线性代数电子教案.ppt

线性代数电子教案,学习线性代数的具体要求、重点和难点,1、行列式,(1)掌握n阶行列式的概念；(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。,重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字母行列式的计算。,2、矩 阵,(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质；(2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；(3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；(4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理论与方法。,重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,3、n维向量及其线性相关性,学习线性代数的具体要求、重点和难点,（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关向量组和向量组的秩；（2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的概念，掌握内积的概念。,重点是利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。,4、线性方程组,(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消去法；(2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；,重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法及有解判定法。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,4、对称矩阵与二次型,(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；(2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义；(5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法；(6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角化的条件。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。难点是惯性定理及正交法。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,线性代数的学习方法,1、攻克“抽象化”堡垒2、占领“一般性”阵地3、增强论证能力4、掌握全局和局部的关系,第一章 行 列 式,1.1行列式及其性质,1.3克莱姆法则,1.2行列式的计算,教学目的:,重 点:,难 点：,学时数：,通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的概念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解 线性方程组.,行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。,高阶行列式及字母行列式的计算。,4-6学时,第一章 行 列 式,一、2、3阶行列式的定义：,引进符号：,并称之为二阶行列式。其中,1.1 行列式及其性质,第一章 行 列 式,同理，符号：,称为三阶行列式。,第一章 行 列 式,二、2、3阶行列式与线性方程组的关系,设有两个未知数的线性方程组：,其变量的系数可以构成一个2阶行列式，称为该线性方程组的系数行列式，记为D,第一章 行 列 式,即：,又记：,利用消元法解(1.1)得：,第一章 行 列 式,三、n阶行列式的定义,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,证明：用数归纳法,（1）n=2时，显然成立,（2）设n=k-1时命题成立，现证n=k时，命题也成立。,其中Mi1是k-1阶行列式，则由归纳假设有：,*可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,代入（*）得：,第一章 行 列 式,四、行列式的性质,设,则,性质1：行列式转置后，其值不变。,性质1表明：行列式对行满足的性质对列同样满足，反之亦然。,第一章 行 列 式,性质 2：,推论：行列式D中有两行（列）的对应元素完全相同，则这个行列式的值为零。,互换一个行列式的两行（或两列），行列式的值变号。,第一章 行 列 式,推论 1：若行列式有一行（列）的元素全为零，则这个行列式的值为零。,性质 3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，可以提到行列式符号外。,推论 2：若行列式有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零。