【教学课件】第二章静电场与恒定电场.ppt

第二章 静电场与恒定电场,2.1 库仑定律 电场强度,一、库仑定律库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的实验定律，如图2-1所示，点电荷 对 的作用力F可表示为(2-1)是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数（电容率），其值为,库仑定律揭示的意义真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小与它们的电量和的乘积成正比；与它们之间的距离的平方成反比；力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。库仑定律只能直接用于点电荷点电荷，指当带电体的尺度远远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。实际带电体分布在一定的区域内，称为分布电荷。库仑定律是大量实验的总结真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两之间的作用力，不受其他电荷存在与否。,电荷所受到的作用力是空间其余电荷单独存在时作用力的矢量代数和，即（2-2）这说明电荷之间的作用力满足线性叠加原理。二、电场强度库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向，但没有表明这种作用力是如何传递的。电场对处在其中的任何电荷都有作用力，称为电场力。电荷间的相互作用力就是通过电场传递的。,空间任意一点的电场强度定义为该点的单位正实验电荷所受到的作用力。（2-3）实验电荷是指带电量很小，引入到电场内不影响电场分布的电荷。由两个点电荷间作用力的公式（2-1），可以得到位于点处的点电荷在处产生的电场强度为（2-4）将电荷所在点称为“源点”，源点的位置用带撇号的坐标 或位置矢量表示,将观察点称为“场点”，场点的位置用不带撇号的坐标 或位置矢量表示。则源点到场点的距离矢量 故（2-4）式也可写成（2-5）如果真空中有n个点电荷，则r点处的电场强度可由叠加原理计算。即真空中n个点电荷在r点处的电场强度，等于各个点电荷单独在该点产生电场强度的叠加。即（2-6）,电子是自然界中最小的带电粒子之一，任何带电体的电荷量都是以电子电荷量的整数倍数值量出现的。从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间的。但从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以连续分布的形式充满于该体积中。基于这种假设，我们用电荷体密度（即体电荷密度）来描述电荷在空间的分布.体电荷密度的定义为（2-7）体电荷密度的单位为：。电荷面密度为：（2-8）,其单位为：。电荷线密度为：（2-9）其单位为：。引入连续分布电荷概念后，也可将点电荷当作分布电荷看待，其体密度为无穷大，可用 函数来表示。对于单位点电荷，定义 函数为 另外，具有抽样特性，即,当电荷是连续分布时，它在空间任意一点产生的电场可以通过积分的方法求得：首先将连续分布的体电荷分割为无数多的小体积元，由于体积很小，可视为点电荷，故连续分布的体电荷在空间 处的电场强度可视为一系列点电荷产生的电场强度的叠加，从而得出 点的电场强度为（2-10）其中，体积分为电荷所在区域。同理，连续分布的面电荷和线电荷产生的电场强度分别为,（2-11）（2-12）【例2-1】已知一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上任意一点的电场强度。【解】选择圆柱坐标系，如图2-3，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为。则,所以轴线上任意一点的电场强度为,2.2 电位,一、静电场的无旋性根据体电荷的场强表达式来推导静电场的旋度。,式中，括号内的函数是一个标量函数，这表明电场强度E可以用一个标量函数的梯度来表示。对上式两边同时取旋度 由矢量分析中的零恒等式 知，静电场的旋度恒为零，即（2-13）由斯托克斯定理知（2-14）表明静电场是无旋场（保守场），电场强度E沿任一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中不存在旋涡源。,二、电位由于静电场的无旋性，电场 强度可用标量函数完整的描 述静电场的特性，即(2-15)该标量函数称为电位（电势），单位：伏特（V）。式中的负号也表示电场是指向电位下降的方向。电位并不是唯一的。