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第一章 向量代数 平面与直线,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,向量的 共线共面 问题,点的 共线共面 问题,向量 的 运算,坐标 的 运算,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示,1.什么叫向量？,2.怎样表示向量？,3.向量有哪些要素？,4.什么是自由向量？,5.什么是一个向量的负向量？,6.什么是零向量？,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,二.向量的加法,1.平行四边形法则的物理学背景,2.平行四边形法则与三角形法则的等价性,3.向量加法有哪些运算性质？,交换律;,结合律;,存在零向量;,每个向量都有反向量.,阿贝尔群(Abelian group),第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,三.向量与数量的乘法,1.定义,注:m=m=0 或=.,2.运算性质,(1)=.,单位向量;非零向量的单位化.,1=;,m(n)=(mn);,(m+n)=m+n;,m(+)=m+m.,向量空间(vector space),模(module),例1.设P,Q分别是ABC的BC,AC边的中点,AP与BQ交于点M.证明:,A,B,C,M,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,P,Q,例2.设M是ABC的重心,O是ABC所在平面上 任意一点,证明:,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,四.共线、共面向量的判定,1.定义,定理1.1 设向量,则 向量与共线 存在唯一的实数m使得=m,推论1.1 向量1,2共线 存在不全为零的实数k1,k2使得 k11+k22=,(即可以由 线性表示).,(即1,2线性相关).,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,四.共线、共面向量的判定,定理1.2 若向量,不平行,则 向量与,共面 存在唯一的有序实数组(m,n),使得=m+n,推论1.2 向量1,2,3共面 存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k33=,(即可以由,线性表示).,(即1,2,3线性相关).,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一.仿射坐标系、直角坐标系,1.线性表示,(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,=2,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一.仿射坐标系、直角坐标系,1.线性表示,(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,=k1+k2,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一.仿射坐标系、直角坐标系,1.线性表示,(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,2.仿射坐标系O;1,2,3,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标(分量);,坐标平面;,卦限,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,2.仿射坐标系O;1,2,3,左手仿射坐标系,3.直角坐标系O;i,j,k,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,二.用坐标进行向量的线性运算,设=(x1,x2,x3),=(y1,y2,y3),则,=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1),=(x2x1,y2y1,z2z1).,(k1x1+k2y1,k1x2+k2y2,k1x3+k2y3).,k1+k2=,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,一.两个向量的数量积,1.物理背景.,2.两个非零向量之间的夹角.,3.数量积(点积,内积)的定义.,=|cos,(1)若非零向量与之间的夹角为,则,=0.,(2)若向量=或=,则,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,注:=0(=或=或与 垂直),4.内积的性质.,(1)正定性:=|20,且=0=.,(2)对称性:=.,(3)(m)=m()=(m).,(4)(+)=+.,3.数量积(点积,内积)的定义.,=|cos,(1)若非零向量与之间的夹角为,则,=0.,(2)若向量=或=,则,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,注:=0(=或=或与 垂直),4.内积的性质.,(1)正定性:=|20,且=0=.,(2)对称性:=.,(3)(m)=m()=(m).,(4)(+)=+.,5.直角坐标系下向量内积的计算.,(1)i2=j2=k2=1,i j=j k=k i=0.,(2)设=(x1,x2,x3),=(y1,y2,y3),则=x1y1+x2y2+x3y3.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,6.模,夹角,距离公式,(2)设非零向量=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)之间的夹角为,则,x1x2+y1y2+z1z2,(3)点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,7.方向角和方向余弦,(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角;方向角的余弦称为此 向量的方向余弦.,方向余弦:cos,cos,cos,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,(3)与一个非零向量的方向余弦成比例的三个数 叫做此向量的方向数.,(2)向量xi+yj+zk的方向余弦,cos2+cos2+cos2=1.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,8.投影,注:一个非零向量在一个轴或另一个非零向量 上的投影为标量,其值可能是正数,可能是 负数,也可能为零(取决于).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,二.