,第一章 行 列 式,性质4：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1项、第2项，其它位置的元素不变。,第一章 行 列 式,性质 5：若行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后，加到另一行（列）相应元素上，则该行列式的值不变。,第一章 行 列 式,性质6：行列式的值等于它任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和。,第一章 行 列 式,性质7：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子的乘积子和为零。,第一章 行 列 式,例1：计算下三角行列式,的值。,1.2 行列式的计算,一、应用举例,第一章 行 列 式,解：按第一行展开得：,第一章 行 列 式,例2：计算,的值。,第一章 行 列 式,解：第2行加上第1行的-1倍、第4行加上第3行的-1倍得：,第一章 行 列 式,例3：计算,的值,第一章 行 列 式,解：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,例4：计算,的值。,第一章 行 列 式,解：,第一章 行 列 式,例5：证明n阶行列式:,第一章 行 列 式,证:,等式左边第n列乘x加到第n-1列,(所得结果的)第n-1列乘x加到第n-2列,第2列乘x加到第1列得:,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,例6 证明范德蒙行列式(n2),第一章 行 列 式,证,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,n-1阶范德蒙行列式,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,例7：利用范德蒙行列式计算:,解：,第一章 行 列 式,原式=,第一章 行 列 式,例8：计算下列n阶行列式:,第一章 行 列 式,解:,从第二列起,以后各列加到第一列得:,原式=,第一章 行 列 式,例9 计算,解：,（加边法）,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,*二、拉普拉斯定理,1、行列式D的k阶子式M：,任选D中k行k列，位于其交叉点元素按原来顺序排列成的一个k阶行列式叫做D的一个k阶子式,记为M,第一章 行 列 式,3、M的代数余子式A：,在 N 之前冠以一个符号，符号由下式决定,其中,表示 M 在D中的行标和列标。,2、M的余子式N：,划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序排成的一个n-k阶行列式,记为N,第一章 行 列 式,如：,第一章 行 列 式,定理1（拉普拉斯定理）,在n阶行列式D中，任意取定k行(列)后，由这k行(列)元素所组成的一切k阶子式与它的代数余子式的乘积之和等于行列式D的值。,第一章 行 列 式,例1 计算,解：,按1，2行展开，不为零的二阶子式为,第一章 行 列 式,由拉普拉斯定理,第一章 行 列 式,*行列式乘法,Th1.3 设,第一章 行 列 式,则,第一章 行 列 式,1.3 克莱姆法则,设n个未知数、n个方程的线性方程组为：,第一章 行 列 式,记系数行列式为,另外记,第一章 行 列 式,证明：,分别用,乘方程组（I）的第1、第2、第n个方程，然后相加得：,第一章 行 列 式,据性质6，7有：,（j=1，2，,n）,因(I)的解必是(II)的解，而(II)仅有唯一解xj=Dj/D,将其唯一解代入(I)验证也是(I)的解。所以原方程有唯一解。,第一章 行 列 式,例 1：用克莱姆法则解下列线性方程组,解:方程组的系数行列式为,第一章 行 列 式,由克莱姆法则,第一章 行 列 式,例2：问线性方程组,其中 满足什么条件时，才可以用克莱姆法求解？并解之。,第一章 行 列 式,解：,第一章 行 列 式,才能用克莱姆法则求解，且：,第一章 行 列 式,则,第一章 行 列 式,第二章 矩 阵,2.1 矩阵的概念2.2 矩阵的运算2.3 逆方阵2.4 分块矩阵,第二章 矩 阵,教学目的：,通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的概念及一系列的运算，为以后各章打下坚实的基础。,教学重点：,矩阵概念及矩阵的初等变换。,难 点：,有关定理的证明（可不重点要求）,第二章 矩 阵,2.1 矩阵的概念,一、矩阵的定义,称为mn矩阵.,定义1 由 个数（i=1,2,m;j=1,2,n)所排成数表:,记为:,第二章 矩 阵,几种常见的特殊矩阵:,2.行矩阵（n维行向量），即m=1时：,1.零矩阵 0,第二章 矩 阵,3.列矩阵（m维列向量），即n=1时：,4.n阶方阵，即m=n时,第二章 矩 阵,5.对角矩阵(也是n阶方阵),特别地：,叫做单位矩阵，记为E,第二章 矩 阵,6.n阶数量矩阵kE,第二章 矩 阵,7.上三角矩阵,8.下三角矩阵,9.同型矩阵：指行数与列数相同的两个矩阵,第二章 矩 阵,2.2 矩阵的运算,矩阵的相等,设,若,则称A与B相等。