把任意一个常数C加到 上，并不会影响E。因此要确定某一给定点的电位，必须任意设定空间某一点的电位为零，该点称为参考点。,电位也可以通过电场的积分来计算。因为 沿场中任意闭合曲线的积分为零，等价于 从场中一点延任意路径到另一点的线积分与路径无关，而只与积分的起点和终点有关。若选择Q点为电位参考点，则场域内任一点P的电位为（2-17）当电荷分布在有限区域时，通常取无穷远为参考点，即（2-18）由式（2-18）可推导出不同电荷产生的电位的表达式,点电荷（2-19）点电荷系（2-20）体电荷（2-21）面电荷（2-22）线电荷（2-23）,2.3 静电场中的导体与电介质,一、静电场中的导体导体是一种拥有大量自由电子的物质，如金属。在静电场中，导体内的自由电子会在静电力的作用下，做反电场方向的运动，直至积累在导体表面的电荷产生的附加电场在导体内处处与外加电场相抵消，此时导体内净电场为零（即静电平衡状态）。由 知，导体中的电位为常数，导体为等位体，导体表面是等位面。导体内净电荷密度，任何净电荷只能分布在导体表面上（包括空腔导体的内表面）。静电平衡条件还要求导体表面上场强的切向分量，否则，电荷,将在的 作用下沿导体表面运动。因此，导体表面只可能有电场的法向分量，即电场E必垂直于导体表面。其中导体表面的场强与导体表面的面电荷密度的关系为（2-24）二、静电场中的电介质1.电介质 电介质与导体不同，它的原子核与周围的电子之间相互作用力很大，所有的电子均被束缚在原子核周围，没有可自由运动的自由电荷。因此在电场的作用下，唯一可能存在的运动，就是正负电荷向相反,方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变化。因而有必要单独加以讨论。按照介质分子内部结构的不同，可将其分为两类：一类是非极性分子，它的正负电荷的电中心重合，偶极矩为零。另一类是极性分子，其正负电荷的电中心不重合而，具有固有偶极矩。但由于分子的热运动，它们的排列是随机的。在没有外加电场时，从整体上看呈电中性，即总的偶极矩为零。此外，还有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论由分子组成的介质。,2.电介质的极化 电介质在外电场的作用下，极性分子中的正负电荷要产生相反方向的微小位移，形成电偶极子；而对于极性分子会向外电场方向偏转，排列有序，总的电偶极矩不再为零。这两种现象均称为电介质的极化。极化的结果在电介质的内部和表面都产生了极化电荷，极化电荷产生的极化电场叠加在原来的电场上，使电场发生变化。3.电偶极子 在极化了的电介质中，每个分子都起着电偶极子的作用。因此从微观上讨论电偶极子的场是很有必要的。电偶极子是指由间距很小的两个等量异号点电荷组成的系统，如图2-6所示。,电偶极子的远区场 取电偶极子的轴与z轴重合，电偶极子的中心在坐标原点。则电偶极子在空间任意点P的 电位为 其中：由于，所以将 展开并略去高阶项，得,故（2-25）通常用电偶极矩表示电偶极子的大小和取向，它定义为电荷乘以有向距离，即（2-26）式（2-32）也可改写为（2-27）电偶极子的远区场为（2-28）,电偶极子的场图如图2-7所示。图2-7电偶极子的场图,4极化强度为定量地计算介质极化的 影响，引入极化强度矢量 P，以及极化电荷密度的 概念。极化强度P定义为：在介 质极化后，给定点上单位体积内总的电偶极矩，即（2-29）若p是体积中的平均偶极矩，是分子密度，则极化强度也可表示为（2-30）,5.极化介质产生的电位当介质极化后，可等效为真空中一系列电偶极子。极化介质产生的附加电场，实质上就是这些电偶极子产生的电场，如图2-8所示。在极化强度为P的电介质中取一体积元,则 中的电偶极矩为，中的电偶极子在介质外r处产生的电位是 整个极化介质产生的电位是利用矢量恒等式：,变换为（2-31）将上式与自由电荷和 和等效面分布电荷在真空中共同产生的。等效体电荷密度和等效面电荷密度分别为（2-32）（2-33）这个等效电荷也称为极化电荷或束缚电荷。,2.4 高斯定理,一、真空中的高斯定理高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷之间的关系。先考虑点电荷的电场穿过任意封闭曲面S的通量：(2-38)对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为（2-39）,式（2-39）称为真空中的高斯定理。其中 是闭合面内的总电荷。高斯定理是静电场的一个基本定理。它表明：在真空中穿出任意闭合面的电场强度通量，等于该闭合面内部的总电荷量与 之比。式（2-39）是高斯定理的积分形式：只能说明通过闭合面的电场强度通量与闭合面内电荷之间的关系，并不能说明某一点的情况。