两个向量的向量积,1.物理背景.,2.向量积(叉积,外积)的定义.,|=|sin,其中为向量与之间的夹角.,3.外积的几何意义.,注:向量与共线(平行)=.特别地,=.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,4.外积的性质.,(1)反对称性:=.,(2)(m)=m()=(m).,(3)(+)=+.,例1.证明()2+()2=2 2.,例2.已知|=3,|=11,且=30.求|.,5.用向量的坐标计算向量的外积.,(1)ij=k,jk=i,ki=j,ji=k,kj=i,ik=j,ii=jj=kk=.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,(2)设=a1i+a2j+a3k,=b1i+b2j+b3k,则,=(a2b3a3b2)i+(a3b1a1b3)j+(a1b2a2b1)k,(3)二阶行列式.,=adbc.,=i+j+k,注:向量=a1i+a2j+a3k与=b1i+b2j+b3k共线(平行)=,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例3.求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,例4.求同时垂直于向量=(1,2,2)和=(5,4,2)的单位向量.,例5.已知向量,有共 同起点但不共面,求 以它们为棱的平行 六面体的体积V.,V=(),S=|,h=(),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,三.三个向量的混合积,1.,的混合积:(),V=(),S=|,h=(),2.几何意义.,设,为不共面的三个向量,将它们平 移到具有共同的起点.若它们符合右手法则,则与()在与 所成平面的同侧,于是,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,定理1.4 三个不共面向量,混合积()的绝对值等于以它们为相邻棱所作的 平行六面体的体积V.当,符合右(或左)手法则时()=V(或V).,推论1.4 三个向量,共面的充分必要条件 是它们的混合积()=0.,注:轮换对称性.,()=()=().,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,3.性质.,(1)(,)=0.,(2)(,)=(,).,(3)(1+2,)=(1,)+(2,).,(4)(m,)=m(,),其中m为一实数.,(5)(,+m)=(,),其中m为一实数.,注:结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质.如(,)=0;(,1+2,)=(,1,)+(,2,);(,m,)=(,m)=m(,);(,+m)=(,),等等.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例6.由定理1.3可知,在空间中任取三个不共面 的,后,空间中任一向量 都可以唯一 地表示成,的线性组合,即存在唯一 的实数组(x,y,z),使得=x+y+z.下面我们去求x,y,z的值.,(,)=(x+y+z,),=(x,)+(y,)+(z,),=x(,).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,4.用向量的坐标计算向量的混合积.,设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),则=(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),()=(a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,5.三阶行列式.,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,(1)定义,(2)对角线法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,注:对于向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),和=(c1,c2,c3),采用行列式的记号,我们有,()=,=,推论1.4 三个向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3)共面的充分必要条件是,例7.将混合积的性质翻译成三阶行列式的性质.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程.,P,过点P0(x0,y0,z0)且与非零向量n=(A,B,C)垂直的平面的方程为,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.,2.一般方程.,Ax+By+Cz+D=0.,定理1.5 平面方程是三元一次方程,而三元一 次方程必然表示一个平面.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.在特殊位置的平面.,(1)过原点的平面:Ax+By+Cz=0.,(2)平行于x轴的平面:By+Cz+D=0.,平行于y轴的平面:Ax+Cz+D=0.,平行于z轴的平面:Ax+By+D=0.,(3)平行于xoy面的平面:Cz+D=0.,平行于yoz面的平面:Ax+D=0.,平行于xoz面的平面:By+D=0.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例1.求通过点P0(1,2,3),且(1)通过x轴;(2)平行于yoz平面 的平面方程,并且分别作出它们的图形.,注:确定A,B,C,D的值;,作图时应标注一些特殊点,如与坐标轴 或坐标平面的交点.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,4.三点式方程.,经过不共线的三点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)的平面的方程为,5.截距式方程.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,二.空间直线的方程,1.参数方程.,P,过点P0(x0,y0,z0)且与非零向量s=(l,m,n)平行的直线L的参数方程为,x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.,2.标准(对称)方程.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.一般方程.,A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,4.