记为 A=B,第二章 矩 阵,一、矩阵的线性运算,定义1,加法运算律：,1、矩阵的加法,第二章 矩 阵,负矩阵,矩阵的减法,第二章 矩 阵,2、数与矩阵的乘法（数乘法）,其运算律为：,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,二、矩阵的乘法,其中：,第二章 矩 阵,例2：设,求AB,第二章 矩 阵,解：,第二章 矩 阵,注意:,矩阵乘法与数的乘法的区别,1.矩阵乘法不满足交换律，,2.两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，,3.当,第二章 矩 阵,矩阵乘法运算律：,（右分配律）（左分配律）,第二章 矩 阵,则,其中:,证明:设,第二章 矩 阵,则,其中:,第二章 矩 阵,例3:证明对任意矩阵 Amn，有AE=A,EA=A,证明:设,，则,同理，设Emm,有EA=A,第二章 矩 阵,三、n阶方阵的幂余方阵的多项式,运算律:,注意:,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,四、矩阵的转置,定义5 设,则其转置定义为:,运算律:,定义6,第二章 矩 阵,证明：,第二章 矩 阵,五、方阵A的行列式,设,定义A的行列式为:,运算律:,第二章 矩 阵,解：,第二章 矩 阵,2.3 逆方阵,问题:当Y=AX成立时,在什么条件下可得到X,如何求出X?,一、逆矩阵的概念,定义1 设A为一n阶方阵，如果有n阶方阵B存在，使得:AB=BA=E 则称A可逆，并称B是A的逆方阵(简称A的逆)，记为,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,二、逆矩阵的个数是唯一的(约定记为A-1),定理1:若方阵A是可逆的,则有唯一的逆矩阵.,证明:设B,C均为A的逆矩阵，,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C,所以，A的逆是唯一的，记为A-1,第二章 矩 阵,三、A可逆的充要条件:,第二章 矩 阵,证明：（必要性）,|A|0,同理可证:,第二章 矩 阵,（充分性）,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,四、可逆矩阵的性质,1.若矩阵A可逆,且AB=E,则必有BA=E.反之亦然.,3.若A、B均可逆,则AB也可逆,且有:,注:若A,B均可逆,但A+B未必可逆!,第二章 矩 阵,例1:设,且AX=B,求出X。,解:,所以A可逆,第二章 矩 阵,又因为AX=B，两边同乘以A-1得:,而,第二章 矩 阵,例2:设矩阵B可逆,A与B同阶且满足:,证明:A和A+B均可逆.,证:,故A与A+B均可逆.,第二章 矩 阵,例3:若A与B均为n阶方阵,且E+AB可逆.则E+BA也 可逆,且,证明:,第二章 矩 阵,2.4 分块矩阵,分块矩阵:,以分块子阵为元素的矩阵.,分块矩阵的运算,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,3.分块矩阵的乘法,第二章 矩 阵,4.分块矩阵的转置,第二章 矩 阵,5.可逆分块矩阵的逆矩阵,第二章 矩 阵,分块对角阵的运算律,设n阶矩阵A，B都是分块对角阵:,其中:,是同阶矩阵，则:,第二章 矩 阵,第二章 矩 阵,若A可逆，则有:,第二章 矩 阵,解：,第二章 矩 阵,证明：,第三章 n维向量及其线性相关性,3.1 n维向量及其运算,3.2 向量的线性相关性,3.3 矩阵的秩与向量组的秩,3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵,3.5 向量空间,第三章 n维向量及其线性相关性,3.1 n维向量及其运算,一、n维向量的概念,定义1 n个实数组成的有序数组称为n维(实)向量.记为:,(n维行向量),或:,(n维列向量),第三章 n维向量及其线性相关性,二、n维向量的运算(可参看矩阵的运算),设,1.相等,2.加法,3.数乘,4.转置,第三章 n维向量及其线性相关性,运算律,(满足以下八条性质构成的空间称为实n维向量空间),1.交换律,2.结合律,5.分配律.,6.分配律,7.结合律,8.,第三章 n维向量及其线性相关性,3.2 向量的线性相关性,一、线性组合,第三章 n维向量及其线性相关性,解：,解：,定义2 设两个向量组,如果I中的每个向量均可以由II线性表示,则称向量组I可由向量组II线性表示；,第三章 n维向量及其线性相关性,如果I与II能互相线性表示,则称I与II等价。记为III,向量组等价的性质:,1)自反性：I I 2)对称性：若I II,则II I3)传递性：若I II、II III,则I III,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,定义3 设给定s 个n 维向量,如果存在s 个不全为零的常数,二、线性相关的概念,成立，则称向量组 是线性相关的.否则称为线性无关.,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,例3:试证n个n维单位向量:,是线性无关的.,证:,第三章 n维向量及其线性相关性,例4：判断所给向量组的线性相关性:,解：,三、向量组线性相关的判定,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,（1）直接运用向量组线性相关的定义;,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,证明：,第三章 n维向量及其线性相关性,（6）定理3 如果向量组,中有一部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关。