分析某一点的情形，要用微分形式。如果闭合面内的电荷是密度为 的体电荷，则式（2-39）可写为（2-40）式中V是闭合面S所限定的体积。用散度定理对上式左边进行变换，得,由于体积是任意的，所以有（2-41）说明：真空中任一点电场强度的散度等于该点的电荷密度与 之比。高斯定理的积分形式：可直接用来计算某些对称分布电荷所产生的场强值。解题的关键：是能将电场强度从积分中提出来，这就要求找出一个封闭面（高斯面）S，在S面上电场强度E处处与S面平行，且E值相同；或者S面的一部分S1上满足上述条件，另一部分S2上电场强度E处处与S面垂直。这样就可求出对称分布电荷所产生的场。,【例2-4】已知半径为a的球内、外的电场强度为 求电荷分布。【解】,二、介质中的高斯定理在有介质存在的情况下，总电场（也称宏观电场）是外加电场和极化介质产生的电场之和，即（2-42）式中：为闭合面内的总的净束缚电荷。且 所以（2-43）令（2-44）,式（2-43）可写为（2-45）式（2-45）称为介质中的高斯定理的积分形式。由散度定理，式（2-45）可写成 因闭合面S是任意的，由此可得到介质中的高斯定理的微分形式（2-46）用式（2-45）计算D时，只需要考虑自由电荷，而无需考虑束缚电荷，显然计算电位移矢量D较简单。如果我们仍然需要计算电场强度，则还需找出D和E的关系。,实验表明，对于各向同性的、线性的均匀介质，其极化强度P与宏观电场强度成正比，即（2-47）当介质的极化强度P与宏观电场强度的方向一致，且比值相等时，称为各向同性介质。若介质的极化率与E无关，称为线性介质。若介质的极化率与坐标变量无关，则称为均匀介质。将式（2-47）代入式（2-44）可得 即（2-48）式（2-48）称为电介质的本构关系。其中：为介质的介电常数；为介质的相对介电常数。,【例2-5】一个半径为a的导体球，带电量为q，在导体球外套有半径为b的同心介质球壳，壳外是空气。试计算空间任一点的电场强度。【解】由于导体球和球外介质都是球对称的，故场分布也应该是球对称的，可以用高斯定理求解。当 时，显然，导体内场强为零，即当 时，应用介质中的高斯定理，得,当 时，应用真空中的高斯定理，得 三、静电场的基本方程根据前面所学的静电场的特性，我们可以总结出静电场的基本方程为：积分形式（2-49a）（2-49b）,微分形式(2-50a)（2-50b）理论上求解一组基本方程可唯一地确定静电场的场强，但由于它们是矢量方程组，除了某些特例，直接求解相当困难。,2.5 静电场的边界条件,在电磁场中，空间常常存在着两种或两种以上的不同媒质。由于电介质的极化特性不同，在两种不同媒质的分界面上一般存在着面束缚电荷，它将使电场强度和电位移产生跃变。电场强度和电位移在不同媒质的分界面上的跃变规律，称为边界条件（或衔接条件）。由于分界面上的场量产生跃变，静电场方程的微分形式不成立，故只能从静电场方程的积分形式出发来讨论场的边界条件。,一、法向边界条件在分界面上任取一点，包含该点做一闭合小圆柱，其上下底面与分界面平行，底面积非常小；侧面与分界面垂直，且侧高趋于零，如图2-9。对此闭合面应用介质中的高斯定理得（2-51）或（2-52）称为：静电场法向分量的边界条件,当介质分界面不存在自由电荷时，法向边界条件变为（2-53）或（2-54）该边界条件也可用电位来表示（2-55）,二、切向边界条件在分界面上任取一点，包含该点做一小矩形闭合回路。长边（足够短）分居界面两侧，并与界面平行，短边趋于零，且与界面垂直，如图2-10。由静电场的保守性得（2-56）或（2-57）两式称为电场切向分量的边界条件,表明电场强度E的切向分量在分界面上是连续的。同样，切向边界条件也可用电位来表示（2-58）在介质分界面不存在自由电荷时，设分界面两侧的电场线与法线n的夹角为 和，由式（2-53）和式（2-56）可得（2-59）边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面上的一种表现形式。只有同时满足基本方程和边界条件的场矢量D、E才是静电场问题的解。,2.6泊松方程和拉普拉斯方程,求出空间的所有电荷分布，要求完成不规则的积分运算，通常是很困难的。促使寻求解决问题的其它途径，即求解电位所满足的微分方程。可根据静电场基本方程的微分形式，推导出电位与场源之间满足的泊松方程和拉普拉斯方程。在 中，代入 和 关系式，得 即（2-60）,这就是电位的泊松方程。对于无电荷分布区域，即 的空间，有（2-61）这就是电位的拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，在一般情况下不易求解。但是如果场源电荷和边界形状具有某种对称性，那么电位也将具有某种对称性。这将使电位的偏微分方程简化为常微分方程，可以用直接积分法求解。