截面惯性矩(材料力学).ppt

4.构件的强度计算,4.1截面的几何特征,-4的平行移轴公式,-2 惯性矩和惯性半径,-3 惯性积,-2 惯性矩和惯性半径,-3 惯性积,-2 惯性矩和惯性半径,dz,定义 S y=A z dA Sz=A y dA,例：矩形截面，面积为A。求：S y、Sz、SzC,解：,(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。,1、静面矩（也叫面积矩简称静矩）,-1 静矩和形心,1）同一截面对不同轴的静 矩不同；,2）静矩可为正，负值或零；,3）静矩的单位为m3;,1）同一截面对不同轴的静 矩不同；,2）静矩可为正，负值或零；,1）同一截面对不同轴的静 矩不同；,3）静矩的单位为m3;,2）静矩可为正，负值或零；,1）同一截面对不同轴的静 矩不同；,1）形心公式：,2、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。),等于形心坐标,3.结论,当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形的形心。,2.形心公式,3.组合图形的形心和面积矩,1）组合图形,由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的图形。,2）组合图形面积矩及形心的计算公式,等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即,例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩,选坐标轴z1作为参考轴,方法3）负面积法 Sz=(120 100 60)-2(100 40 50)=32 10mm3,1.求形心,Sz(50+30)2(100 20)32 10mm3,方法2）不求形心 Sz=AiyCi20 100 110 20 100 5032 10mm3,知A=A1+A2 yC60yC0,、求静矩,方法1）,I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩,1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力）,它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为,注意：,1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；,2）惯性矩永远为正值；,3）惯性矩的单位为m4;,3、极惯性矩：,它是图形面积对极点的二次矩。,2、惯性半径(单位为m),表达式为,图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它对此二轴交点的极惯性矩,例求圆形截面对形心轴的惯性矩。,解：,I-3 惯性积,1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。,I-3 惯性积,2.表达式：,3.说明：,1）同一图形对不同轴的惯性积不同；,2）惯性积可正，可负，可为零。,3）惯性积的单位：m4,4.结论：,当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。,返,1.平行移轴定理：,以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图,-4平行移轴公式,r,-4平行移轴公式,2.结论：,B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有,A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。,例 组合截面惯性矩的计算,求截面对ZC轴的惯性矩。,返回,解：1）写出A1，A2及其形心坐标a1；a2,2)求出A1和A2分别对自身形心 轴的惯性矩,3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩,I-5转轴公式及主惯性矩(简介),1.转轴公式:,当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴公式给出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系.,2)主惯性矩:相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩.,2.三个公式:设新坐标系由原坐标系逆转角而得,且有,3.主轴及主惯性矩:,1)主轴:图形若对坐标轴的惯矩为零时,这对坐标轴就称为主轴.且当主轴为形心轴时,就称为形心主轴.用0来表示主轴的方向.,杆件的拉压变形及强度计算,目录,一、概述二、杆件的轴向拉压变形分析三、材料在拉伸和压缩时的力学性质四、拉（压）杆的强度计算,杆件的拉压变形及强度计算,古代建筑结构,建于唐末（857年）的山西五台山佛光寺东大殿,一、概述,古代建筑结构,建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔,塔高9层共67.31米，用木材7400吨,900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔,古代建筑结构,2200年以前建造的都江堰安澜索桥,古代建筑结构,建于隋代（605年）的河北赵州桥,桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨,桥梁结构,二,航空航天,强 度：即抵抗破坏的能力,刚 度：即抵抗变形的能力,稳定性：即保持原有平衡状态的能力,构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。,构件的承载能力,四川彩虹桥坍塌,美国纽约马尔克大桥坍塌,拉压变形,拉（压）、剪切、扭转、弯曲,剪切变形,杆件的基本变形：,扭转变形,弯曲变形,二、杆件的轴向拉压变形分析,一、轴向拉伸和压缩的概念,特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。,杆的受力简图为,1、轴力：横截面上的内力2、截面法求轴力,切:假想沿m-m横截面将杆切开留:留下左半段或右半段代:将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替平:对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值,二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力,3、轴力正负号：拉为正、压为负4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化,由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。,轴力和轴力图,已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,例题3-1,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,三、应力概念、拉（压）杆横截面上的应力,杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。,横截面上的应力,横截面上的应力,横截面上的应力,该式为横截面上的正应力计算公式。正应力和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。,根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力计算公式为：,拉(压)杆横截面上的应力,=,MPa,FN 表示横截面轴力（N）A 表示横截面面积（mm2）,F,F,m,m,n,n,F,FN,横截面上的应力,截面上的应力,例题3-2,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,截面上的应力,2、计算各杆件的应力。