(即部分相关，则全体相关)。,（7）推论1 若,则它的任何一个部分组也一定线性无关。(即：全体无关，则部分无关)。,线性无关，,（8）若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。,第三章 n维向量及其线性相关性,*（10）设,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,例5:设,试判定其线性相关性。,解:因为,第三章 n维向量及其线性相关性,证:要使,成立,第三章 n维向量及其线性相关性,3.3 矩阵的秩与向量组的秩,一、向量组的秩,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,定理1：设有两个向量组,如果向量组（2）能由（1）线性表示，,（证明见教材64页）,第三章 n维向量及其线性相关性,推论1:若,可由,线性表示,推论2:两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个 数的向量。,推论3:任意n+1个n维向量组必然线性相关。,第三章 n维向量及其线性相关性,定义2 一个向量组的任意两个极大线性无关组中所含向量的个数相等，称该个数为向量组的秩。,结论1:全为零向量组成的向量组的秩为0。,结论2:两个等价的向量组必有相同的秩。,第三章 n维向量及其线性相关性,例1:设,为一组n维向量。证明:,线性无关的充要条件是任一个n维向量,都能被它线性表出.,证:必要性.设 I,线性无关,为任一n维向量,则,必线性相关,所以 III,故,线性无关.,显然 I可由II线性表出,由题意如果任一向量可由I表出.则II可由I表出。,充分性:记II,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,二、矩阵的秩,定义3 设一个mn矩阵A=(aij)。在A中任取k行k列(kminm,n)，位于这些行列交叉点处的元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。,定义 4 矩阵A中至少存在一个r阶子式D不为0，且A中所有r+1阶子式（如果存在）全为0，则D称为A的最高阶非零子式，数r称为A的秩。,矩阵A的秩记为:,注意:(1)对Amn，有r(A)minm,n;,(2)对n阶方阵A，若|A|0，则A为满秩的且r(A)=n;,(3)r(0)=0,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,三、矩阵的行秩和列秩,设,分块后:,行向量组组,列向量组组,第三章 n维向量及其线性相关性,一、矩阵的初等变换,定义1 矩阵的初等变换是指对矩阵施行以下的三种变换:,3.消法变换:以数k乘矩阵的某一行(列)上各元素加到 另一行(列)对应元素上去.记为,3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵,1.换法变换:互换矩阵的两行(列).记为,2.倍法变换:以任意非零数k乘以矩阵的某一行(列)的 各元素.记为,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,行阶梯型矩阵,（1）若有零行，则零行都在矩阵的下方；,（2）从第一行起，每行第一个非零元素前面的零的个数逐行递增。,显然，行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数,第三章 n维向量及其线性相关性,行最简型矩阵,（1）首先它是一个行阶梯型矩阵；,（2）它的非零行的第一个非零元素是1，且1所在的列其余元素全为0.,第三章 n维向量及其线性相关性,标准型,第三章 n维向量及其线性相关性,定理1 通过有限次初等行变换可以把A化为行阶梯型矩阵。,结论1:,对于任意满秩方阵A,必可用初等行变换将A化成单位矩阵E.,结论2:,秩为r的矩阵A=(aij)mn可通过行的初等变换及列的换法变换化为:,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,解：,第三章 n维向量及其线性相关性,解:,第三章 n维向量及其线性相关性,定理2 初等变换不改变矩阵的秩.,第三章 n维向量及其线性相关性,定义2:,矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价.记为:,显然，矩阵等价具有：,自反性、对称性、传递性,证明:,初等变换不改变矩阵的秩,反过来:如果 r(A)=r(B)=r,则:,第三章 n维向量及其线性相关性,结论:,设A，B都是mn阶矩阵，则:,二、初等矩阵,定义3 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,1.换法矩阵(互换单位矩阵的某两行（或列）一次),第三章 n维向量及其线性相关性,初等矩阵有三种：,2.倍法矩阵(以非零数乘单位矩阵的某一行(或列),第三章 n维向量及其线性相关性,3.