两点式方程.,过两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2.求过点(7,6,5),垂直于直线L0:,且平行于平面0:x+y+z+1=0的直线方程.,解:(法一)直线L0的方向向量s0可取为,=(9,5,1).,所求直线L的方向向量s可取为,=(4,8,4).,所求直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2.求过点(7,6,5),垂直于直线L0:,且平行于平面0:x+y+z+1=0的直线方程.,解:(法二)直线L0的方向向量s0可取为,x 2y+z+3=0,2x 3y 3z 9=0,=(9,5,1).,过点(7,6,5)且以s0为法向量的平面1为,9(x+7)+5(y6)+1(z5)=0,即:9x+5y+z+28=0.,过点(7,6,5)平行于平面0的平面2为,(x+7)+(y6)+(z5)=0,即:x+y+z4=0.,故所求直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三.与直线,平面有关的一些问题,1.夹角.,(1)两条直线的夹角.,注:夹角的范围:0/2.,=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三.与直线,平面有关的一些问题,1.夹角.,(1)两条直线的夹角.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(2)两个平面的夹角.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(3)直线与平面的夹角.,=/2,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(3)直线与平面的夹角.,例3.求直线 l:,:x+2y+z+1=0之间的夹角.,与平面,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,2.距离.,(1)点P到直线 l 的距离:,(2)点P(x1,y1,z1)到平面:Ax+By+Cz+D=0 的距离:,L1,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(3)异面直线之间的距离.,L2,s1,s2,V=(),S=|,h=(),注:也可以利用混合积的 几何意义来理解上述 公式.,h=V/S.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例4.求直线l1:,x1,1,2,2,y+5,z,=,=,l2:x+1=y=z1的距离及公垂线的方程.,与,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.通过直线L:,的平面束方程为,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.通过直线L:,的平面束方程为,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,例5.已知两平面1:2x y+z+1=0,问1与2是否相交;如果相交,求出交线在平面:2x+3y 6=0上的投影直线方程.,2:x 3y+2z+4=0.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例6.已知直线l:,(1)求过直线l和点P的平面的方程.,x y+z+1=0 2x+y z 2=0,P(1,1,1),Q(1,0,1).,和点,(2)求过直线l和点Q的平面的方程.,P(1,1,1),Q(1,0,1),(1+22)x+(1+2)y+(12)z+(122)=0,1=0,31 2=0,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,应用,极端情况|=0,无方向,表示 画(有向线段)写(AB,),特点 自由,要素 大小,方向,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,背景 力,位移,复数,向量,力,位移,复数,大小,方向,自由,|=0,无方向,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积,交换律,结合律,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,大小:|k|=|k|,方向:视k的符号而定,(n+m)=,1=,n(m)=(nm),m(+)=,数量积,向量积,混合积,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,基,仿射坐标系,线性运算,=xi+yj+zk,i j k,=(x,y,z),(x1,y1,z1),k(x,y,z),=(kx,ky,kz),(x2,y2,z2),+,=,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,描述 几何对象,向量,运算,应用,描述 几何事实,描述 几何问题,解决 几何问题,点 线/面,坐标 方程,平行(共线)/垂直 长度/面积/体积夹角/距离,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,与共线,与线性相关,=,共面,线性相关,(,)=0,若与非零,则,=0,|=|,若,则与共线,|m s.t.=m,|(m,n)s.t.,=m+n,与 的坐标成比例,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,平面方程,数量积,混合积,过原点,平行于坐标轴,垂直于坐标轴,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,数乘/向量积,平面的交线,直线方程,线线夹角,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,面面夹角,线面夹角,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,点面距离,点线距离,异面直线距离,第一章 向量代数 平面与直线,教学内容和基本要求,1.理解几何向量的概念及其加法,数乘运算,熟悉运算规 律,了解两个向量共线和三个向量共面的充要条件;2.理解空间直角坐标系的概念,了解仿射坐标系的概念,掌握向量的坐标表示;3.理解向量的数量积,向量积和混合积的概念,理解它们 的几何意义,了解相关的运算性质,掌握利用坐标进行 计算的方法.4.理解平面的法向量的概念,熟练掌握平面的方程的确定 方法,熟悉特殊位置的平面方程的形式;5.理解直线的方向向量的概念,熟练掌握直线的对称方程,一般方程及参数方程的确定方法;6.了解直线,平面间的夹角的定义,了解点与直线,平面间 的距离的定义,并掌握相关的计算,会求异面直线的公 垂线方程;7.了解平面束的概念,并会用平面束处理相关几何问题.,