常涉及场域限定在一个有限的范围内。在有限空间区域内，可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的分界面上都具有一定的边界条件。,这些给定边界条件下求解场的问题，称为边值问题。所有这些问题的解决，都归结为求解满足给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程。【例2-8】两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为，并充满密度为的体电荷。求极板间电场强度。【解】由于极板面无限大，故板间电场为均匀场，且场源电荷仅与x有关，所以板间电场和电位也只是的函数。设 处电位为0，处电位为。根据题意有,当 时，当 时，所以板间任意一点电位为 故板间任意一点电场为,2.7电容,一、电容若两个导体上的电量分别为-q和q，它们之间的电压为u时，双导体电容定义为（2-62）电容量是一个与两个导体形状、相对位置及周围介质有关的常数，单位为：法（F）。孤立导体的电容可以看成是孤立导体与无穷远之间的电容，即（2-63）,一个导体系统，如果它的形状、相对位置及周围介质确定，则其电容量也随之确定。因此在计算系统电容时，可按：q 设 E 求U 计算得 的思路计算。【例2-9】如图所示的球形电容器是由半径分别为a、b的同心导体球面组成，两导体之间充以介电常数为的电介质。求其电容量。【解】设球形电容器的内外导体上分别带有+q和-q的电荷，由于电荷分布具有球 面对称，由高斯定理可得两导 体之间的电场强度为,则内外导体之间的电压为 故球形电容器的电容量为,二、部分电容有两个以上导体的系统称为多导体系统。在多导体系统中，每个导体所带的电量都会影响其它导体的电位。在线性媒质中，应用叠加原理，可得到每个导体的电位和各导体所带电量的关系如下：（2-64）式中，称为电位系数。且，即具有互易性。电位系数只与导体的几何形状、尺寸、相对位置及介质特性有关，而与导体所带电量无关。,对上面的方程组求解，可用各导体上的电位来表示其带电量：（2-65）式中，称为电容系数。电容系数也只与导体的几何参数及系统中介质的特性有关，且。上式可改写为：（2-66）,，称为自部分电容；，称为互部分电容。互部分电容也具有互易性，,2.8静电场能量与静电力,一、静电能电场的最基本特征是对场域中的电荷有力的作用，说明静电场中储存有能量，称为静电能。它是电场在建立过程中由外力做功转化而来的。静电能是势能，其总能量只与静电系统最终的电荷分布有关，与形成这种分布的过程无关。可假设在电场的建立过程中，各带电体的电荷密度均按同一比例因子 增加，则各带电体的电位也按同一比例因子增加。则当 0到1时，对于某一体积元，新增加的微分电荷,为，则新增加的电能为，所以整个空间增加的能量为整个充电过程增加的能量就是系统的总能量，即电荷系统总的静电能为（2-67）是指包含所有的电荷空间。它包括体电荷、面电荷、线电荷、点电荷和带电导体。其中点电荷系和带电导体的静电能也可写为（2-68）实际上静电能是弥散于整个场空间，即凡是电场不为零的空间，均储存有电场能量。,首先将式（2-67）的积分范围扩展到整个场空间，因为只有有电荷的空间才对积分有贡献，即式（2-67）可改写为（2-69）将 代入式（2-69），则 在等式右边第一项中，当体积无限扩大时，包围这个体积的表面也随之扩大。只要电荷分布在有限的区域内，当闭合面无限扩大时，有限区域内的电荷,可近似为点电荷，它在s面上的 和 将分别与 和 成比例，而s面的面积与 成比例，故当 时，等式右边第一项必为零。所以有（2-70）式中：v是指整个场域空间。称为电能密度 对于各向同性的、线性的均匀介质有 故（2-71）（2-72）,【例2-10】若真空中电荷均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。【解法1】：由高斯定理可得球内外的电场为 所以,二、静电力根据库仑定律或电场强度的定义可以计算电荷所受的电场力。在简单问题中，这种方法是有效的，但在复杂系统中，这种计算是很困难的。这时就需要用虚位移法来计算电场力。在一个与电源相连接的带电体系统中，假设某个带电体在电场力的作用下产生了一个小位移，那么电场力就要对它做功。根据能量守恒原理应有：电场力所做的功+电场储能的增量=外电源所提供的能量，即（2-73）由于各带电体与电源相连，所以它们的电位是不变的，即有,而电场储能的增量为 说明外电源所提供的能量一半使得电场储能增加，另一半提供给电场力做功，亦即（2-74）或（2-75）如果带电体系统是与外电源断开的隔离系统，则外电源对系统不提供能量，此时各带电体上的电量不变，式（2-71）变为,即（2-76）或（2-77）由于计算的是没有位移（虚位移）时的力，故不论是那一种情况，其计算结果是一致的。