消法矩阵(单位矩阵的某一行(列)乘以数k加到另一行(列)上).,第三章 n维向量及其线性相关性,有关初等矩阵的性质:,（2）初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵;,第三章 n维向量及其线性相关性,（1）初等矩阵均是满秩的（即可逆的）;,（3）初等矩阵的转置仍为初等矩阵：,定理3 用初等矩阵左乘某矩阵A，等于该矩阵A作相应的行初等变换；用初等矩阵右乘某矩阵B，等于该矩阵B作相应的列初等变换。,定理4:,N阶方阵A为满秩的(可逆的)充要条件是A可表为有限个初等矩阵的乘积。,第三章 n维向量及其线性相关性,推论1:,r(AB)=r(A)，其中B为满秩矩阵.,推论2:,设A,，B均为mn矩阵，则:,定理4的证明:,即存在初等矩阵,使得:,则:,(Fi为初等矩阵),第三章 n维向量及其线性相关性,表明A可逆,由以上定理及推论,推出求逆矩阵的初等变换法:,第三章 n维向量及其线性相关性,例3:设,求A-1,解:,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,解：,第三章 n维向量及其线性相关性,例5:求,的极大线性无关组,并将其余向量由它线性表出.,解:,第三章 n维向量及其线性相关性,且,线性无关,是一个极大线性无关组.,令,同理:,第三章 n维向量及其线性相关性,第三章 n维向量及其线性相关性,解：,第三章 n维向量及其线性相关性,3.5 向量空间,第四章 线性方程组,4.1 齐次线性方程组,4.2 非齐次线性方程组,教学目的,重 点难 点,1.熟练掌握线性方程组的解的判定;,2.熟练掌握两类线性方程组的求解方法;,3.正确表达方程组的解.,解的判定、求解方法.,解的结构,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,4.1 齐次线性方程组,含有m个方程、n个未知数的n元齐次线性方程组为：,（4.1）,一、基本概念,第四章 线性方程组,其中：,称A为系数矩阵。,可写成矩阵的形式为：,（4.3）,第四章 线性方程组,也可写成向量的形式为：,其中,（4.2）,第四章 线性方程组,方程组的解：若有一组数 代入方程中的未知数使(4.1)成立,则称该组数为(4.1)的一组解。,显然，齐次线性方程组总是有解的。,这个解称为零解或平凡解。,同时，称向量 为方程组（4.1）的解向量。,第四章 线性方程组,二、齐次线性方程组解的判定,第四章 线性方程组,解：,行阶梯型矩阵,求得方程组的解为（0,0,0）,第四章 线性方程组,行阶梯型矩阵,第四章 线性方程组,行最简型矩阵,（II继续化简）,以上过程为回代过程,第四章 线性方程组,解：系数矩阵为,对方程组的系数矩阵作行的初等变换,第四章 线性方程组,行阶梯型,第四章 线性方程组,显然，原方程组有无穷多解,第四章 线性方程组,(4.1),定理1,(1)R(A)=n时，齐次线性方程组（4.1）只有零解。(2)当R(A)n时,(4.1)除零解外，还有无穷多个解。,含有m个方程、n个未知数的n元齐次线性方程组为：,第四章 线性方程组,推论2:若齐次线性方程组中的方程个数m等于未知数个数n时，有非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零。,推论1：齐次线性方程组的方程的个数m小于未知数个数n时，则必有非零解。,第四章 线性方程组,解：,令|A|=0得：,由推论1知，此时方程组有非零解。,例3：试问当为何值时，方程组,有非零解？,第四章 线性方程组,例4 判定方程组解的情况,解：因为方程个数3小于未知量个数4，所以方程组有无穷多组解。,三、齐次线性方程组的解空间,第四章 线性方程组,（4.3）,（4.1）的矩阵形式为,性质：,设,是方程组（4.3）的解，则,也是该方程组的解（即解的线性组合仍是方程组的解）。,证明：,第四章 线性方程组,定义：,齐次线性方程组 的一组解向量：,若满足：,四、齐次线性方程组的基础解系,如果,为,的一个基础解系，则称,通解,第四章 线性方程组,定理2：n元齐次线性方程组 该齐次线性方程组的基础解系存在，且基础解系含有n-r个线性无关的解向量。,证：,齐次线性方程组的基础解系的求法,第四章 线性方程组,相应方程组为：,令,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,可以证明上面n-r 个向量为齐次线性方程组的一个基础解系。,第四章 线性方程组,易验证：,第四章 线性方程组,即,故,(4.3)的一个基础解系。,所以，(4.3)通解为：,第四章 线性方程组,例5：求解下列齐次线性方程组：,解：,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,令,可得一个基础解系为：,故原方程组的通解为：,所以与原方程组同解的简化方程组为：,第四章 线性方程组,例6：解下列齐次方程组：,解：,第四章 线性方程组,解：,第四章 线性方程组,所以原方程组有非零解,令,则基础解系为：,故原方程组的通解为：,第四章 线性方程组,*定理：设，则该方程组的任意n-r个线性无关的解都是其基础解系。,证明：,设,是 的一个基础解系,是 的一组线性无关的解,又设,为 的任一解,第四章 线性方程组,因,可由,线性表出，且,线性相关，而,线性无关，所以,可唯一地由,线性表出，,故,也是 的一个基础解系。