(s2*Gk,s,0,right)执行结果如下：kp=5kv=0 ka=0,例3-6-9已知系统结构图如图3-6-8所示。试求局部反馈加入前后系统的静态位置、速度与加速度误差系数,解:(1)局部反馈加入前。求系统的传递函数。syms s G1 G2 H2 G phi1 phi;G1=(2*s+1)/s;G2=10/(s*(s+1);H2=0;phi1=G2/(1+G2*H2);G=factor(G1*phi1)phi=factor(G/(1+G)执行结果如下G=10*(2*s+1)/s2/(s+1)phi=10*(2*s+1)/(s3+s2+20*s+10),对系统判稳P=1 1 20 10;roots(P)图3-6-8系统结构图ans=-0.2468+4.4372i-0.2468-4.4372i-0.5063,图3-6-8系统结构图,计算系统的稳态位置、速度与加速度误差系数。syms s G Kp Kv Ka;G=10*(2*s+1)/s2/(s+1);Kp=limit(G,s,0,right)Kv=limit(s*G,s,0,right)Ka=limit(s2*G,s,0,right)执行结果如下Kp=InfKv=InfKa=10 说明 求极限的语句中，必须指明是right即从右趋向于0，否则计算出错。,(2)局部反馈加入后 求系统的传递函数。syms s G1 G2 H2 G phi1 phi;G1=(2*s+1)/s;G2=10/(s*(s+1);H2=2;phi1=G2/(1+G2*H2);G=factor(G1*phi1)phi=factor(G/(1+G)执行结果如下G=10/s*(2*s+1)/(s2+s+20)phi=10*(2*s+1)/(s3+s2+40*s+10),对系统判稳。P=1 1 40 10;roots(P)ans=-0.3744+6.2985i-0.3744-6.2985i-0.2512 计算系统的稳态位置、速度与加速度误差系数。syms s G Kp Kv Ka;G=10/s*(2*s+1)/(s2+s+20);Kp=limit(G,s,0,right)Kv=limit(s*G,s,0,right)Ka=limit(s2*G,s,0,right)执行结果如下Kp=InfKv=1/2Ka=0,例3-6-10已知r(t)=1(t)，,且指定e(t)=r(t)-c(t)。,试求如图3-6