,三、材料在拉伸和压缩时的力学性质 教学目标：1.拉伸、压缩试验简介；2.应力-应变曲线分析；3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质；4.试件的伸长率、断面收缩率计算。教学重点：1.应力-应变曲线分析；2.材料拉、压时的力学性质。教学难点：应力-应变曲线分析。小 结:塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。作 业:复习教材相关内容。,1、材料拉伸时的试件,力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能,试件和实验条件,常温、静载,2-4,2、材料拉伸时的设备,3、材料拉伸时的应力应变曲线,低碳钢的拉伸,明显的四个阶段,1、弹性阶段ob,比例极限,弹性极限,2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）,屈服极限,3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）,强度极限,4、局部径缩阶段ef,材料拉伸时的两个塑性指标,两个塑性指标:,断后伸长率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,4.卸载定律及冷作硬化,卸载定律及冷作硬化,1、弹性范围内卸载、再加载,2、过弹性范围卸载、再加载,即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。,材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。,5、其他材料拉伸时的力学性质,其它材料拉伸时的力学性质,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限p0.2来表示。,6、铸铁材料拉伸时的力学性质,对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。,bt拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。,7、材料压缩时的力学性质,试件和实验条件,常温、静载,2-5,8、塑性材料压缩时的力学性质,塑性材料（低碳钢）的压缩,屈服极限,比例极限,弹性极限,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。,E-弹性摸量,9、脆性材料压缩时的力学性质,脆性材料（铸铁）的压缩,脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同,压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限,四、拉（压）杆的强度计算教学目标：1.许用应力和安全系数；2.拉、压杆的强度条件；3.拉、压杆的变形计算。教学重点：1.拉、压杆的强度校核；2.杆件截面尺寸设计。教学难点：拉、压杆的变形量计算。小 结:杆件强度校核及尺寸设计。,许用应力和安全系数,极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形是塑性材料破坏的标志。屈服点 为塑性材料的极限应力。断裂是脆性材料破坏的标志。因此把抗拉强度 和抗压强度，作为脆性材料的极限应力。,许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。,塑性材料：,=,脆性材料：,=,n s、n b是安全系数:n s=1.2 2.5n b 2.03.5,1.许用应力和安全系数,五、拉（压）杆的强度计算,2、拉压杆的强度条件,根据强度条件，可以解决三类强度计算问题,1、强度校核：,2、设计截面：,3、确定许可载荷：,拉压杆的强度条件,例题3-3,解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。,由于结构几何和受力的对称性，两斜杆的轴力相等，根据平衡方程,得,2、强度校核 由于斜杆由两个矩形杆构成，故A=2bh，工作应力为,斜杆强度足够,拉压杆的强度条件,例题3-4,D=350mm，p=1MPa。螺栓=40MPa，求直径。,每个螺栓承受轴力为总压力的1/6,解：油缸盖受到的力,根据强度条件,即螺栓的轴力为,螺栓的直径为,拉压杆的强度条件,例题3-5,AC为50505的等边角钢，AB为10号槽钢，=120MPa。求F。,解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象,2、根据斜杆的强度，求许可载荷,查表得斜杆AC的面积为A1=24.8cm2,拉压杆的强度条件,3、根据水平杆的强度，求许可载荷,查表得水平杆AB的面积为A2=212.74cm2,4、许可载荷,六、拉压杆的变形 虎克定律,一 纵向变形,二 横向变形,钢材的E约为200GPa，约为0.250.33,E为弹性摸量,EA为抗拉刚度,泊松比,横向应变,拉压杆的变形 虎克定律,拉压杆的变形 虎克定律,拉(压)杆的变形,1.绝对变形:,规定：L等直杆的原长 d横向尺寸 L1拉(压)后纵向长度 d1拉(压)后横向尺寸,轴向变形：,横向变形：,拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。,轴向变形和横向变形统称为绝对变形。,拉(压)杆的变形,2.相对变形：,单位长度的变形量。,-,和 都是无量纲量，又称为线应变，其中 称为轴向线应变，称为横向线应变。,3.横向变形系数：,/,虎克定律：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力FN 成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律。引入比例常数E，其公式为:,E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是GPa FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。,由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E 值越大，就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。,或,例题3-6：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴力图。若杆件较细段横截面面积，较粗段，材料的弹性模量，求杆件的总变形。,L,L,10KN,40KN,30KN,A,B,C,解：分别在AB、BC段任取截面，如图示，则：,FN1=10KN,10KN,FN1,10KN,1=FN1/A1=50 MPa,30KN,FN2,FN2=-30KN,2=FN2/A2=100 MPa,轴力图如图：,x,FN,10KN,30KN,由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律：,可得：,AB,10KN X 100mm,200GPa X 200 mm,2,=,=0.025mm,BC,-30KN X 100mm,200GPa X 300 mm,2,=,=-0.050mm,=-0.025mm,例题3-7,AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。,解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象,2、根据胡克定律计算杆的变形。,拉压杆的变形 胡克定律,斜杆伸长,水平杆缩短,七、应力集中的概念,常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即,称为理论应力集中因数,1、形状尺寸的影响：尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。,2、材料的影响：,应力集中对塑性材料的影响不大；,应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。,谢谢！,