,第四章 线性方程组,解：,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,4.2 非齐次线性方程组,含有m个方程、n个未知数的非齐次线性方程组的一般形式为：,一、基本概念,第四章 线性方程组,其中：,称A为系数矩阵，为增广矩阵。,写成矩阵的形式为：,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,也可写成向量的形式为：,其中,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,方程组的解：若有一组数 代入方程中的未知数使(4.8)成立,则称该方程组有解或相容，否则称之为无解或不相容。上述满足方程组的有序数组 就是该方程组的一个解。方程组的解的全体称为它的解集合。,二、非齐次线性方程组有解的条件,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,解：,行阶梯型矩阵,求得方程组的解为（9，-1，-6）,行最简型矩阵,第四章 线性方程组,解：增广矩阵为,对方程组的增广矩阵作行的初等变换,第四章 线性方程组,行阶梯型,第四章 线性方程组,显然，原方程组有无穷多组解,对应的方程组为,则原方程组的所有解为,第四章 线性方程组,解：增广矩阵为,第四章 线性方程组,其中第三个方程是矛盾方程，则原方程组无解。,综上所述，非齐次线性方程组的解有三种情况：唯一解，无穷多解，无解,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,定理1:,第四章 线性方程组,证明：,第四章 线性方程组,相应地有,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,讨论:,第四章 线性方程组,再讨论:,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,例4:判断下列方程组是否有解？若有解，是唯一解还是无穷解？,第四章 线性方程组,解:,所以原方程组无解.,第四章 线性方程组,例5:判断下列线性方程组的解的情况：,解:,第四章 线性方程组,所以原方程组有无穷多个解.,第四章 线性方程组,三、非齐次线性方程组解的结构,1.非齐次线性方程组解的性质,第四章 线性方程组,2.非齐次线性方程组的通解,第四章 线性方程组,由性质可知：,证明：,第四章 线性方程组,例6：求解下列线性方程组：,解：,第四章 线性方程组,原方程组有无穷多解,第四章 线性方程组,其简化方程组为：,令,可得导出组的一个基础解系：,可得原方程组的一个特解：,第四章 线性方程组,所以原方程组的解为：,第四章 线性方程组,例7：讨论下列方程组的解的情况：,解：,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,对应方程为：,所以原方程的一个特解为：,导出组为：,得一个基础解系为：,所以，原方程通解为：,第四章 线性方程组,对应方程组为：,所以原方程组的特解为：,导出组为：,原方程组的通解为：,当=-2时,得一个基础解系为：,第四章 线性方程组,第四章 线性方程组,解：,第四章 线性方程组,*例9：设,为非齐次线性方程组AX=B的一个解，,是导出组的一个基础解系，证明：,证：（1）（反证法）设,相关，即,存在不全为0的数：,，使得：,第四章 线性方程组,成立,显然，,则有：,（2）（定义法）,由,第四章 线性方程组,因为据（1）知,线性无关,所以,故,线性无关。,第四章 线性方程组,*例10：设,证明AX=B必存在n-r+1个线性无关的解：,，且它的任一解可表为：,证：,存在性由上题（2）可得证；,设,为AX=B的任一解向量，,第四章 线性方程组,因为,线性无关,也线性无关,又,是AX=0的解,为AX=0的一个基础解系,而,也是AX=0的解，,第四章 线性方程组,则,令,显然有,第四章 线性方程组,第五章 二 次 型,5.3 实对称矩阵的对角化,5.1 正交矩阵与正交变换,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准型,5.5 正定二次型,教学目的：,重 点：,难 点：,通过对本章的学习，掌握利用矩阵化 二次型为标准型的方法。,正交变换化二次型为标准型的方法。,抽象的理论推导,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,一、向量的内积(数量积),定义1:,设,则两向量的内积定义为:,5.1 正交矩阵与正交变换,第五章 二 次 型,内积有如下几点性质:,(2),(3),(4),欧几里得空间:,凡定义了内积的实n维向量空间.,第五章 二 次 型,定义2:,数,叫做向量 长度（或范数）,记为:,即,几点性质:,(1),(2),(3),第五章 二 次 型,选证(2):,作辅助向量,则,即,若,若,从而由t的任意性得(关于t的一元二次不等式):,第五章 二 次 型,由性质(2)知:,定义3:,若,称为两向量之间的夹角.记为,定义4,显然，零向量与任何向量都正交。,第五章 二 次 型,二、向量组的正交化,定义5:,对一组向量,为标准正交向量组.,第五章 二 次 型,证明:设,是一组正交向量组,定理 1:,非零的正交向量组一定是线性无关的.,第五章 二 次 型,（1）可由它们出发作出m个n维正交向量组.