,2.9恒定电场,一、电流密度电荷在电场作用下作定向运动就形成电流，等速运动的电荷称为恒定电流，维持恒定电流分布的电场称为恒定电场。电流（强度）是指单位时间内通过某导体截面的电流量，即（2-78）电流可分为传导电流和运流电流。从场的观点来看，电流是一个通量，它并没有说明电流在导体内某一点的分布情况。,电流密度是一个矢量，它的方向与导体中该点正电荷运动的方向相同，大小等于与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度，即（2-79）电流密度的单位为：安培每平方米（）。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场，亦称为电流场。电流场可用电流线来描绘。从电流密度可以求出流过任意面积的电流，即（2-80）如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，则称为面电流。任意一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位长度上的电流，即,（2-81）可以从面电流密度求出流过电流曲面上任意线段的电流，即（2-82）式中：是指垂直于线段的单位矢量。如果电荷沿着细导线或空间一线形区域流动，则可近似看成是线电流。若运动电荷的密度和速度分别为 和，则线电流为（2-83）,二、欧姆定律与焦耳定律1.欧姆定律 对于各向同性的、线性的均匀导电媒质，其中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即（2-84）上式称为欧姆定律的微分形式。通常的欧姆定律，称为欧姆定律的积分形式。积分形式的欧姆定律是描述一段导线上的导电规律，而微分形式的欧姆定律是描述导体内任一点电流密度与电场强度的关系，它比积分形式更能细致地描述导体的导电规律。,2.焦耳定律 导体内的电子在运动过程中，不断与原子核碰撞，把自身的能量传递给质子，使得导体的温度升高。这就是电流的热效应，这种由电能转换来的热能称为焦耳热。在单位时间内，电场力对体积元中的元电荷 所做的功为此功转换为焦耳热，故电场在导电媒质单位体积中消耗的功率为（2-85）上式称为焦耳定律的微分形式。对于整个导体消耗的总功率为（2-86）,三、电荷守恒定律 电荷守恒定律表明，任一封闭系统内的电荷总量不变。从任一封闭曲面流出的电流，应等于曲面所包围的体积内，单位时间内电荷的减少量，即（2-87）且。所以（2-88）这就是电荷守恒的数学表达式，亦称为电流连续性方程的积分形式。对方程左边应用散度定理，有,要使这个积分对任意体积均成立，被积函数必须为零，即（2-89）上式称为电流连续性方程的微分形式。在恒定电场中，电荷在空间的分布是不随时间变化的，所以恒定电场中的电流连续性方程为（2-90）（2-91）上式表明：恒定电流必定是连续的，电流线总是闭合曲线，恒定电场是无散场。,四、恒定电场的基本方程与边界条件1.恒定电场的基本方程 在恒定电场中，电荷的分布不随时间变化。故由该分布电荷产生的电场（电源外）必定与静电场的性质相同，也是保守场，即（2-92）（2-93）因此，电源外部的恒定电场的基本方程可归纳如下：微分形式（2-94）积分形式,（2-95）由于恒定电场的旋度为零，因此也可引入电位，且。同样，电源外的电位也满足拉普拉斯方程，即（2-96）2.恒定电场的边界条件 将恒定电场基本方程的积分形式应用到两种不同导体的界面上，如图2-13，可得出恒定电场的边界条件为法向边界条件（2-97）,或（2-98）切向边界条件（2-99）或（2-100）,上式表明在不同导体的分界面上，电流密度的法向分量连续，电场强度的切向分量连续。法向边界条件（2-101）切向边界条件（2-102）设分界面两侧的电场线与法线的夹角为和，则分界面上电流线的折射关系为（2-103）,五、恒定电场与静电场的比拟 把电源以外的恒定电场与不存在电荷区域的静电场加以比较。,恒定电场中的场量和分别与静电场中的场量和是相互对应的，它们在方程中的地位相同，是对偶量。且两者都满足拉普拉斯方程，若处在相同的边界条件下，根据唯一性定理，这两个场的电位函数必有相同的解。因此，可以把一种场的计算和实验所得的结果，通过对偶量的代换，应用于另一种场。这种方法称为静电比拟法。可以用静电比拟法根据电容求电导。一个球形电容器的电容为 其中：a是内球半径，b是外球壳半径。,只要将 换为，就可由电容求得电导，而不必去求解电场，即【例2-12】试计算半径为a的半球形接地电阻。【解】先求半径为a的球形电容 根据对偶关系知，对应的球形电导为 故半球电阻为,