(正交化),（2）继续化为m个n维正交标准向量组.(标准化),（3）新旧向量组是等价的.,第五章 二 次 型,施密特（Schmidt）正交化过程:,取,设n维向量组,是线性无关的。,第五章 二 次 型,标准化过程:,显然,第五章 二 次 型,例1:将所给向量组化为标准正交向量组:,解:,可以判定所给向量组是线性无关的(按定义),第五章 二 次 型,正交化过程:,令,第五章 二 次 型,标准化过程:,可以验证:,是一组标准正交向量组.,第五章 二 次 型,三、正交矩阵与正交变换,第五章 二 次 型,正交矩阵的性质：,（1）,（2）,(3),(4),第五章 二 次 型,定理2：一个n阶矩阵A为阵交矩阵的充要条件是A的行(列)向量组是一个标准正交向量组。,证明：,即A的行向量组为标准正交向量组。,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,解:,所以A不是正交矩阵.,例1:判断所给矩阵A是否为正交矩阵:,第五章 二 次 型,三、正交矩阵与正交变换,即正交变换不改变向量的长度。,第五章 二 次 型,5.2 方阵的特征值与特征向量,一、方阵的特征值与特征向量,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,方阵的特征向量有以下性质：,第五章 二 次 型,*,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,例1:求下列所给矩阵A的特征值与特征向量:,解：,即为所求的特征值.,第五章 二 次 型,构造齐次线性方程组:,即,其基础解系为:,均为A的特征向量。,第五章 二 次 型,例2:求下列所给矩阵A的特征值与特征向量:,解：,即为所求的特征值.,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,证明：,第五章 二 次 型,(1)-(2)得：,第五章 二 次 型,二、实对称矩阵的特征值、特征向量的性质,定理2 实对称矩阵的特征值为实数,*证明：,第五章 二 次 型,定理3：实对称矩阵A的不同特征值的特征向量是正交的.,证明：,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,一、相似矩阵,定义1 设A,B均为n 阶方阵，若存在满秩方阵P，使得:,则称A与B是相似的.记为:AB 称P为相似变换矩阵,5.3 实对称方阵的对角化,相似矩阵的基本性质,第五章 二 次 型,证明：,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,二、实对称矩阵的对角化,定理2,1.矩阵可对角化的条件,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,推论 如果n阶方阵A有n个互不相等的特征值，,则A与对角阵相似。,例1：证明,不与对角形矩阵相似.,第五章 二 次 型,所以A的特征值为3.,构造,其基础解系为：(1,0,0)T,所以得证。,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,2.实对称矩阵的相似理论,定理3 任意实对称矩阵A都与对角阵相似。,第五章 二 次 型,(1)由|A-E|=0，求出A的所有不同的特征值i(i=1,2m);,(2)对每个特征值i,求解方程(A-iE)X=0的基础解系:,3.实对称矩阵对角化方法（步骤）,第五章 二 次 型,证:,特征值为:,第五章 二 次 型,作:,其中:,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,5.4 二次型及其标准形式,定义1 含有n个变量的二次齐次函数：,称为二次型.,f 的标准型为:,f的法式为:,一、二次型与矩阵,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,A是实对称矩阵,称为二次型的矩阵,其秩叫做二次型的秩.,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,对于二次型，怎样寻求一个可逆的线性变换,第五章 二 次 型,设原二次型为:,该线性变换（5.4.3）称为满秩线性变换,特别地,如果C为正交矩阵，则该线性变换称为正交变换。,第五章 二 次 型,关于矩阵合同有以下性质：,第五章 二 次 型,二、用正交变换化二次型为标准形式,由于二次型的矩阵是实对称矩阵,实对称矩阵必可对角化,第五章 二 次 型,例3：用正交变换法化把下列二次型为标准形式:,解:,特征值为:,第五章 二 次 型,当=1时,其基础解系为:,第五章 二 次 型,当=-2时,其基础解系为:,第五章 二 次 型,当=4时,其基础解系为:,第五章 二 次 型,化为标准形式,第五章 二 次 型,三、用配方法化二次型为标准形式,第五章 二 次 型,第五章 二 次 型,5.5 正定二次型,一、惯性定律,第五章 二 次 型,显然，二次型的规范型是唯一的。,第五章 二 次 型,二、正定二次型,定理2 实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是,A与B有相同的规范型,第五章 二 次 型,正定二次型的判别,第五章 二 次 型,解：该二次型的矩阵为,第五章 二 次 型,类似的，负定二次型的判别,